1.1.2空间向量的数量积运算预习及检测（解析版+原卷版）——2026-2027学年高二上学期人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修第一册预习检测 1.1.2空间向量的数量积运算 一、学习目标： 1.掌握空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用向量的数量积解决立体几何问题. 二、知识梳理 1.空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜cos＜a，b＞叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝ ； 零向量与任意向量的数量积为0 性质 ①a⊥b⇔ ； ②a·a＝｜a｜｜a｜cos＜a，a＞＝｜a｜2 运算律 ①（λa）·b＝λ（a·b），λ∈R； ②a·b＝b·a（交换律）； ③（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律） 2.投影向量 （1）向量a在向量b上的投影向量：先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在 的投影向量. 图1 （2）向量a在直线l上的投影向量：先将向量a与直线l平移到同一平面α内，如图2，向量c称为向量a在 的投影向量. 图2 （3）向量a在平面β上的投影向量：如图，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，则向量（a'）称为向量a在 的投影向量. 三、概念辨析 1、（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）零向量与任意向量的数量积都为0.（　　） （2）对于任意向量a，b，c，都有（a·b）·c＝a·（b·c）.（　　） （3）若a·b＝0，则a＝0或b＝0.（　　） （4）对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.（　　） 2. 【人教A版选择性必修一习题1.1第5题】如图，在平行六面体中， AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 3．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 4．（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 四、过关检测 1、如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于（　） A.－2 B.2 C.－2 D.2 2. 【人教A版选择性必修一第1.1.2节练习第1题】如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 3、如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则AC1＝（　　） A.2 B. C.2 D. 4. （多选）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积可能为0的是（　　） A.　　　 B. C.　　　 D. 5．已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 6. 【人教A版选择性必修一习题1.1第4题】如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求： （1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）． 7. 如图，空间四边形中，.求证：. 8、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB. 9. 如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）； （2）的长； （3）的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修第一册预习检测 1.1.2空间向量的数量积运算 一、学习目标： 1.掌握空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用向量的数量积解决立体几何问题. 二、知识梳理 1.空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜cos＜a，b＞叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　；零向量与任意向量的数量积为0 性质 ①a⊥b⇔　a·b＝0　； ②a·a＝｜a｜｜a｜cos＜a，a＞＝｜a｜2 运算律 ①（λa）·b＝λ（a·b），λ∈R； ②a·b＝b·a（交换律）； ③（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律） 2.投影向量 （1）向量a在向量b上的投影向量：先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 图1 （2）向量a在直线l上的投影向量：先将向量a与直线l平移到同一平面α内，如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量. 图2 （3）向量a在平面β上的投影向量：如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，则向量（a'）称为向量a在平面β上的投影向量. 图3 三、概念辨析 1、（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）零向量与任意向量的数量积都为0.（　√　） （2）对于任意向量a，b，c，都有（a·b）·c＝a·（b·c）.（　✕　） （3）若a·b＝0，则a＝0或b＝0.（　✕　） （4）对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.（　✕　） 2. 【人教A版选择性必修一习题1.1第5题】如图，在平行六面体中， AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据代入计算化简即可. 【详解】故选：B. 3．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确，对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误，对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误.故选：B. 4．（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误.对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误.对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量，和不一定共线，不一定等于，故D错误.故选：ABD. 四、过关检测 1、如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于（　） A.－2 B.2 C.－2 D.2 【答案】A 解析：∵＝－，∴＝·（－）＝－＝0－2×2×cos 60°＝－2.故选A. 2. 【人教A版选择性必修一第1.1.2节练习第1题】如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答. 【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，，令，则，而，，于是得，因此，，所以与所成角的大小为.故选：B 3、如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则AC1＝（　　） A.2 B. C.2 D. 【答案】B 解析：因为底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则＝1，＝1，＝4，＝0，＝｜｜·｜｜·cos∠A1AB＝1，＝｜｜·｜｜·cos∠A1AD＝1，则｜｜＝｜＋＋｜＝＝ ＝＝.故选B. 4. （多选）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积可能为0的是（　　） A.　　　 B. C.　　　 D. 【ABC】 解析：选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，所以AD1⊥B1C，此时有＝0；选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，又AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时＝0；选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，所以AB⊥AD1，所以＝0.选项D，由长方体的性质易知BD1与BC不可能垂直，所以≠0. 5．已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，，，可得，，然后利用数量积的定义及运算法则即可求. 【详解】因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体，如图，设，，， 则，又，， ∴.故选：A. 6. 【人教A版选择性必修一习题1.1第4题】如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求： （1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】根据空间向量数量积的定义计算即可. 【详解】四面体ABCD的所有棱长都等于a，任意两条棱所在直线的夹角为， E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，， （1）； （2）； （3）； （4），则直线BD与直线BC所成角就是直线EF与直线BC所成角，又，； （5），则直线AC与直线AB所成角就是直线FG与直线BA所成角， ； （6） 取BD中点M，连接AM，CM，则，， 平面ACM，又平面ACM，，，， 又，，，可知， . 7. 如图，空间四边形中，.求证：. 【详解】利用三个不共面的向量作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直. 【解析】∵，∴.∵，∴. ∴（1），同理:由得（2） 由（1）－（2）得，∴，∴， ∴，∴. 8、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB. 证明：设＝p，＝q，＝r，则＝＝＝a，且p，q，r两两夹角均为60°， 连接AN（图略），＝－＝－＝， ＝·p＝（q·p＋r·p－p2）＝＝0，则MN⊥AB. 9. 如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）； （2）的长； （3）的长． 【答案】（1）10；（2）；（3） 【分析】（1）根据数量积的定义即可计算；（2）由平方即可求解； （3）由即可求解. 【详解】（1）； （2），，， 即的长为。 （3）， ，，即的长为. 学科网（北京）股份有限公司 $