1.4 相似三角形的判定 第3课时 课件 2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的判定定理2，通过复习导入环节的两道选择题，回顾两角对应相等的三角形相似及特殊三角形相似判定，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到“两边成比例且夹角相等”的新定理探究。 其亮点在于以问题驱动探究，通过作辅助线构造全等三角形完成定理证明，培养学生推理能力。结合例4、例5及随堂诊断中的图形分析，强化几何直观，用符号语言规范证明过程，落实数学语言表达。学生能深化对定理的理解与应用，教师可依托清晰的知识脉络提升教学效率。

湘教·九年级上册 相似三角形的判定定理 2 复习导入 1. 下列各组图形一定相似的是 ( ) A. 有一个角相等的两个等腰三角形 B. 有一个角相等的两个直角三角形 C. 有一个角是100°的两个等腰三角形 D. 有一个角是对顶角的两个三角形 C 2. 已知一个三角形的两个内角分别是50°、70°，另一个三角形的两个内角分别70°、60°，则这两个三角形 ( ) A. 不相似 B. 不一定相似 C. 相似 D. 全等 C 探究新知 A B C A′ B′ C′ 思 考 如图1.4-9，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使∠A'= ∠A ， △A'B'C' 与△ABC 相似吗？为什么？ 图 1.4-9 思考：如果能在△A'B'C'中用平行于B'C'边的直线截得一个△A'DE，使它与△ABC全等则△A'B'C' ∽△ABC . 猜测：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 证明： 如图1.4-10在△A'B'C'的边A'B'上取一点D，使A'D=AB. 过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点 E. 因为DE∥B'C'， 所以 △A'DE∽△A'B'C'. 又 A'D=AB， 于是 A'E=AC. 又∠A' =∠A， 所以 △A'DE≌△ABC. 所以 △ABC∽△A'B'C′. A B C A′ B′ C′ 图 1.4-10 D E 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理 2 A B C A′ B′ C′ ∠A=∠A' 所以 △ABC∽△A'B'C′. 利用该判定定理时，相等的角必须是已知成比例的两 边的夹角，否则这两个三角形不一定相似. 例4 在 △ABC 与 △DEF 中，已知∠C =∠F= 70°，AC = 3.5cm，BC = 2.5cm，DF = 2.1cm，EF = 1.5cm. 如图1.4-11所示. 求证：△ABC∽△DEF. A B C D E F 证明 因为AC = 3.5cm，BC = 2.5cm， DF=2.1cm，EF=1.5cm， 所以 从而 又∠C =∠F=70°， 因此 △ABC∽△DEF(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). 图 1.4-11 A C 例5 如图1.4-12，在△ABC中，CD 是边 AB 上的 高，且 .求证：∠ACB=90°. 证明 因为 CD 是边AB上的高， 所以 ∠ADC=∠CDB=90°. 因此 △ACD∽△CBD， 从而 ∠ACD =∠CBD. 所以 ∠ACB =∠ACD+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°. A B C D 图 1.4-12 1.如图，BC 与 DE 相交于点 O. 问 （1）当∠B 满足什么条件时，△ABC∽△ADE？ （2）当AC∶AE 满足什么条件时，△ABC∽△ADE ？ 解：（1）因为∠A=∠A ， 所以 当∠B=∠D时， △ABC∽△ADE. 随堂诊断 （2）因为∠A=∠A ， 所以 当AC∶AE=AB∶AD时， △ABC∽△ADE. 2.如图，在等腰直角三角形ABC中，顶点为C， ∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC． 证明：因为△ACB是等腰直角三角形， 所以 ∠A=∠B=45°． 又因为∠MCN=45°， ∠CNA=∠B+∠BCN=45°+∠BCN， ∠MCB=∠MCN+∠BCN=45°+∠BCN． 所以∠CNA=∠MCB， 在△BCM和△ANC中， 所以△BCM∽△ANC． ∠A=∠B，∠CNA=∠MCB 3. 如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形， ∠ACB=∠EDB=90°，点E在边AC上，CB、ED交于点F. 证明：△ABE∽△CBD. 所以△ABE∽△CBD. 证明：因为△ABC、△DEB均为等腰直角三角形， 所以∠DBE=∠CBA=45°， 所以∠DBE－∠CBE=∠CBA－∠CBE. 即∠ABE=∠CBD， 又 4. 如图，每组图形中的两个三角形是否相似？ 为什么？( (2)中AB，CD相较于点O ). A B C D O 4 3 8 6 (2) A B C D 2 3 E 1 4 (1) 解：(1) 图中的两个三角形相似. 因为 AB=AD+DB=2+4=6， 因为 AC=AE+EC=3+1=4， 所以 所以△ADE∽△ACB 又因为 ∠A = ∠A 所以 A B C D O 4 3 8 6 (2) A B C D 2 3 E 1 4 (1) 解：(2) 图中的两个三角形相似. 因为 AO=4， DO=3，CO=8，BO=6， 所以 所以△AOC∽△DOB 又因为 ∠AOC = ∠DOB 所以 4. 如图，每组图形中的两个三角形是否相似？ 为什么？( (2)中AB，CD相较于点O ). 1. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，求 AD 的长. 证明：因为 AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5， 因为 ∠B=∠ACD， 所以 △ABC∽△DCA. 因为 AC = 5， 所以 AD = 6.25. 练习 B A C D 所以 所以 2. 如图，点 B，C 分别在△ADE的边AD，AE上， 且 AC=6，AB=5，EC=4，DB=7.求证：△ABC∽△AED. 证明：因为 AC=6，AB=5，EC=4，DB=7， 又因为 ∠A=∠A， 所以 △ABC∽△AED. 所以 AE=AC+EC=10，AD=AB+DB=12， B A C D E 所以 3. 在平行四边形ABCD中，M，N为对角线BD上两 点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．试说明△AMD∽△EMB. 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 AD∥BC，∠ADB=∠CBD， ∠MAD=∠MEB， 所以 △AMD∽△EMB． 4. 如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE. 证明：因为△ABD∽△ACE， 所以∠BAD=∠CAE． 又因为∠BAC=∠BAD+∠DAC， ∠DAE=∠DAC+∠CAE， 所以∠BAC=∠DAE． 因为△ABD∽△ACE， 在△ABC和△ADE中， 所以 所以 △ABC∽△ADE. 因为∠BAC=∠DAE， 课堂小结 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理 2 A B C A′ B′ C′ ∠A=∠A' 所以 △ABC∽△A'B'C′. 利用该判定定理时，相等的角必须是已知成比例的两 边的夹角，否则这两个三角形不一定相似. $