1.4.2用角的关系判定两三角形相似-课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用角的关系判定两三角形相似”，核心知识点为两角分别相等的两个三角形相似（AA判定定理）。课堂导入通过复习全等三角形判定方法（SAS、ASA等），类比引出相似三角形判定需求，搭建从全等特例到相似一般的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于采用“猜测-证明-应用”教学链，结合分层习题（基础巩固题如公共角判定、能力提升题如直角三角形相似、拓展应用题如线段计算），培养数学思维中的推理能力和数学眼光中的抽象能力。对学生能夯实判定逻辑并提升解题技能，对教师可提供系统教学资源，高效落实核心素养。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 1.4.2用角的关系判定两三角形相似 第1章 图形的相似 湘教版九年级数学1.4.2 用角的关系判定两三角形相似练习题 ### 核心知识点回顾 1. 两角分别相等的两个三角形相似（AA判定定理）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 2. 原理：三角形内角和为180°，只要两组对应角相等，第三组角必然相等，因此只需找两组对应角相等即可判定相似，这是三角形相似最常用、最简便的判定方法。 3. 常见等角来源：对顶角相等、公共角相等、平行线内错角/同位角相等、同角（等角）的余角或补角相等。 4. 重要结论：所有等边三角形相似；所有等腰直角三角形相似；顶角（或底角）相等的等腰三角形相似。 ### 一、基础巩固题（每题5分，共30分） 1. 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，判断两个三角形是否相似，并写出判定依据。 2. 已知△ABC中，∠A=45°，∠B=60°；△MNP中，∠M=45°，∠P=75°，求证：△ABC∽△MNP。 3. 有两个等腰三角形，顶角都为50°，判断这两个三角形是否相似，并说明理由。 4. 如图，△ABC与△ADE有公共角∠A，且∠ADE=∠B，求证：△ADE∽△ABC。 5. 判断正误：有一个角相等的两个等腰三角形一定相似。 6. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，∠A=∠D，求证：两三角形相似。 ### 二、能力提升题（每题10分，共40分） 1. 已知：如图，AB、CD相交于点O，∠A=∠C，求证：△AOD∽△COB。 2. 在△ABC中，CD⊥AB于D，求证：△ACD∽△CBD∽△ABC。 3. 已知△ABC中，∠B=70°，∠C=50°，△A'B'C'中，∠A'=60°，∠B'=70°，求证：△ABC∽△A'B'C'。 4. 已知两个三角形相似，其中一组对应锐角分别为35°和35°，另一组对应角为85°和85°，求第三个角的度数。 ### 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且∠AED=∠B，已知AD=4，AB=9，AE=5，求AC的长。 2. 已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，若AD=4cm，BD=9cm，利用三角形相似求CD的长度。 ### 参考答案与详细解析 #### 基础巩固题解析 1. 解：相似。依据两角分别相等的两个三角形相似（AA），两组对应角相等，三角形相似。 2. 解：△ABC中，∠C=180°−45°−60°=75°；△MNP中，∠N=180°−45°−75°=60°。∴∠A=∠M，∠B=∠N，满足AA，故△ABC∽△MNP。 3. 解：相似。顶角相等，则底角也对应相等，两个等腰三角形有两组对应角相等，满足AA判定，因此相似。 4. 证明：∵∠A=∠A（公共角），∠ADE=∠B，两角对应相等，∴△ADE∽△ABC（AA）。 5. 解：错误。若一个三角形相等的角是顶角，另一个是底角，无法保证两组角对应相等，不一定相似。 6. 证明：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D，两组对应角相等，∴Rt△ABC∽Rt△DEF（AA）。 #### 能力提升题解析 1. 证明：∵∠A=∠C，∠AOD=∠COB（对顶角相等），两组角对应相等，∴△AOD∽△COB（AA）。 2. 证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°。在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC；同理可证△CBD∽△ABC，因此三个三角形两两相似。 3. 解：△ABC中，∠A=180°−70°−50°=60°，∴∠A=∠A'，∠B=∠B'，满足AA，故△ABC∽△A'B'C'。 4. 解：三角形内角和180°，第三个角度数=180°−35°−85°=60°，两个三角形第三个角均为60°，对应相等。 #### 拓展应用题解析 1. 解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A（公共角），∴△AED∽△ABC（AA）。对应边成比例：$$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$$，代入$$\frac{4}{AC}=\frac{5}{9}$$，解得$$AC=\frac{36}{5}=7.2$$。 2. 解：Rt△ABC中，CD⊥AB，可得△ACD∽△CBD（AA）。∴$$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$$，即$$CD^2=AD\cdot BD$$。代入AD=4，BD=9，得$$CD^2=36$$，线段为正，故CD=6cm。 复习导入 如何判断两个三角形是全等三角形呢？ SAS ASA AAS SSS 全等三角形是相似三角形的特例，且相似三角形的对应边可以不相等，我们是否可用较少的条件去判定两个三角形相似？ 探究新知 思 考 如图1.4-5，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使∠A'= ∠A ， ∠B'= ∠B. 这两个三角形相似吗？ 图 1.4-5 A B C A′ B′ C′ A B C A′ B′ C′ 由于“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似” 将△ABC 放到 △A' BC 上面，使点 A 与点 A' 重合，且边 AB 落到边 A'B 上， 由∠A'=∠A，可判断边AC会落到边A'C上，又∠B'=∠B， 则BC//B'C'，于是可得△ABC ∽△A'BC. A B C A B C A B C A′ B′ C′ 猜测：两角分别相等的两个三角形相似. 证明： 如图1.4-6，在△A'B'C'的边A'B'上取一点 D，使A'D = AB. 过点D作DE∥B'C' ，交A'C'于点 E. 在△A'DE与△ABC中， 因为∠A'=∠A， A'D=AB， ∠A'DE=∠B'=∠B， 所以△A'DE≌△ABC. 又DE∥B'C' . 于是△A'DE∽△ A'B'C'. 因此△ABC∽△ A'B'C'. D E 图 1.4-6 两角分别相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理 1 A B C A′ B′ C′ 因为∠A=∠A'，∠B=∠B'， 所以△ABC∽△ A'B'C'. 两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似. 例2 如图1.4-7，在△ABC中，∠C=90°.过点 D 分 别作边 AB，AC的垂线，垂足分别为点E，F，DF与AB交于点H.求证：△DHE∽△ABC. 证明 因为∠C=90°，所以 BC⊥AC. 因为DF⊥AC，所以DF∥BC. 从而∠DHE=∠B. 又DE⊥AB，所以∠DEH = 90°=∠C， 因此 △DHE∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). A B C D E F H 图 1.4-7 例3 如图1.4-8，在 Rt△ABC 与 Rt△DEF中， ∠C=90°， ∠F=90°.若∠A=∠D，AB=5，BC=4，DE=3，求EF的长. 解：因为∠C = 90°，∠F = 90°，∠A =∠D， 所以 △ABC∽△DEF， 从而 又 AB = 5，BC = 4，DE = 3. 所以 EF = 2.4. 于是 A B C D E F 图 1.4-8 随堂诊断 1. 如图，在△ABC中，AD=AB，∠1=∠2. 求证△ABC∽ △EAD. A B C D E 1 2 证明：因为AD=AB 所以∠EAD=∠B. 因为∠BAD =∠1 + ∠C= ∠2 + ∠ADE， ∠1 =∠2 所以∠C =∠ADE. 所以△ABC∽ △EAD. 2. 如图，在□ ABCD中，E 为 CD 上一点，连接 AE，F为 AE 上一点，且∠BFA=∠D. 求证△ABF∽ △EAD. A B C D E F 证明：因为四边形ABCD是平行四边形. 所以 AB∥CD， 所以 ∠BAF= ∠AED. 又因为∠BFA= ∠D， 所以 △ABF ∽ △EAD. 知识点1 相似三角形的判定定理1 1. 如果两个三角形满足下列条件，那么它们 一定相似的是( ) C A. 有一个角相等的两个等腰三角形 B. 有一个角相等的两个直角三角形 C. 有一个角是 的两个等腰三角形 D. 有一组角是对顶角的两个三角形 返回 中考考法 11 （第2题） 2. 如图，在 中， ， ，则下列结 论错误的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 12 寻找两组对应角相等常从 以下角度思考：①公共角；②对顶 角；③两直线平行时的同位角、内 错角；④同角（等角）的余角 （补角）. （第2题） . . 返回 中考考法 13 3. 如图，在中，点，分别在边 ， 上，与不平行.添加一个条件使 ，则 这个条件可以是__________________________. （答案不唯一） （第3题） 返回 中考考法 14 4. 已知的一边 ，另外两边长分别 是3，4，若是的边上异于，的一点，过点 作 直线截，截得的三角形与原 相似，满足这样条 件的直线有___条. 3 返回 中考考法 15 知识点2 相似三角形判定定理1的应用 5. 如图，为等边三角形，点， 分别 在边，上， ，若 ，，则 的长为( ) C A. 1.8 B. 2.4 C. 3 D. 3.2 中考考法 16 【点拨】因为 是等边三角形，所以 ， .所以 .因为 ， 所以 .所以 .所以.所以 .因为 ，所以设，则,所以 . 所以.所以 . 返回 中考考法 17 6. 如图，在中，点在 边上， 点在的延长线上，且 . （1）求证： ； 【证明】因为四边形 是平行四边形， 所以, . 所以,.又因为 ， 所以,所以 . 中考考法 18 （2）若,,,求 的长. 【解】因为 ，所以 . 因为四边形是平行四边形，所以 ，所以 , 所以，所以 . 返回 中考考法 19 （第7题） 7. 如图，已知 ，点为射线 上一点，按以 下步骤作图： ①分别以点，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于两点 ， ； ②作直线交射线于点，连接 ； ③以点为圆心，以长为半径画弧，交射线 于点，连接 . 中考考法 20 根据以上作图步骤及所作图形，下列结论中错误 的是 ( ) A. B. C. D. C （第7题） 中考考法 （第8题） 8. 如图，，，， 分别是矩形 四条边上的点， ，垂足为 .若，，则 ( ) B A. B. C. D. 无法确定 中考考法 22 （第9题） 9. 如图，一束光线从 轴上 的点发出，经过轴上的点 反射后， 经过点，则光线从点到点 经过的 路线长为( ) C A. 6 B. C. D. 8 中考考法 23 课堂小结 两角分别相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理 1 A B C A′ B′ C′ 因为∠A=∠A'，∠B=∠B'， 所以△ABC∽△ A'B'C'. 两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似. $