1.4 相似三角形的判定 第4课时 课件 2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“相似三角形的判定定理3（三边成比例的两个三角形相似）”，通过情境导入展示多个三角形图形让学生观察相似三角形，衔接已有相似三角形认知，再以“作三角形—平行线截得全等三角形”的探究过程，搭建从直观观察到逻辑证明的学习支架。 其亮点在于以几何直观（情境导入图形观察）和推理能力（定理证明逻辑推导）为核心，结合例6用勾股定理推导直角三角形三边比例、例7按边大小排序计算比值等实例，通过知识点睛总结“排—算—判”步骤、课堂小结表格梳理判定定理，培养学生规范表达与逻辑思维。学生能提升数学推理与应用能力，教师可借助结构化资源高效教学。

湘教·九年级上册 相似三角形的判定定理3 情境导入 与 △ABC 相似的三角形有哪些. A B C A1 B1 C1 A2 B2 C2 B3 C3 A3 C4 B4 A4 探究新知 思 考 如图1.4-13，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使△ABC的各边与△A'B'C'的各边对应成比例，即满足 △A'B'C'与△ABC 相似吗？为什么？ A B C A′ B′ C′ 图 1.4-13 思考：如果能在△A'B'C'中用平行于B' C'边的直线截得△A'DE，使它与△ABC全等， 则△A'B'C' ∽△ABC . 猜测：三边成比例的两个三角形相似. 证明： 如图1.4-14在△A'B'C'的边A'B'上取一点D，使A'D=AB. 过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E. 因为 DE∥B'C'， 所以 △A'DE∽△A'B'C'， 又A′D=AB， 从而 A'E=AC，DE=BC， 因此 △A'DE≌△ABC. 故 △ABC∽△A'B'C'. A B C A′ B′ C′ 图 1.4-14 D E 三边成比例的两个三角形相似 相似三角形的判定定理 3 A B C A′ B′ C′ 所以 △ABC∽△A'B'C′. 例6 如图1.4-15，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中， ∠C =∠C′=90°， .求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. A B C A′ B′ C′ 证明 则 AB = k·A′B′，AC=k·A′C′. 由勾股定理，得 因此 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似). 图 1.4-15 例7 判断图1.4-16中的两个三角形是否相似，并说明理由. 解 在△ABC中，AB＞BC＞CA， 在△DEF中，DE＞EF＞FD. 因此△DEF∽△ABC. A B C D E F 3 3.5 4 2.4 1.8 2.1 图 1.4-16 随堂诊断 1. 一个三角形的三边长分别为 6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形的三边长分别为 8cm，10cm，12cm，这两个三角形相似吗？为什么？ 解：这两个三角形相似. 理由如下： 因为 所以 所以 这两个三角形相似. 知识点睛 判断三角形三边是否成比例的一般步骤： （1）排：将三角形的边按大小顺序排列； （2）算：分别计算三组对应边的比； （3）判：由算得的比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例. 2. 在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断 这两个三角形是否相似，并说明理由. （1）AB＝5，AC＝3，∠A=45°， A′B′＝10，A′C′＝6，∠A′＝45°； 解：因为AB＝A′B′ ， AC＝ A′C′， ∠A= ∠A′， 所以 △ABC∽△A′B′C′. 2. 在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断 这两个三角形是否相似，并说明理由. （2）∠A=38°，∠C=97°，∠A′=38°，∠B′=45°； 解：因为∠A=38°，∠C=97°， 所以 △ABC∽△A′B′C′. 所以∠B =180°－38°－97°= 45°， 所以∠A = ∠A′ ， ∠B =∠B′， 2. 在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断 这两个三角形是否相似，并说明理由. （3）AB=2， 所以 △ABC∽△A′B′C′. 解：因为 所以 3. 下列四个三角形中，与如图所示的三角形相似的是( ) A B C D D 4. 如图在△ABC中，AB = 25，BC = 40，AC = 20，在 △ADE中，AE=12，AD=15，DE=24，求证：∠EAC= ∠DAB. 证明： 因为 所以 所以△ABC ∽ △ADE 所以 ∠BAC=∠DAE. 所以 ∠BAC－ ∠BAE=∠DAE－ ∠BAE， 即 ∠EAC=∠DAB. 5. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB， ∠ADC = ∠ACB = 90°，E 为 AB 的中点.求证： （1） AC2=AB·AD； （2） △AFD∽△CFE； 证明 (1) 因为AC平分∠DAB， 所以∠DAC= ∠CAB ， 又∠ADC = ∠ACB = 90°， 所以△ADC∽△ACB. 所以 AC2 = AB·AD. 5. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB， ∠ADC = ∠ACB = 90°，E 为 AB 的中点.求证： （1） AC2=AB·AD； （2） △AFD∽△CFE； (2) 在Rt△ABC中，因为E为AB的中点， 所以 CE= BE=AE， 所以∠BAC = ∠ECA . 所以△AFD∽△CFE. 所以 CE ∥AD. 因为∠DAC = ∠CAB . 所以∠DAC = ∠ECA . 相似三角形的判定思路: （1）已知平行于三角形一边的直线，直接找两个三角形. （2）已知一组角相等，找另一组角相等，或找夹角的两组边成比例. （3）已知两组边成比例，找夹角相等，或找第三组边的比等于前两组边的比，或找一对直角(要求两组边同为直角边或分别为斜边、直角边). （4）已知等腰三角形，找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰成比例. 知识点睛 练习 1.如图，已知点 D，E，F 分别是 △ABC 三边的中点，求证：△EDF ∽ △ACB. 证明 因为 D，E，F分别是△ABC三边的中点， 所以 △EDF∽△ACB. A C B D E F 2. 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由. 解 图中的两个三角形相似. 所以 ∠C=∠C′=90°. 又因为 AB = 5，BC =3，A′B′=10，A′C′=8， 所以 AC = 4， B′C′ = 6. 所以 △ABC∽△A′B′C′. A B C 5 3 B' C' 7.5 6 A' 理由：因为△ABC和△A′B′C′都是直角三角形， 3. 如图，在方格纸上有△ABC和△DEF，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由. 4.如图所示，在正方形ABCD中，P是BC边上的 点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP. 证明：设正方形ABCD的边长为4a. 因为P是BC边上的点，且BP=3PC， 所以 PC = a， 因为 Q 是 CD 的中点， 所以 QC=QD=2a，AQ= ， 所以△ADQ∽△QCP. 课堂小结 课堂小结 相似三角形的判定定理 文字语言 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似 数学语言 图示 因为∠A=∠A'，∠B=∠B'， 所以△ABC∽△ A'B'C'. ∠A=∠A' 所以 △ABC∽△A'B'C′. 所以 △ABC∽△A'B'C′. $