2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册14《第3章图形的相似第5节图形的的位似》预习讲义

本讲义聚焦图形的位似这一核心知识点，系统梳理位似图形的概念（含三要素）、性质（对应点连线过中心等）、作图步骤及坐标系中的坐标变换规律，构建从相似图形到特殊位似的学习支架，明确与平移、轴对称、旋转的区别联系。 资料通过结构化知识梳理培养抽象能力，对比表格助学生用数学语言区分变换，例题结合坐标系发展模型意识。课中辅助教师清晰授课，课后分层练习帮学生巩固，查漏补缺，提升应用与推理能力。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册14 《第3章图形的相似第5节图形的的位似》预习讲义 一．学习目标 ( 1.理解位似图形、位似中心、位似比的概念，分清位似图形与普通相似图形的区别与联系，牢记位似成立的三个必备条件。 2.熟练掌握位似图形的性质：对应点连线经过位似中心、对应边互相平行（或共线），对应点到位似中心的距离之比等于位似比；同时继承相似图形周长、面积的比例规律。 3.掌握位似图形的作图步骤，可以选取图形内部、外部、边上任意一点作为位似中心，把图形放大或者缩小。 4.掌握平面直角坐标系中，以坐标原点为位似中心的坐标变化规律，能根据坐标判断位似变换，也可根据位似比写出对应点坐标。 5.能够区分平移、轴对称、旋转、位似这四种图形变换，解决位似结合坐标的综合题型。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.位似图形的概念识别，找准位似中心，熟练运用位似图形的独有性质。 2.标准的位似作图方法，能按照指定位似比绘制放大、缩小后的图形。 3.原点作为位似中心时，坐标的变化规律（横、纵坐标同乘k或-k）。 （二） 难点 1.判断一组相似图形是不是位似图形，区分 “ 相似 ” 和 “ 位似 ” 的从属关系。 2.位似中心在图形另一侧（反向位似）的作图与坐标变化，容易和同向位似混淆。 3.结合坐标系，综合多种图形变换，准确分析点的坐标变化过程。 ) 三．知识梳理 （一）位似图形的定义（三要素缺一不可） 下图由一组形状相同的图片组成. 在图片①和图片②上任取一组对应点 A，A'，你有什么发现？ 1.标准定义（北师大版教材原话） 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或者在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形。这个交点叫做位似中心，这时的相似比又叫位似比。 如图的两个五边形是位似五边形. 如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P，P′ 所在的直线都经过同一点 O，且有 OP′：OP=k (k ≠ 0)，那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点 O 叫作位似中心.其中 k 就是这两个相似多边形的相似比. 2.位似图形必须同时满足的3个条件（缺一不可） （1）两个图形一定是相似图形（形状相同）； （2）所有对应顶点的连线，全都交于同一个公共点（位似中心）； （3）每一组对应边互相平行，或者落在同一条直线上。 3.从属关系 位似图形 ⇒ 一定是相似图形；相似图形 ⇒ 不一定是位似图形（缺少位置关系） （二）位似图形的性质 从下图中我们可以看到，△ABO∽△A′B′O，则，AB‖A′B′. 你得到了什么？ 【归纳】位似图形的核心性质（由定义直接得出） （1）任意一对对应点到位似中心的距离之比，等于位似比； （2）对应点、位似中心三点在一条直线上； （3）继承相似三角形性质：周长比=位似比，面积比=位似比的平方。 （三）位似图形的作图方法（四步作图法） 如图，已知 △ABC，以点 O 为位似中心画 △DEF，使其与 △ABC 位似，且相似比为2. 【归纳】画出一个图形的位似图形，固定步骤： 1.定心：选定位似中心（可以在图形外、图形内、图形的顶点上），找出原多边形所有顶点（关键点）； 2.连线：将位似中心分别和每一个顶点连接，并且适当延长线段； 3.定点：按照给定的位似比k，在连线上截取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于k； 4.构图：按照原有顺序，依次连接所有新的对应顶点，形成位似图形。 （四）平面直角坐标系中的位似变换（原点为位似中心） 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC 的位似，且相似比是 2 : 3. 【归纳】平面直角坐标系中的位似变换的步骤 （1）找点：找出原多边形所有顶点的坐标 A(x1,y1)、B(x2,y2)。 （2）求新坐标：设位似比为 k ①同侧位似：新坐标 (kx, ky) ②异侧（反向）位似：新坐标 (-kx,-ky) （3）描点：在坐标系里依次标出全部变换后的对应点 （4）顺次连线：依照原图顶点的顺序，把新点依次连接，得到位似图形 （五）四种图形变换对比（归纳区分） 至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在下图所示的图案中，你能找到这些变换吗？ 【四种图形变换对比】 变换 形状 大小 对应边、角关系 对应点连线特点 核心特点 平移 不变 不变 边相等，角相等，对应线段平行 连线互相平行 沿着直线整体挪动，方向不变 翻折 不变 不变 边相等，角相等 连线被对称轴垂直平分 沿对称轴对折后两边完全重合 旋转 不变 不变 边相等，角相等 连线交于旋转中心，到中心点距离相等 绕某一个定点转动一定角度 位似 不变 改变 角相等，对应边成比例 所有连线相交于位似中心 对应边互相平行，存在缩放效果 四．经典例题 例1.（2024-2025·贵阳市南明区期末）下列说法正确的是（ ） A. 相似图形一定是位似图形 B. 位似图形对应边一定互相平行或共线 C. 位似图形对应点连线互相平行 D. 位似比不等于相似比 例2.（2026·贵阳市云岩区一模）在平面直角坐标系，以原点O为位似中心，点A(2,3)，位似比为2，在原点同侧的对应点坐标是（ ） A.(4,6) B.(-4,-6) C.(2,6) D.(3,2) 例3.（2025·贵阳市花溪区期末）△ABC与△A'B'C'以O为位似中心，位似比1:2，△ABC面积为3，则△A'B'C'面积为（ ） A.6 B.9 C.12 D.18 例4．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△EDC的周长为8，则△ABC的周长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 例5.（2025·观山湖区期末）位似图形一定是______图形。 例6.（2026·南明区二模）原点O为位似中心，点P(-3,4)，位似比-，对应点坐标为__。 例7.（2025·云岩区期末）位似图形的周长之比等于________。 例8.（2026·花溪区一模）幻灯投影成像属于______变换。 例9.如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置．如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比． 例10．如图已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，点A，B，A'，B'，O共线，点O为位似中心． （1）AC与A'C'平行吗？为什么？ （2）若AB=2A'B'，OC'=5，求CC'的长． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024·贵阳市花溪区期中）下列四种图形变换，唯一能改变图形大小的是（ ） A.平移 B.轴对称 C.旋转 D.位似 2.（2025·乌当区期末）△ABC与△DEF位似，位似中心为O，下列结论错误的是（ ） A.AB‖DE B.直线AD过点O C.OA:OD=AB:DE D.面积之比等于位似比 3.（2026·南明区一模）以原点为位似中心，把点(5,-2)缩小到原来的，同侧坐标为（） A.(1,-0.4) B.(-1,0.4) C.(5,-) D.(25,-10) 4.（2025·观山湖区期末）判断两个相似图形是不是位似图形，关键看（） A.边长是否成比例 B.对应角是否相等 C.对应点连线是否交于同一点 D.图形形状是否一致 5.（2026·云岩区二模）位似比为3:1，两个图形的周长比为（ ） A.9:1 B.3:1 C.1:3 D.:1 6.（2024·花溪区期末）位似中心可以选取的位置是（ ） A.只能在图形外部 B.只能在图形内部 C.只能在顶点上 D.图形内、图形外、边上、顶点都可以 7．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），，则线段CD长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 8．已知，直角坐标系中，点，点，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点的对应点的坐标为（  ） A．或 B．或 C． D． 9．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A′，则A′B′的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．15 （二）填空题 10.（2025·南明区期末）若点M(4,-6)以原点为位似中心，位似比-3，新坐标：________。 11.（2026·乌当区一模）位似图形对应线段的比值等于________。 12.（2025·云岩区期末）两个位似多边形面积之比16:9，则位似比为________。 13.（2026·观山湖区二模）把图形做位似缩小，位似中心在图形右侧，对应边的位置关系是________。 14.（2024·南明区期中）△OAB和△OA'B'位似，原点为中心，点A(2,4)对应A'(1,2)，位似比是______。 15.（2026·花溪区一模）皮影戏利用的图形变换是______。 16.如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD ， 则端点D坐标为_____． 17．如图，在直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，将△EFO 缩小为△E'F'O，且△E'F'O与△EFO的相似比为，则点E的对应点E'的坐标为_________． （三）解答题 18.把四边形 ABCD 缩小到原来的 . 19．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图． （1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标； （2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C； 20、在图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（-2，-1）、B（-1，-3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1．并写出点B的对应点B2的坐标； (3)判断△OA2B2能否看作是由△O1A1B1经过某种变换后得到的图形，若是，请指出是怎样变换得到的（直接写答案）． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026·贵阳市云岩区中考三模）下列各组图形，不属于位似图形的是（ ） A.投影仪投影的图片和原图 B.方格中任意两个相似的三角形（对应点连线不交于同一点） C.相机拍摄的景物和成像 D.以一点为中心放大的多边形 2.（2025·贵阳市乌当区期末）在坐标系中，将多边形所有顶点(x,y)换成(-2x,-2y)，说法错误的是（ ） A.位似中心是原点 B.位似比为2 C.图形在原点另一侧 D.图形缩小为原来的二分之一 3.（2026·花溪区一模）△ABC与△A'B'C'位似，OA:OA'=3:4，下列比例正确的是（ ） A.AB:A'B'=3:4 B.面积比3:4 C.周长比16:9 D.对应中线比16:9 4.（2024·南明区期中）位似图形上，任意一组对应点到位似中心的距离之比等于（ ） A.面积比 B.位似比 C.周长平方比 D.边长平方比 5．如图，△ABO缩小后变为△ABO，且A、B的对应点分别为A′、B′，点A、B、A′、B′均在格点上，若线段AB上有点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P的坐标为（D　） A． B．（m，n） C． D． 6.如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（　　） A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 7. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 16 8．以点O为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍得到△DEF，下列说法错误的是（　　） A．△ABC∽△DEF B．AB∥DE C．BE：BO＝2：1 D．点C、O、F三点共线 9．在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（　　） A．位似图形 B．相似三角形的判定 C．旋转 D．平行线的性质 10．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，已知OD：OA＝1：2．若△ABC的面积为8，则△DEF的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 （二）填空题 11.（2026·贵阳市南明区三模）原点为位似中心，点(-2,5)，位似比4，同向坐标：________。 12.（2025·云岩区期末）两个位似图形周长之比5:7，对应高之比=______。 13.（2026·乌当区一模）△DEF与△ABC位似，面积之比9:25，位似比=________。 14.（2026·观山湖区二模）点M(6,-8)以原点为位似中心，位似比-，坐标为________。 15．如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　 　． 16.《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为___________． 17．如图，点A（3，4），点B（4，0），以O为位似中心，按比例1∶2，将△AOB放大后得△A1O1B1，则A1坐标为____． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．以原点为位似中心，把放大，使得放大前后对应线段的比为，则点的对应点的坐标为______． 19．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为A（﹣4，2），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标为 _____． 20.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ________． （三）解答题 21.找出下列图形的位似中心. 22.如图，在平面直角坐标系中有一个△ABO，其中点A，B的坐标分别为(-4，2)， (-2，4)． (1)以坐标原点O为位似中心，作出△AOB的位似三角形，并把△ABO的边长缩小到原来的． (2)点C(-2.4，3.6)是边AB上一点，根据你所画图形写出它对应点的坐标． 23.正方形ABCD与正方形OEFG中,点D和点F的坐标分别为(-3,2)和(1,-1),求这两个正方形的位似中心的坐标. 24.如图,在▱ABCD中,点E是BC的中点,AE,BD相交于点O, (1)图中△AOD与△EOB是位似三角形吗,若是,指出其位似中心和相似比; (2)如果S△BOE=6,求S△ABD的值. 25.“位似变化”是一种重要的几何变化,可以将图形放大或缩小,且与原图形相似.你能用位似变化解决下列问题吗? 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=6,矩形EFGH的一边EF在边AC上,点H在斜边AB上,EF=2,HE=1. (1)请你用圆规和无刻度的直尺在Rt△ABC内作一个最大的矩形,使它与矩形EFGH位似(不要求写作法,但必须保留作图痕迹); (2)请证明你作图方法的正确性; (3)求这个最大矩形与矩形EFGH的面积之比. 26.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在 建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(3,-1). (1)将△ABC的顶点A平移到点A1,画出平移后的△A1B1C1,并写出C1的坐标和平移的距离; (2)画出△A1B1C1绕点O旋转180°的△A2B2C2,并写出点C2的坐标,如果△A1B1C1中任意一点M1的坐标为(x,y),写出它的对应点M2的坐标; (3)在第二象限内以原点O为位似中心,将△ABC放大,使它们的相似比为2∶1,画出放大后的△A3B3C3,如果△ABC中任意一点M的坐标为(x,y),写出它的对应点M3的坐标; (4)△ABC与△A2B2C2关于点P成中心对称,在图中标注点P,并写出点P的坐标. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册14 《第3章图形的相似第5节图形的的位似》预习讲义 一．学习目标 ( 1.理解位似图形、位似中心、位似比的概念，分清位似图形与普通相似图形的区别与联系，牢记位似成立的三个必备条件。 2.熟练掌握位似图形的性质：对应点连线经过位似中心、对应边互相平行（或共线），对应点到位似中心的距离之比等于位似比；同时继承相似图形周长、面积的比例规律。 3.掌握位似图形的作图步骤，可以选取图形内部、外部、边上任意一点作为位似中心，把图形放大或者缩小。 4.掌握平面直角坐标系中，以坐标原点为位似中心的坐标变化规律，能根据坐标判断位似变换，也可根据位似比写出对应点坐标。 5.能够区分平移、轴对称、旋转、位似这四种图形变换，解决位似结合坐标的综合题型。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.位似图形的概念识别，找准位似中心，熟练运用位似图形的独有性质。 2.标准的位似作图方法，能按照指定位似比绘制放大、缩小后的图形。 3.原点作为位似中心时，坐标的变化规律（横、纵坐标同乘k或-k）。 （二） 难点 1.判断一组相似图形是不是位似图形，区分 “ 相似 ” 和 “ 位似 ” 的从属关系。 2.位似中心在图形另一侧（反向位似）的作图与坐标变化，容易和同向位似混淆。 3.结合坐标系，综合多种图形变换，准确分析点的坐标变化过程。 ) 三．知识梳理 （一）位似图形的定义（三要素缺一不可） 下图由一组形状相同的图片组成. 在图片①和图片②上任取一组对应点 A，A'，你有什么发现？ 【解析】点A、点A'和点O在同一条直线上。 1.标准定义（北师大版教材原话） 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或者在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形。这个交点叫做位似中心，这时的相似比又叫位似比。 如图的两个五边形是位似五边形. 如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P，P′ 所在的直线都经过同一点 O，且有 OP′：OP=k (k ≠ 0)，那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点 O 叫作位似中心.其中 k 就是这两个相似多边形的相似比. 2.位似图形必须同时满足的3个条件（缺一不可） （1）两个图形一定是相似图形（形状相同）； （2）所有对应顶点的连线，全都交于同一个公共点（位似中心）； （3）每一组对应边互相平行，或者落在同一条直线上。 3.从属关系 位似图形 ⇒ 一定是相似图形；相似图形 ⇒ 不一定是位似图形（缺少位置关系） （二）位似图形的性质 从下图中我们可以看到，△ABO∽△A′B′O，则，AB‖A′B′. 你得到了什么？ 【解析】（1）△ABO∽△A'B'O，△CBO∽△C'B'O （2）对应边互相平行：AB‖A'B'，BC‖B'C'，AC‖A'C' （3）所有对应顶点的连线AA'、BB'、CC'都相交于同一点O，所以这两个图形是位似图形，点O是位似中心。 【归纳】位似图形的核心性质（由定义直接得出） （1）任意一对对应点到位似中心的距离之比，等于位似比； （2）对应点、位似中心三点在一条直线上； （3）继承相似三角形性质：周长比=位似比，面积比=位似比的平方。 （三）位似图形的作图方法（四步作图法） 如图，已知 △ABC，以点 O 为位似中心画 △DEF，使其与 △ABC 位似，且相似比为2. 解：画射线 OA，OB，OC；沿着射线OA，OB，OC 反方向上分别取点 D，E，F， OD = 2OA，OE = 2OB，OF = 2OC；顺序连接 D，E，F，使 △DEF 与△ABC 位似，相似比为 2. 【归纳】画出一个图形的位似图形，固定步骤： 1.定心：选定位似中心（可以在图形外、图形内、图形的顶点上），找出原多边形所有顶点（关键点）； 2.连线：将位似中心分别和每一个顶点连接，并且适当延长线段； 3.定点：按照给定的位似比k，在连线上截取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于k； 4.构图：按照原有顺序，依次连接所有新的对应顶点，形成位似图形。 （四）平面直角坐标系中的位似变换（原点为位似中心） 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC 的位似，且相似比是 2 : 3. 解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘以 ；在平面直角坐标系中描点O (0，0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，用线段顺次连接 O，A'，B'，C'. 画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘 － ；在平面直角坐标系中描点O (0，0)，A″ (－4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″. 【归纳】平面直角坐标系中的位似变换的步骤 （1）找点：找出原多边形所有顶点的坐标 A(x1,y1)、B(x2,y2)。 （2）求新坐标：设位似比为 k ①同侧位似：新坐标 (kx, ky) ②异侧（反向）位似：新坐标 (-kx,-ky) （3）描点：在坐标系里依次标出全部变换后的对应点 （4）顺次连线：依照原图顶点的顺序，把新点依次连接，得到位似图形 （五）四种图形变换对比（归纳区分） 至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在下图所示的图案中，你能找到这些变换吗？ 【解析】（1）四种变换的异同，相同点：变换之后，图形的形状都不会改变；不同点：①平移、轴对称、旋转：属于全等变换，图形大小不变，前后完全全等；对应线段长度、角度全都不变。②位似：属于相似变换，图形可以放大或者缩小，对应边成比例，角的大小不变。 （2）对应图案分析，第一个彩色风车图案：主要利用旋转得到，以中心点为旋转中心，多次旋转相同角度构成整体图形。第二个阶梯方块图案：主要依靠平移，把基本方块不断平移复制形成。第三个花纹图案：可以用轴对称（翻折），也可以结合旋转；如果花纹有大小渐变，还存在位似变换。 【四种图形变换对比】 变换 形状 大小 对应边、角关系 对应点连线特点 核心特点 平移 不变 不变 边相等，角相等，对应线段平行 连线互相平行 沿着直线整体挪动，方向不变 翻折 不变 不变 边相等，角相等 连线被对称轴垂直平分 沿对称轴对折后两边完全重合 旋转 不变 不变 边相等，角相等 连线交于旋转中心，到中心点距离相等 绕某一个定点转动一定角度 位似 不变 改变 角相等，对应边成比例 所有连线相交于位似中心 对应边互相平行，存在缩放效果 四．经典例题 例1.（2024-2025·贵阳市南明区期末）下列说法正确的是（ ） A. 相似图形一定是位似图形 B. 位似图形对应边一定互相平行或共线 C. 位似图形对应点连线互相平行 D. 位似比不等于相似比 【答案】：B 【解析】：位似属于特殊的相似，相似不一定位似，A错误；位似图形每组对应顶点连线全部交于位似中心，不是平行，C错误；位似比就是相似比，D错误。 例2.（2026·贵阳市云岩区一模）在平面直角坐标系，以原点O为位似中心，点A(2,3)，位似比为2，在原点同侧的对应点坐标是（ ） A.(4,6) B.(-4,-6) C.(2,6) D.(3,2) 【答案】：A 【解析】：原点为位似中心，同向位似坐标横纵坐标同乘k，2×2=4，3×2=6，坐标(4,6)。 例3.（2025·贵阳市花溪区期末）△ABC与△A'B'C'以O为位似中心，位似比1:2，△ABC面积为3，则△A'B'C'面积为（ ） A.6 B.9 C.12 D.18 【答案】：C 【解析】：位似比1:2，面积比等于位似比的平方1:4，3×4=12。 例4．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△EDC的周长为8，则△ABC的周长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】：B 【解析】根据三角形的位似比等于相似比，和相似三角形的性质计算即可；∵△ABC和△EDC的位似比为1：2，∴△ABC和△EDC的相似比为1：2，又∵△EDC的周长为8，∴，∴△ABC的周长为4．故选B． 例5.（2025·观山湖区期末）位似图形一定是______图形。 【答案】：相似 【解析】：位似的前提条件，位似是具备特殊位置关系的相似图形。 例6.（2026·南明区二模）原点O为位似中心，点P(-3,4)，位似比-，对应点坐标为____。 【答案】：(,-2) 【解析】：横纵坐标同时乘以-，属于原点异侧的反向位似。 例7.（2025·云岩区期末）位似图形的周长之比等于________。 【答案】：位似比（相似比） 【解析】：位似继承相似图形的性质，周长比等于相似比，面积比为平方比。 例8.（2026·花溪区一模）幻灯投影成像属于______变换。 【答案】：位似 【解析】：光源为位似中心，幻灯片和屏幕的图形对应点连线交于光源，对应边平行，符合位似特征。 例9.如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置．如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比． 解：连接AD，CF交于点O，则点O即为所求；∵OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm， ∴OC∶OF＝3∶2，∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2. 例10．如图已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，点A，B，A'，B'，O共线，点O为位似中心． （1）AC与A'C'平行吗？为什么？ （2）若AB=2A'B'，OC'=5，求CC'的长． 解：（1）与平行。理由如下：∵与△A'B'C'是位似图形，点共线，∴，∴． （2）∵与△A'B'C'是位似图形，，，∴，∴的长为15． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024·贵阳市花溪区期中）下列四种图形变换，唯一能改变图形大小的是（ ） A.平移 B.轴对称 C.旋转 D.位似 【答案】：D 【解析】：平移、轴对称、旋转都是全等变换，图形大小不变；位似可以放大或缩小图形。 2.（2025·乌当区期末）△ABC与△DEF位似，位似中心为O，下列结论错误的是（ ） A.AB‖DE B.直线AD过点O C.OA:OD=AB:DE D.面积之比等于位似比 【答案】：D 【解析】：位似图形面积之比等于位似比的平方，不是位似比本身，其余三条均符合位似性质。 3.（2026·南明区一模）以原点为位似中心，把点(5,-2)缩小到原来的，同侧坐标为（） A.(1,-0.4) B.(-1,0.4) C.(5,-) D.(25,-10) 【答案】：A 【解析】：横纵坐标同时乘以，5×=1，-2×=-0.4。 4.（2025·观山湖区期末）判断两个相似图形是不是位似图形，关键看（） A.边长是否成比例 B.对应角是否相等 C.对应点连线是否交于同一点 D.图形形状是否一致 【答案】：C 【解析】：相似只要求形状相同；位似额外要求所有对应顶点连线相交于同一个位似中心。 5.（2026·云岩区二模）位似比为3:1，两个图形的周长比为（ ） A.9:1 B.3:1 C.1:3 D.:1 【答案】：B 【解析】：位似图形周长之比等于位似比，面积比才是平方关系。 6.（2024·花溪区期末）位似中心可以选取的位置是（ ） A.只能在图形外部 B.只能在图形内部 C.只能在顶点上 D.图形内、图形外、边上、顶点都可以 【答案】：D 【解析】：位似中心的选取没有限制，可以任意选定一点。 7．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为（1，2），C点坐标为（2，4），，则线段CD长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 【答案】：B 【解析】：根据三角形的位似比等于相似比，和相似三角形的性质计算即可；∵△ABC和△EDC的位似比为1：2，∴△ABC和△EDC的相似比为1：2，又∵△EDC的周长为8， ∴，∴△ABC的周长为4．故选B． 8．已知，直角坐标系中，点，点，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点的对应点的坐标为（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】：A 【解析】：根据位似变换的性质解答即可．点，以为位似中心，按比例尺把缩小点的对应点的坐标为或即或 9．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A′，则A′B′的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．15 【答案】B 【解析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，∴＝，即＝，解得，A′B′＝9． （二）填空题 10.（2025·南明区期末）若点M(4,-6)以原点为位似中心，位似比-3，新坐标：________。 【答案】：(-12,18) 【解析】：横纵坐标分别乘以-3，得到反向位似的坐标。 11.（2026·乌当区一模）位似图形对应线段的比值等于________。 【答案】：位似比 【解析】：位似继承相似的全部性质，对应线段的比等于位似比。 12.（2025·云岩区期末）两个位似多边形面积之比16:9，则位似比为________。 【答案】：4:3 【解析】：面积比开算术平方根，得到位似比。 13.（2026·观山湖区二模）把图形做位似缩小，位似中心在图形右侧，对应边的位置关系是________。 【答案】：互相平行 【解析】：位似图形的对应边永远互相平行或者在同一条直线上。 14.（2024·南明区期中）△OAB和△OA'B'位似，原点为中心，点A(2,4)对应A'(1,2)，位似比是______。 【答案】：1:2 【解析】：对应坐标比值为，即位似比1:2。 15.（2026·花溪区一模）皮影戏利用的图形变换是______。 【答案】：位似 【解析】：灯光光源作为位似中心，形成标准的位似成像。 16.如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD ， 则端点D坐标为_____． 【答案】(4，2) 【解析】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD ， B（8，4），∴端点D坐标为（8×，4×），即（4，2）． 故答案为：（4，2）． 17．如图，在直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，将△EFO缩小为△E'F'O，且△E'F'O与△EFO的相似比为，则点E的对应点E'的坐标为_________． 【答案】（﹣2，1）或（2，﹣1） 【解析】∵以O为位似中心，将△EFO缩小为△E'F'O，△E'F'O与△EFO的相似比为，∵E（﹣4，2），∴点E'的坐标为:（﹣2，1）或（2，﹣1）；故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）． （三）解答题 18.把四边形 ABCD 缩小到原来的 . 解：把四边形 ABCD 缩小到原来的 . (1) 在四边形外任选一点 O (如图)； (2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A′ 、B′、C′、D′，使得； (3) 顺次连接点 A′、B′、C′、D′，所得四边形 A′B′C′D′ 就是所要求的图形． 19．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图． （1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标； （2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C； 解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）； （2） 如图，△A2B2C为所作； 20、在图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（-2，-1）、B（-1，-3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1．并写出点B的对应点B2的坐标； (3)判断△OA2B2能否看作是由△O1A1B1经过某种变换后得到的图形，若是，请指出是怎样变换得到的（直接写答案）． 解：（1）如图示，连接各对应点的连线的交点，点P位置如图，点P的坐标为：P（-5，-1）；    （2）如图所示，△OA2B2与△OAB的相似比为2：1，△OA2B2为所求，B 2的坐标为：（-2，-6）； （3）△OA2B2是由△O1A1B1经过向左平移5个单位，向下平移1个单位变换后得到的图形． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026·贵阳市云岩区中考三模）下列各组图形，不属于位似图形的是（ ） A.投影仪投影的图片和原图 B.方格中任意两个相似的三角形（对应点连线不交于同一点） C.相机拍摄的景物和成像 D.以一点为中心放大的多边形 【答案】：B 【解析】：普通相似三角形，对应顶点连线没有公共交点，不满足位似的条件，不属于位似图形。 2.（2025·贵阳市乌当区期末）在坐标系中，将多边形所有顶点(x,y)换成(-2x,-2y)，说法错误的是（ ） A.位似中心是原点 B.位似比为2 C.图形在原点另一侧 D.图形缩小为原来的二分之一 【答案】：D 【解析】：坐标乘以-2，图形是放大到原来的2倍，不是缩小，其余结论全部正确。 3.（2026·花溪区一模）△ABC与△A'B'C'位似，OA:OA'=3:4，下列比例正确的是（ ） A.AB:A'B'=3:4 B.面积比3:4 C.周长比16:9 D.对应中线比16:9 【答案】：A 【解析】：对应点到位似中心距离之比就是位似比，对应边之比等于位似比3:4；面积比9:16。 4.（2024·南明区期中）位似图形上，任意一组对应点到位似中心的距离之比等于（ ） A.面积比 B.位似比 C.周长平方比 D.边长平方比 【答案】：B 【解析】：这是位似图形的核心性质，对应点到中心的距离比值就是位似比。 5．如图，△ABO缩小后变为△ABO，且A、B的对应点分别为A′、B′，点A、B、A′、B′均在格点上，若线段AB上有点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P的坐标为（D　） A． B．（m，n） C． D． 【答案】：D 【解析】：∵点A的坐标为（4，6），点B的坐标为（6，2），的坐标为（2，3），点的坐标为（3，1），∴缩小比例为，∴点的坐标为：，故选D． 6.如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（　　） A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 【答案】D 【解析】根据信息，找到OB与OD的比值即可．∵B（0，1），D（0，3），∴OB＝1，OD＝3， ∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD＝1：3． 7. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 16 【答案】B 【解析】根据周长之比等于位似比计算即可．设的周长是x，∵ 与位似，相似比为，的周长为4，∴4：x=2：3，解得：x=6，故选：B． 8．以点O为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍得到△DEF，下列说法错误的是（　　） A．△ABC∽△DEF B．AB∥DE C．BE：BO＝2：1 D．点C、O、F三点共线 【答案】C 【解析】A选项：位似图形是特殊的相似图形，所以△ABC∽△DEF，正确。B选项：位似图形的对应边互相平行（或在同一直线上），所以AB‖DE，正确。C选项：位似比为2:1，则DO:AO = EO:BO = 2:1，即EO = 2BO，那么BE = EO - BO = 2BO - BO = BO，所以BE:BO = 1:1，不是2:1，错误。D选项：位似图形的对应顶点连线都经过位似中心，所以点C、O、F三点共线，正确。 9．在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（　　） A．位似图形 B．相似三角形的判定 C．旋转 D．平行线的性质 【答案】C 【解析】人眼成像的原理是物体和像关于瞳孔成位似关系：位似图形（A）：物体和像是以瞳孔为位似中心的位似图形。相似三角形的判定（B）：可以通过对应边成比例、对应角相等判定相似三角形。平行线的性质（D）：位似图形的对应边平行，会用到平行线的性质。 旋转（C）：整个过程没有涉及图形的旋转变换。 10．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，已知OD：OA＝1：2．若△ABC的面积为8，则△DEF的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】已知位似比 OD:OA = 1:2 ，位似图形的面积比等于位似比的平方，即： ,已知 S△ABC=8 ，所以：S△DEF= 2 （二）填空题 11.（2026·贵阳市南明区三模）原点为位似中心，点(-2,5)，位似比4，同向坐标：________。 【答案】：(-8,20) 【解析】：横纵坐标同乘4，符号保持不变。 12.（2025·云岩区期末）两个位似图形周长之比5:7，对应高之比=______。 【答案】：5:7 【解析】：所有对应线段的比值都等于位似比，和周长比保持一致。 13.（2026·乌当区一模）△DEF与△ABC位似，面积之比9:25，位似比=________。 【答案】：3:5 【解析】：面积比开平方得到位似比。 14.（2026·观山湖区二模）点M(6,-8)以原点为位似中心，位似比-，坐标为________。 【答案】：(-2,) 【解析】：6×(-)=-2，-8×(-)=。 15．如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　 　． 【答案】（4，2）． 【解析】根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．如图，点G（4，2）即为所求的位似中心． 16.《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为___________． 【答案】 【解析】根据正方形ABCD的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；正方形ABCD的面积为4，，，， ，所求周长． 17．如图，点A（3，4），点B（4，0），以O为位似中心，按比例1∶2，将△AOB放大后得△A1O1B1，则A1坐标为____． 【答案】或 【解析】根据位似图形的性质可得位似比为或，将点的坐标乘以或即可得到A1坐标．依题意，点A（3，4），按比例1∶2，将△AOB放大后得△A1O1B1，的坐标为或，故答案为：或． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．以原点为位似中心，把放大，使得放大前后对应线段的比为，则点的对应点的坐标为______． 【答案】或 【解析】根据位似变化的性质解答即可．以原点O为位似中心把放大，且放大前后对应线段的比为，，点的对应点的坐标为或，即或，故答案为：或． 19．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为A（﹣4，2），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标为 _____． 【答案】或 【解析】的顶点，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到△，点的对应点的坐标为，或，，即，或，．故答案为：，或，． 20.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ________． 【答案】（3，2） 【解析】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，∴，而BE=EF=6，∴，∴BC=2，OB=3， ∴C（3，2）．故答案为：（3，2）． （三）解答题 21.找出下列图形的位似中心. 解：如图，位似中心为点O. 22.如图，在平面直角坐标系中有一个△ABO，其中点A，B的坐标分别为(-4，2)， (-2，4)． (1)以坐标原点O为位似中心，作出△AOB的位似三角形，并把△ABO的边长缩小到原来的． (2)点C(-2.4，3.6)是边AB上一点，根据你所画图形写出它对应点的坐标． 解：(1)如图，△A1B1O或△A2B2O就是所求作的三角形． (2)∵相似比为，∴C(-2.4，3.6)的坐标缩小为原来的一半，当位似三角形在第二象限时，C(-2.4，3.6)在位似三角形中所对应的坐标为（-1.2，1.8），当位似三角形在第四象限时，C(-2.4，3.6)在位似三角形中所对应的坐标为（1.2，-1.8）． 23.正方形ABCD与正方形OEFG中,点D和点F的坐标分别为(-3,2)和(1,-1),求这两个正方形的位似中心的坐标. 解:当位似中心在两正方形之间时,连接AF,DG,交于H,如图(1)所示,则点H为其位似中心,且H在x轴上,因为点D的纵坐标为2,点F的纵坐标为-1,即两正方形边长分别为2,1, 所以其相似比为2∶1,所以CH=2HO,即OH=OC,又C(-3,0),所以OC=3,所以OH=1,所以H的坐标为(-1,0);当位似中心在正方形OEFG的右侧时, 如图(2)所示,连接DE并延长,连接CF并延长,两延长线交于M,过M作MN⊥x轴,因为点D的纵坐标为2,点F的纵坐标为-1,即两正方形边长分别为2,1,所以其相似比为2∶1,所以EF=DC,即EF为△MDC的中位线,所以ME=DE,又∠DEC=∠MEN,∠DCE=∠MNE=90°,所以△DCE≌△MNE,所以EN=CE=OC+OE=3+1=4,即ON=5,MN=DC=2,则M坐标为(5,-2),综上,位似中心为(-1,0)或(5,-2). 24.如图,在▱ABCD中,点E是BC的中点,AE,BD相交于点O, (1)图中△AOD与△EOB是位似三角形吗,若是,指出其位似中心和相似比; (2)如果S△BOE=6,求S△ABD的值. 解:(1)是,位似中心为O,相似比为2. (2)由(1)知△AOD∽△EOB,所以==,所以=,=, 又S△BOE=6,所以S△AOD=24,S△AOB=12,所以S△ABD=S△AOD+S△AOB=36. 25.“位似变化”是一种重要的几何变化,可以将图形放大或缩小,且与原图形相似.你能用位似变化解决下列问题吗? 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=6,矩形EFGH的一边EF在边AC上,点H在斜边AB上,EF=2,HE=1. (1)请你用圆规和无刻度的直尺在Rt△ABC内作一个最大的矩形,使它与矩形EFGH位似(不要求写作法,但必须保留作图痕迹); (2)请证明你作图方法的正确性; (3)求这个最大矩形与矩形EFGH的面积之比. 解:(1)如图,①作AC的垂直平分线TK,交AB于点M,交AC于点N,②过点M作MD⊥BC,垂足为点D,四边形MNCD就是所求. (2)因为MN⊥AC,MD⊥BC,所以∠C=∠MNC=∠CDM=90°,所以四边形MNCD是矩形.因为AN=NC,MN∥BC,所以AM=MB.因为MD∥AC,所以CD=DB,所以MD=AC=6,MN=BC=3,所以=2, 又因为=2,所以=,所以矩形EFGH与矩形MNCD是位似图形. (3)==9. 26.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在 建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(3,-1). (1)将△ABC的顶点A平移到点A1,画出平移后的△A1B1C1,并写出C1的坐标和平移的距离; (2)画出△A1B1C1绕点O旋转180°的△A2B2C2,并写出点C2的坐标,如果△A1B1C1中任意一点M1的坐标为(x,y),写出它的对应点M2的坐标; (3)在第二象限内以原点O为位似中心,将△ABC放大,使它们的相似比为2∶1,画出放大后的△A3B3C3,如果△ABC中任意一点M的坐标为(x,y),写出它的对应点M3的坐标; (4)△ABC与△A2B2C2关于点P成中心对称,在图中标注点P,并写出点P的坐标. 解:(1)△A1B1C1如图所示,C1的坐标为(5,3),平移的距离为2. (2)△A2B2C2如图所示,C2的坐标为(-5,-3),M2的坐标为(-x,-y). (3)△A3B3C3如图所示,M3的坐标为(-2x,-2y). (4)点P的位置如图所示,坐标为(-1,-2). 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