精品解析：湖南省长沙市开福区长沙大学附属中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

高二期末数学试卷 一、单选题 1. 已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 为了迎接2023年五四青年节，厦门一中计划在两个校区各布置一个优秀青年校友的事迹展板，由甲、乙在内的5名学生志愿者协助布置，每人参与且只参与一个展板的布置，每个展板都至少由两人安装，若甲和乙必须安装不同的展板，则不同的分配方案种数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 3. 某产品销售收入，生产成本，产量之间满足以下函数，，要使利润最大，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 已知数列满足且，则（ ） A. 3 B. C. -2 D. 5. 在中，， ，点满足，点为的外心，则的值为（ ） A. 17 B. 10 C. D. 6. 奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，，则（ ） A. 3 B. 7 C. 10 D. 14 7 已知，，，则（ ） A B. C. D. 8. 若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相切 10. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 若方程有3个不同的实数根，则 C. 直线是曲线的切线 D. 点是曲线的对称中心 11. 已知函数有两个不同零点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知，则______. 13. 已知三棱锥的顶点在底面的射影为的垂心，若，且三棱锥的外接球半径为3，则的最大值为________． 14. 已知实数，当取得最小值时，则的值为_________． 四、解答题 15. 某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时） （1）应收集多少位女生样本数据？ （2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，，，，．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率． （3）视样本数据的频率为概率，现从全校取4名学生，记为这四名学生中运动时间超过4小时的人数，求的分布列以及数学期望． 16. 给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上. （1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程； （2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值. 17 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数a的取值范围； （2）若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数a的取值范围． 18. 已知函数的定义域为且满足，当时，. （1）判断在上单调性并加以证明； （2）若方程有实数根，则称为函数的一个不动点，设正数为函数的一个不动点，且，求的取值范围. 19. 设函数，，，的极大值点为. （1）求； （2）若曲线，上分别存在两点，使得四边形为边平行于坐标轴的矩形，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期末数学试卷 一、单选题 1. 已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出切线方程，再对分和讨论即可. 【详解】由得， 所以切线方程是， ①若，则曲线为，显然切线与该曲线只有一个公共点， ②若，则， 即， 由，即， 得或， 综上:或或. 故选：B. 2. 为了迎接2023年五四青年节，厦门一中计划在两个校区各布置一个优秀青年校友的事迹展板，由甲、乙在内的5名学生志愿者协助布置，每人参与且只参与一个展板的布置，每个展板都至少由两人安装，若甲和乙必须安装不同的展板，则不同的分配方案种数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算分组的方法种数，再乘以分配的方法，即求解. 【详解】所有分组的方式种,若甲和乙安装相同的展板，包含甲和乙两人安装一个展板，另外三人安装另一个展板，以及从甲和乙之外的3人挑1人和甲，乙三人，安装一个展板，共有4种不合题意，故共有种分配方式. 故选：C 3. 某产品的销售收入，生产成本，产量之间满足以下函数，，要使利润最大，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数求出利润的最大值即可得解. 【详解】依题意，，，求导得， 当时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，利润最大. 故选：A 4. 已知数列满足且，则（ ） A. 3 B. C. -2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得数列递推式，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案. 【详解】由题意数列满足，则， 故由，得， 由此可知数列的周期为4， 故， 故选：B 5. 在中，， ，点满足，点为的外心，则的值为（ ） A. 17 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将用向量和表示出来，再代入得，，求出代入即可得出答案. 【详解】取的中点，连接， 因为为的外心，， ， ， ， 同理可得， 故选：D. 【点睛】本题考查数量积的运算，关键是要找到一对合适的基底表示未知向量，是中档题. 6. 奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，，则（ ） A. 3 B. 7 C. 10 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】令，得到，从而求出对应的解，，同理可得有4个解，，得到答案. 【详解】结合函数图象可知中，令，则，故， 结合图象可知，的根为0，有2个根，无解； 故有3个解，故； 中，令，则有2个根，不妨设， 当，即，此时有2个解， 当，即，此时有2个解， 故有4个解，即， 综上，. 故选：B 【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对分别取对数并作商，再构造函数，利用导数探讨单调性即可比较大小. 【详解】由，得， 令，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 即，函数在上单调递减，则， 即，，因此； 令，求导得，当时，， 即，函数在上单调递减，则， 即，，因此， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：对被比较大小的两个数取对数并作商，再构造函数是求解问题的关键. 8. 若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对所给不等式适当变形，利用同构思想得出对于任意恒成立，进一步构造函数利用导数分析最值即可求出结果. 【详解】由题意可得， 恒成立等价于恒成立， 令， 则恒成立， 所以在定义域内严格单调递增， 所以若有成立，则必有恒成立， 即对于任意恒成立， 令， 则， 令， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 从而，所以的取值范围为，即实数m的最大值为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能利用对数的运算将所给不等式化简为，再构造函数利用导数分析单调性. 二、多选题 9. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A B. 离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相切 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得，可得， 所以焦点为, 根据椭圆的定义，所以A正确； 椭圆的离心率为，所以B错误； 其中面积的最大值为，所以C错误； 由原点到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确. 故选：AD 10. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 若方程有3个不同的实数根，则 C. 直线是曲线的切线 D. 点是曲线的对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】，根据图象得，求出，求出的值，根据有个不同的实数根，求出的范围，设切点坐标，求出切线方程，根据题意求出对称中心. 详解】求导， 根据图象可得，即，解得，故A正确； 则， 由图可知，，， 根据有个不同的实数根，则，故B正确； 设切点坐标，则， 故，解得， 当时，，切线方程， 当时，，切线方程，故C错误； 由，则 则， 故点是曲线的对称中心，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数有两个不同零点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】将问题转化为有两个不同实数根，且，进而构造函数，利用导数研究函数性质可得，且，进而判断AB，再结合基本不等式可以判断C；将D选项转化为讨论，进而结合函数的单调性进一步转化为讨论是否成立，再令换元求解即可判断D. 【详解】解：因为函数有两个不同零点，且 所以有两个不同实数根，且， 令， 由于，故为偶函数， ， 当时，，在上单调递增， 所以，当时，在上单调递减， 所以，， 因为当趋近于时，也趋近于， 所以，有两个不同实数根，则，且，故A错误，B正确 因为， 所以， 由基本不等式： 所以，故C正确 对于D，由得等价于， 由在单调递增，，， 所以，等价于 ， 由于显然成立， 故只需考虑是否成立即可； 令，则 所以，令， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，当时取最小值，，故成立， 所以，D选项正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和差的正切公式计算，再使用二倍角的正切公式即可. 【详解】由， 且， 得， 整理得， 解得（舍）或， 所以． 故答案为：. 13. 已知三棱锥的顶点在底面的射影为的垂心，若，且三棱锥的外接球半径为3，则的最大值为________． 【答案】18 【解析】 【分析】连交于，由顶点在底面的射影为的垂心，得，进而证明，由。得，根据三角形相似可得，，进而证明两两互相垂直，将三棱锥拓展为以为棱的长方体，可得，再由基本不等式，即可求出结论. 【详解】连交于，顶点在底面的射影为的垂心， ，又平面，， ，平面， 同理可证， 由，得， ， ，又平面， ，又平面， 两两互相垂直， 三棱锥的外接球为为棱的长方体的外接球， 又三棱锥的外接球半径为3， ， ， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：18. 【点睛】本题考查三棱锥的结构特征，顶点在底面射影是三角形的垂心，可得对棱垂直是解题的突破点，要注意归纳总结三棱锥顶点在底面射影是底面三角形几个|“心”的条件，考查空间垂直关系的相互转化，以及多面体外接球半径的求法，属于较难题. 14. 已知实数，当取得最小值时，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本不等式求最值，根据取等条件得，即即得. 【详解】根据题意可得， ， 因为，所以，， 所以 即， 当且仅当时等号成立， 此时，解得，则． 故答案为： 四、解答题 15. 某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时） （1）应收集多少位女生样本数据？ （2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，，，，．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率． （3）视样本数据的频率为概率，现从全校取4名学生，记为这四名学生中运动时间超过4小时的人数，求的分布列以及数学期望． 【答案】（1）90 （2）0.75 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的定义即可求解； （2）利用样本频率估计总体概率； （3）运动时间超过4小时的概率为，结合分布列和数学期望的定义求解即可. 【小问1详解】 因为男生10500人，女生4500人， 所以抽取女生占总人数的比例为． 又因为分层抽样收集300位学生， 所以女生样本数据应收集为． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知， 学生每周平均体育运动时间超过4个小时的频率为． 估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率0.75. 【小问3详解】 由（2）可知运动时间超过4小时的概率为，则， 所以， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则． 16. 给定椭圆，称圆心在原点、半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，若椭圆的离心率为，点在上. （1）求椭圆的方程和其“卫星圆”方程； （2）点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线、使得，与椭圆都只有一个交点，且、分别交其“卫星圆”于点、，证明：弦长为定值. 【答案】（1），； （2）①当、中有一条无斜率时，不妨设无斜率， 因为与椭圆只有一个公共点，所以其方程为或， 当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和， 此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或， 即为或，此时，线段应为“卫星圆”的直径，， ②当、都有斜率时，设点，其中， 设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为， 联立方程， 消去得到， 则， ，满足条件的两直线、垂直， 此时线段应为“卫星圆”直径，， 综合①②可知，为定值，. 【解析】 【分析】（1）本题可根据题意得出以及，然后通过计算得出、的值以及椭圆方程，最后根据即可求出卫星圆的方程； （2）本题可先讨论、中有一条无斜率的情况，通过求出与的方程即可求出的值，然后讨论、都有斜率的情况，设点以及经过点且与椭圆只有一个公共点的直线为，再然后通过联立方程以及韦达定理的应用得出满足条件的两直线、垂直，判断出此时线段应为“卫星圆”的直径以及的值，最后综合两种情况即可得出结果. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，点在上， 所以，解得，，椭圆方程， 因为，圆心为原点， 所以卫星圆的方程为. （2）略 【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及圆的方程的求法，考查椭圆、直线以及圆相交的综合问题的求解，考查韦达定理以及判别式的灵活应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题. 17. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数a的取值范围； （2）若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）由函数零点个数，结合二次函数性质列不等式组求参数范围； （2）由题意易知，法一：讨论函数开口方向列不等式组求参数范围；法二：根据的零点和的零点的等价性，列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由题意，可得，则或. 【小问2详解】 由的两个零点一个在内，另一个在内，故， 法一：当的图象开口向上时，，所以， 解得. 当的图象开口向下时，，所以，解得； 综上，的取值范围为. 法二：的零点和的零点相同，则， 所以，解得. 综上，的取值范围为. 18. 已知函数的定义域为且满足，当时，. （1）判断在上的单调性并加以证明； （2）若方程有实数根，则称为函数的一个不动点，设正数为函数的一个不动点，且，求的取值范围. 【答案】(1) 单调递减. 见解析 (2) （或）. 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件，构造函数，可证在上单调递减.，再通过的奇偶性，可得出在上单调递减，即可判断在上的单调性； （2）转为为（1）中的两个函数值，利用的单调性，求出的范围，再根据不动点的定义转化为在有解，，分离参数，转化为研究与函数在有交点，通过两次求导得出在单调性，即可求出在的范围. 【详解】（1）令，则， ∵当时，，∴， ∴在上单调递减，又∵， ∴， ∴为奇函数，∴在上单调递减. 又∵在上单调递减， ∴在上单调递减. （2）由（1）可知，在上单调递减. ∵，∴， ∴，故. ∵正数为函数上的一个不动点，∴方程在上有解， 即方程在上有解， 整理得：. 令，， 设，，则， ∴在上单调递增，又， ∴，∴， ∴在上单调递减， ∴（或）， 即的取值范围是（或）. 【点睛】本题考查利用导数研究函数性质的综合应用，构造函数法判断函数的单调性，注意审题，对于新定义问题转化为函数的零点，并用分离参数法研究函数的零点问题，属于难题. 19. 设函数，，，的极大值点为. （1）求； （2）若曲线，上分别存在两点，使得四边形为边平行于坐标轴的矩形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）对求导，根据其单调区间可得，解出即可； （2）根据题意存在，从而多次构造新函数，再进行分类讨论. 【小问1详解】 . 当在上递增，在上递减. 故，即. 【小问2详解】 由题意，存在. 令，则， 由在上递增， 在上存在唯一零点. 由题意，. 令. 对于， 故条件即在上有零点. . （i），即，也即. 这等价于，即. 此时，在上存在在上递增，故. 而，故由零点存在定理， 在上存在零点，满足条件. （ii）若，即，也即. 令，，又， 故，，在上递减， 则，不满足题意. 综上，的取值范围为. 【点睛】本题主要难点在于第（2）小问，而同构的方法在导数难题中经常用到，也是高考压轴题的考察重点，平时要注意积累. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $