3.1.1专题：对勾函数的图像与值域 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学讲义以“双勾函数的图像与值域”为专题，通过“定义-顶点性质-变化趋势”的逻辑链条构建知识体系，结合图像直观呈现函数形态，用基本不等式推导顶点坐标，系统梳理双勾函数的核心知识点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，涵盖单选、多选、填空及解答题，如“已知x>0求函数最小值”的例题，引导学生运用基本不等式解决问题，培养运算能力与模型意识。不同难度题目满足分层需求，助力学生掌握方法，教师可据此实施精准教学。

3.1.1 专题：双勾函数的图像与值域 【基础回顾】 1 【题型】求双勾函数的值域问题 1 【基础回顾】 知识点1:双勾函数 88 / 10 学科网（北京）股份有限公司 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,它是由正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数. 当,同号时,的图像形状酷似双勾.故又被称为“双勾函数”“勾函数”等.如图所示.为了研究方便,我们规定. 知识点2:双勾函数的顶点 考虑,求对勾函数的最值可与基本不等式结合,由基本不等式可得,当且仅当,即时,取最小值.当,同理可得时,取最大值. 知识点3:双勾函数的变化趋势 由函数图像知,当时,函数值随增大而减小,时,函数值随的增大而增大. 【题型】求双勾函数的值域问题 【例题精讲】 一、单选题 1．（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 2．（25-26高一上·上海·月考）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 3．（25-26高一上·天津西青·月考）下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可. 【详解】对于①只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则①不正确； 对于②, ，令， 则在上单调递增，则最小值为, 则②不正确； 对于③,，则③正确； 对于④,当时，，当且仅当 时，即，等号成立，则④不正确. 综上只有1个正确， 故选：B. 4．（25-26高一上·河北保定·月考）下列选项不正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是 C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2 【答案】D 【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质直接可得. 【详解】对于A：当时， ， 当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是3，故A正确； 对于B：当，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值是，故B正确； 对于C：当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是5，故C正确； 对于D：令，所以， 由对勾函数的性质可知，在单调递增，所以，故D错误. 故选：D. 二、多选题 5．（25-26高一上·广东·期中）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 6．（25-26高一上·广东佛山·月考）下列函数中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】用基本不等式可对选项进行判断，注意基本不等式等号成立的条件，用二次函数的性质可判断选项. 【详解】对于选项. 函数，定义域为. 当时，，当且仅当，即时等号成立，即； 当时，，当且仅当，即时等号成立，即. 综上，函数的最小值不是2，选项错误. 对于选项. 函数，定义域为. 对，，当且仅当时等号成立，但没有能满足此条件，故此函数最小值不是2，选项错误. 对于选项. 函数，其中，故. ，当且仅当，即时等号成立. 故函数的最小值为2，选项正确. 对于选项. ，定义域为，且 则，由函数的性质可知，当时，有最小值4. 故当时，有最小值，故选项正确. 故选：. 7．（24-25高三上·安徽铜陵·月考）下列命题是真命题的有（ ） A．时，的最大值为 B．已知，则的最小值为 C．已知，，，则不等式成立的充分不必要条件是 D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式求最值判断A、B；根据不等式性质及充分、必要性定义判断C；取，可判断D. 【详解】A：由，则， 当且仅当时取等号，故的最大值为，A错； B：，当且仅当时取等号，即的最小值为，B对； C：若，显然，则；若，时，不成立， 所以是的充分不必要条件，C对； D：取，可得，D对. 故选：BCD. 三、填空题 8．（25-26高一上·天津宝坻·月考）已知，若，的最小值为__________. 【答案】6 【分析】对函数进行变形，使其满足基本不等式的使用条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值，为. 故答案为：6. 9．（25-26高一上·上海静安·月考）已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用对勾函数的性质，对实数进行讨论可得其取值范围. 【详解】已知在上存在最小值, 当时，函数为对勾函数，在处取得最小值， 为使最小值点落在区间内，需，解得， 当时，函数单调递增，在区间内不存在最小值点， 因此实数的取值范围是. 10．（25-26高一下·浙江杭州·期中）若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意得出，所以，于是得出，令，可得，利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为， 所以，所以， 故，令， 则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故， 因此的取值范围是. 11．（25-26高一上·广东深圳·月考）若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为________. 【答案】 【分析】令，代入不等式进行化简，消除，再令，进行化简，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，，令，所以， 则，所以， 由对任意实数，成立，所以求的最大值， 因为，则，令， 所以，上下同除以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以， 所以实数的最小值为. 故答案为：. 12．（25-26高一上·上海·月考）若对恒有，则的取值范围是_____ 【答案】 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 13．（25-26高三上·北京·月考）若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 四、解答题 14．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1），求的最小值； （2），求的最小值； （3）已知求最大值. 【答案】（1）4；（2）4；（3）. 【分析】（1）（2）应用基本不等式求函数的最小值，注意取值条件； （3）由基本不等式及凑配法求乘积的最大值，注意取值条件. 【详解】（1）由题设，当且仅当时取等号，故的最小值为4； （2）由，， 当且仅当时取等号，则的最小值为4； （3）当时，,当，则， 当且仅当时取等号，则的最大值为. 15．（2025高一上·全国·专题练习）求函数的最小值． 【答案】 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可． 【详解】 ， 当且仅当，即时，． 16．（25-26高一上·上海闵行·期中）平均值不等式在求解最大值或最小值的过程中应用广泛，如：时，．当不能直接应用平均值不等式时，我们还可以通过构造来实现． (1)当时，求的最小值，并指出此时的值； (2)已知，且，求的最小值，并指出此时的值； (3)已知，求函数的最小值，并指出此时的值． 【答案】(1)当时，取得最小值3； (2)当时，的最小值是4； (3)当时，的最小值为. 【分析】（1）利用配凑得出，结合基本不等式即可得到最小值； （2）根据题意对所求式子乘，再结合基本不等式即可得到最小值； （3）先配凑出，再将其与所求式子相乘，然后结合基本不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， ， 根据基本不等式，因为， 所以，当且仅当，即时取等号， 因此，当时，取得最小值3； （2）因为, 所以， 根据基本不等式，因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 由且，解得， 因此，当时，的最小值是4； （3）因为， 所以，， 因为， ， 根据基本不等式，因为，， 所以，当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以， 因此，当时，的最小值为. $ 3.1.1 专题：双勾函数的图像与值域 【题型】求双勾函数的值域问题 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】ACD 6．【答案】CD 7．【答案】BCD 8．【答案】6 【分析】对函数进行变形，使其满足基本不等式的使用条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值，为. 故答案为：6. 9．【答案】 【分析】利用对勾函数的性质，对实数进行讨论可得其取值范围. 【详解】已知在上存在最小值, 当时，函数为对勾函数，在处取得最小值， 为使最小值点落在区间内，需，解得， 当时，函数单调递增，在区间内不存在最小值点， 因此实数的取值范围是. 10．【答案】 【分析】由题意得出，所以，于是得出，令，可得，利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为关于的不等式解集为，即不等式解集为， 所以，所以， 故，令， 则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，故， 因此的取值范围是. 11．【答案】 【分析】令，代入不等式进行化简，消除，再令，进行化简，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，，令，所以， 则，所以， 由对任意实数，成立，所以求的最大值， 因为，则，令， 所以，上下同除以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以， 所以实数的最小值为. 故答案为：. 12．【答案】 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 13．【答案】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 14．【答案】（1）4；（2）4；（3）. 【分析】（1）（2）应用基本不等式求函数的最小值，注意取值条件； （3）由基本不等式及凑配法求乘积的最大值，注意取值条件. 【详解】（1）由题设，当且仅当时取等号，故的最小值为4； （2）由，， 当且仅当时取等号，则的最小值为4； （3）当时，,当，则， 当且仅当时取等号，则的最大值为. 15．【答案】 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可． 【详解】 ， 当且仅当，即时，． 16．【答案】(1)当时，取得最小值3； (2)当时，的最小值是4； (3)当时，的最小值为. 【分析】（1）利用配凑得出，结合基本不等式即可得到最小值； （2）根据题意对所求式子乘，再结合基本不等式即可得到最小值； （3）先配凑出，再将其与所求式子相乘，然后结合基本不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， ， 根据基本不等式，因为， 所以，当且仅当，即时取等号， 因此，当时，取得最小值3； （2）因为, 所以， 根据基本不等式，因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 由且，解得， 因此，当时，的最小值是4； （3）因为， 所以，， 因为， ， 根据基本不等式，因为，， 所以，当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以， 因此，当时，的最小值为. 88 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 专题：双勾函数的图像与值域 【基础回顾】 1 【题型】求双勾函数的值域问题 1 【基础回顾】 知识点1:双勾函数 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,它是由正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数. 当,同号时,的图像形状酷似双勾.故又被称为“双勾函数”“勾函数”等.如图所示.为了研究方便,我们规定. 知识点2:双勾函数的顶点 考虑,求对勾函数的最值可与基本不等式结合,由基本不等式可得,当且仅当,即时,取最小值.当,同理可得时,取最大值. 知识点3:双勾函数的变化趋势 由函数图像知,当时,函数值随增大而减小,时,函数值随的增大而增大. 【题型】求双勾函数的值域问题 【例题精讲】 一、单选题 1．（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（25-26高一上·上海·月考）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津西青·月考）下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高一上·河北保定·月考）下列选项不正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．已知，则的最大值是 C．当时，的最大值是5 D．设，则的最小值为2 二、多选题 5．（25-26高一上·广东·期中）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 6．（25-26高一上·广东佛山·月考）下列函数中，最小值为2的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·安徽铜陵·月考）下列命题是真命题的有（ ） A．时，的最大值为 B．已知，则的最小值为 C．已知，，，则不等式成立的充分不必要条件是 D． 三、填空题 8．（25-26高一上·天津宝坻·月考）已知，若，的最小值为__________. 9．（25-26高一上·上海静安·月考）已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 10．（25-26高一下·浙江杭州·期中）若关于的不等式解集为，其中、，则的取值范围为________． 11．（25-26高一上·广东深圳·月考）若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为________. 12．（25-26高一上·上海·月考）若对恒有，则的取值范围是_____ 13．（25-26高三上·北京·月考）若，则函数的最小值为______，此时______. 四、解答题 14．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1），求的最小值； （2），求的最小值； （3）已知求最大值. 15．（2025高一上·全国·专题练习）求函数的最小值． 16．（25-26高一上·上海闵行·期中）平均值不等式在求解最大值或最小值的过程中应用广泛，如：时，．当不能直接应用平均值不等式时，我们还可以通过构造来实现． (1)当时，求的最小值，并指出此时的值； (2)已知，且，求的最小值，并指出此时的值； (3)已知，求函数的最小值，并指出此时的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $