3.2.1 函数的单调性 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学函数单调性复习讲义通过知识框架图系统梳理了核心内容，涵盖单调性定义、等价形式、性质及最值等知识点，用对比表格呈现单调区间书写规范与区间端点处理方法，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于题型设计的全面性与方法指导的精准性，如定义法证明单调性的“设值-作差-变形-判断”四步流程，复合函数单调区间的“同增异减”规律等，培养学生数学思维与推理能力。例题覆盖基础证明、参数求解、不等式应用等，分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准化复习教学。

3.2.1 函数的单调性 【题型一】 定义法判断或证明单调性 3 【题型二】 利用函数图像及函数性质判断单调区间 10 【题型三】求复合函数的单调区间 15 【题型四】 由函数单调性求最值或值域 21 【题型五】已知函数单调性求参数 26 【题型六】分段函数的单调性（求参）问题 31 【题型七】由函数单调性比较大小 36 【题型八】由函数单调性解不等式 41 课时精练 46 【基础回顾】 知识点 1: 函数的单调性 （1）单调递增 设函数 的定义域为 ，区间 . 如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递增。 特别地，当函数 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。 （2）单调递减 设函数 的定义域为 ，区间 . 如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递减。 特别地，当函数 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。 （3）单调性、单调区间、单调函数 如果函数 在区间 上单调递增或单调递减，那么就说函数 在区间 上具有 （严格的） 单调性，区间 叫作 的单调区间。 如果函数在某个区间上具有单调性， 那么就称此函数在这个区间上是单调函数。 （4）单调区间的正确书写 在单调性相同的多个单调区间之间用 “，” 或“和” 的方式来书写。 绝对不能出现并集符号 “ ”。 确定函数的单调性必须指明单调区间。 当函数 在其定义域内的两个区间 上都是增 （减） 函数时，不能说 在 上是增 （减） 函数， 如 在 上是减函数，在 上是减函数，不能说 在定义域 上是减函数，可以说 的单调减区间为 和 . （5）区间端点的写法 对于单独的一点， 因为它的函数值是唯一确定的常数， 没有增减变化， 所以不存在单调性问题， 因此在写单调区间时， 可以包括端点， 也可以不包括端点， 但对于某些无意义的点， 单调区间就一定不包括这些点。 例如： 的单调递增区间是 ，也可以记为 ，但函数 在 上是减函数，就不能写成 在 上为减函数。 知识点 2: 函数的增减性的等价形式 设 ，且 ，那么 ① ② 在 是减函数。 知识点 3: 函数单调性的性质 1. 函数 与 （ 为常数） 具有相同的单调性。 2. 时，函数 与 单调性相同（相反）。 3. 若 恒为正值或恒为负值，则 与 具有相反的单调性。 4. 若 都是增 （减） 函数，则当两者都恒大于零时， 是增 （减） 函数； 当两者都恒小于零时， 是减 （增） 函数。 5. 在公共定义域内， 增+增=增， 减+减=减， 增-减=增， 减-增=减。 知识点 4: 函数的最大 （小） 值 （1）函数的最大值 ①定义：对于函数 ，其定义域为 ，如果存在 ， ，使得对于任意的 ，都有 ，那么，我们称 是函数 的最大值，即当 时， 是函数的最大值，记作 ②几何意义：函数的最大值对应函数图像的最高点的纵坐标。 （2）函数的最小值 ①定义：对于函数 ，其定义域为 ，如果存在 ， ，使得对于任意的 ，都有 ，那么，我们称 是函数 的最小值，即当 时， 是函数 的最小值，记作 ②几何意义：函数的最小值对应图像最低点的纵坐标。 （3）利用函数的单调性求最值的常用结论 ①如果函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，那么函数 在 处有最大值 ; ②如果函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，则函数 在 处有最小值 . 注意：对于定义域为闭区间的函数， 还需要确定函数在端点处的函数值的大小， 将其与所求出的最值进行比较， 值最大 （小） 者即为函数的最大 （小） 值。 【题型一】 定义法判断或证明单调性 基本步骤如下： ①设值：设 ，且 ； ②作差： ； ③变形：对 变形，一般是通分，分解因式，配方等。 这一步是核心，要注意变形到底； ④判断符号， 得出函数的单调性。 【例题精讲】 1．（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由的单调性列出，结合的取值即可求解. 【详解】取，因为在区间上是严格增函数， 则，即， 即，整理得， 因为，所以任意的恒成立， 因为，所以，所以. 2．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 3．（25-26高一下·广东江门·月考）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；对于，为正；证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)请用函数单调性定义证明，在上单调递增； (2)若，函数，求在上的值域（用含a的式子表示） 【答案】(1)证明见解析 (2)时，的值域为；时， 的值域为. 【分析】（1）用函数单调性的定义证明即可； （2）由的单调性得在上的值域，从而可求的值域. 【详解】（1）设是上的任意两个实数，有， ， 因为，所以，，，有， 所以，故在上单调递增. （2）由（1）可得在上单调递增，的值域为. 若，由，解得，因为，故的值域为； 若，由，解得，因为，故的值域为. 综上所述：时，的值域为；时， 的值域为. 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 6．（25-26高一上·四川巴中·月考）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【详解】（1）任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. 7．（2027高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递减 【分析】（1）先用赋值法证明，再通过将自变量拆分成一个负数与它的相反数，利用已知正数范围函数值的性质，推导出负数时的函数值大于1； （2）利用指数型函数性质，取任意两个实数，通过它们的差为正数，将较大的函数值表示为较小的函数值与一个正数对应的函数值的乘积，结合已知正数时的函数值范围，判断出函数在全体实数上单调递减. 【详解】（1）证明:  由题可知对任意实数，，恒有，令，，则． 因为当时，有，所以． 令，，则，， 所以． 即当时，有． （2）不妨设，则，所以 ． 由（1）知，， 所以 ， 即，所以在上单调递减． 8．（25-26高一·全国·寒假作业）已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明； (2)解不等式：． 【答案】(1)单调递减，证明见解析； (2)． 【分析】（1）利用赋值法结合单调性的定义判断和证明即可； （2）由转化为，然后根据单调性求解. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下， 令，，，且， 则， 因为，所以，，即，， 所以在上单调递减． （2），即， 即为，即为， 即为. 因为在上单调递减， 所以，即， 则，解得， 所以不等式的解集为． 9．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，，. (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)用定义证明函数在区间上单调递减； (3)，用表示，中的最小者，记为.例如，当时，.请写出函数的解析式.（直接写出结果，不用说明理由） 【答案】(1)图象见解析 (2)证明见解析. (3) 【分析】（1）直接作图即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数图象，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）根据函数解析式，直接描点作图，图象如图所示： （2）设， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）由函数图象可知，当时，， 当时，，； 当时，，， 所以. 10．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）已知函数． (1)用定义证明在上单调递增； (2)若关于的方程有两个不相等的正实根，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)10． 【分析】（1）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （2）根据在上单调递增，且，方程等价于，即方程有两个不相等的正实根，由根的判别式和韦达定理得到不等式，求出，变形得到，由基本不等式求出最小值，故的最小值为10． 【详解】（1）任取，且，则， 而， 所以 ， 即，所以在上单调递增． （2）因为在上单调递增，且， 所以方程等价于， 即． 因为方程有两个不相等的正实根， 所以解得． 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为10． 【题型二】 利用函数图像及函数性质判断单调区间 【例题精讲】 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 4．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 【答案】C 【分析】根据函数的图象，利用单调性、值域与图象的关系，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数的图象，可得在上单调递减，所以A错误； 对于B，由函数的图象，可得在上的值域是，所以B错误； 对于C，由函数的图象，可得在上单调递增，所以C正确； 对于D，由函数的图象，可得在上的最大值是，所以D错误. 故选：C. 5．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 6．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知，该函数的单调递增区间为和， 故选：B． （多选）8．（25-26高一上·重庆·月考）定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 【答案】BD 【分析】首先理解新定义函数，然后根据定义确定函数的分段表达式，最后分析每个选项的正确性. 【详解】根据定义，当时，，解不等式得， 当时，，解不等式得或， 因此，，作出函数的图象，如图所示， 根据图象，可得无最大值，无最小值，所以A错误； 根据图象得，当，的最大值为1，所以B正确； 由，得或，解得：或， 得不等式的解集为，所以C错误； 由图象得，的单调递减区间为，所以D正确. 故选：BD. （多选）9．（25-26高一上·浙江·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．若，则 C．函数在上的值域为 D．函数的单调递增区间为 【答案】AC 【分析】由具体函数的定义域结合一元二次不等式求解即可判断A；赋值法计算即可判断B；由初等函数单调性可确定函数值域，即可判断C；由二次函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以 的定义域为，故A正确； 对于B，因为， 令，则，故B错误； 对于C，函数在上单调递增， 所以，则值域为，故C正确； 对于D，因为，所以，所以或，所以定义域为， 又函数在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，故D错误. 故选：AC （多选）10．（23-24高一上·广西南宁·期中）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．的单调递减区间为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的单调递增区间为和 【答案】ACD 【分析】根据图象直接判断单调区间和最值即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，D正确． 故选：ACD 【题型三】求复合函数的单调区间 1.复合函数单调性的规律： “同增异减” 若内外两层函数的单调性相同， 则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反， 则它们的复合函数为减函数； 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增 2. 具体判断步骤： （1）求出原函数的定义域； （2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法 “同增异减” 可得出结论。 【例题精讲】 1．（25-26高一上·重庆·月考）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 【答案】B 【分析】根据抽象函数的定义域可判断函数的定义域，根据复合函数的单调性可判断函数单调性. 【详解】因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为； 对于函数，由可得，即函数的定义域为，故CD错误； 对于函数在上单调递增，由于其内层函数为单调增函数，所以可得在上单调递增； 对于函数，由于其内层函数为单调减函数，所以可得在上单调递减. 故选：B 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 3．（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 【答案】B 【分析】先根据的定义域求出的定义域，再通过复合函数单调性判断其单调性. 【详解】因为的定义域为，所以的定义域为， 令，则， 是一次函数，在定义域上是减函数； 已知是定义域为的减函数，所以在定义域上是减函数， 根据复合函数“同增异减”的单调性原则，为减函数，为减函数，两者单调性相同，因此在定义域上是增函数. 故选：B. 4．（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. 5．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 所以函数的定义域为， 因为二次函数对称轴为， 所以函数单调递减区间为， 故选：B 6．（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 7．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B （多选）8．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A：根据分段函数的解析式，代入值，可得答案；对于B：根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案；对于C：根据复合函数的单调性分析判断；对于D：根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】因为函数， 对于选项A：可得，则，解得，故A正确； 对于选项B：若在上单调递增，则，解得， 显然，故B错误； 对于选项C：若，则函数， 当时，令，解得，且在内单调递增； 当时，则，且在内单调递增； 则函数的定义域为，且在定义域内单调递增， 所以函数的单调递增区间为和，故C正确； 对于选项D：若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，则在上单调递增， 可得，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，可得恒成立，符合题意； 综上所述：的取值范围为，D正确． 故选：ACD. （多选）9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 【答案】BCD 【详解】设，则必有，所以，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当时，B，C不成立；当时，D不成立． （多选）10．（24-25高一上·四川成都·期中）下列说法正确的是（ ） A．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 B．若函数的定义域是，则函数的定义域是 C．函数的单调递增区间为 D．已知实数a，b满足，，则3a + b的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由不等式的解集，得到的关系，代入不等式求解即可；对于B，由函数的定义域求函数的定义域；对于C，结合函数定义域，求复合函数的单调递增区间；对于D，利用同向不等式相加，求的取值范围. 【详解】对于A，关于x的不等式的解集为， 则有，得， 不等式，即，得，解得， 所以不等式的解集为，A选项正确； 对于B，若函数的定义域是，则函数中，有， 解得，即函数的定义域是，B选项正确； 对于C，函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数的定义域为， 所以函数单调递增区间为，C选项错误； 对于D，已知，则有，与两式相加， 得，即的取值范围是 ，D选项正确. 故选：ABD. 【题型四】 由函数单调性求最值或值域 【例题精讲】 1．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若命题“都成立”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，结合命题为真命题，可得不等式，利用单调性求出的最大值即可. 【详解】由已知，为真命题， 则对于恒成立， 所以, 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以，所以. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出定义域，利用换元法，原函数转化为，分析可得的单调性，代入数据，即可得答案. 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以当时，单调递增，则.又函数的值域为， 所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以. 当，即时，函数在上单调递增，时，， 当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是. 4．（2026·湖北·二模）已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 令则，则原函数的值域等价于函数的值域， 时，恒成立，即单调递增， 当时，，时，， 所以值域为. 5．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 6．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】用代替得到，联立即可得，再通过换元，得到结合对勾函数单调性即可求解. 【详解】因为，① 所以用代替得．② ①②得． 设．当时，； 当时，可转化为函数． 又因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最小值2， 所以当时，，则， 因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最大值， 当时，，则， 综上，当时，取得最大值，为． 所以当时，取得最大值，为． 故选：A． 7．（25-26高一上·山东济南·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用换元法将变为关于的二次函数，根据二次函数单调性即可求解. 【详解】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为． 故选：D． （多选）8．（24-25高一上·江西吉安·月考）下列选项正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABC 【分析】求出抽象函数定义域判断A；配方并利用二次函数求出值域判断B；利用二次函数单调性求出值域判断C；利用分式函数值域判断D. 【详解】对于A，的定义域为，则在中，， 解得，即的定义域为，A正确； 对于B，函数， 当且仅当时取等号，则函数的值域为，B正确； 对于C，在上递减，， 则函数在的值域为，C正确； 对于D，函数，函数的值域为，D错误. （多选）9．（25-26高一下·福建南平·开学考试）下列说法错误的是（   ） A．已知集合，且，则实数为0或3 B．函数的最小值为 C．不等式解集为或 D．一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 【答案】AD 【分析】由集合与元素的关系结合集合的互异性即可判断A，设，再利用函数的单调性即可判断B，由分式不等式的计算方法即可判断C，由二次函数的图象性质即可判断D. 【详解】对于A，当时，，与集合元素互异性矛盾， 当时，解得或， 时，与集合元素互异性矛盾， 时，，符合题意，所以，故A错误； 对于B，设，则， 因为在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，故B正确； 对于C，不等式，等价于，解得或，故C正确； 对于D，因为原式为一元二次不等式，所以， 若一元二次不等式恒成立， 则有，解得：，故D错误． （多选）10．（25-26高一上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（     ） A．不等式的解集为 B．若，则函数的最小值为2 C．不等式的解集是. D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】CD 【分析】求出不等式解集即可判断A；由和对勾函数在上单调递增即可分析判断B；由不等式恒成立得到或，解之即可得解判断D. 【详解】不等式的解集即为不等式的解集， 所以原不等式解集为，故A错误； 若，则，因为对勾函数在上单调递增， 所以函数的最小值为，故B错误； 解不等式得即， 所以不等式的解集是，故C正确； 当时，不等式恒成立，则或， 所以或，则的取值范围是.故D正确. 故选：CD 【题型五】已知函数单调性求参数 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图像或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数。 【例题精讲】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，在上是增函数， 所以在上单调递增，则①， 又时，， 时，，故②， 联立①②，解得． 2．（2026·天津和平·一模）“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增. 所以“”可以得到“函数在区间上为减函数”， 但“函数在区间上为减函数”可得 “”. 故“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件. 3．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性来确定参数的取值范围. 【详解】 对于函数 ，其零点为 ， 由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在各段单调递减且断点左侧函数值不小于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为且是上的单调递减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：B. 5．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 6．（25-26高一上·浙江湖州·期末）“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得m的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】函数为开口向上，对称轴为的抛物线， 由在上单调递增，可得， 所以“函数在上单调递增”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．（25-26高一上·重庆·期中）若函数在上是单调递增函数，则的取值集合是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分情况讨论函数在各段区间上的单调性，结合函数在上单调，列不等式，解不等式即可. 【详解】由已知，当时，， 又函数在上是单调递增函数，则，即； 当，， 由函数在上单调递增可知，，解得， 综上所述，， 故选：B. （多选）8．（25-26高一上·江西上饶·月考）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】先将分离常数得，结合在区间上单调递减，则有，进而可解得的取值范围. 【详解】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. （多选）9．（25-26高一上·湖北·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．若为上的减函数，则实数的取值范围是 C．若的值域为，则实数的取值范围是 D．函数在上恰有一个零点的充要条件是 【答案】AB 【分析】令，解不等式即可判断A；根据分段函数的单调性求出的取值范围即可判断B；根据一次、二次函数的值域可得，解之即可判断C；分别求出两段函数的零点，对分类讨论即可判断D. 【详解】当时，， 当时，，解得； 当时，，解得， 故不等式的解集为，故A正确， 若为上的减函数，需满足，解得，故B正确， 在上的值域为， 在上的值域： 当时，值域为；当时，值域为， 若的值域为，则当时，，解得，即； 当时，，解得，即， 综上，实数的取值范围为.故C错误. 当时，，解得； 当时，，解得， 当时，方程有两个解； 当时，则方程有一个解为； 当时，方程有两个解； 当时，方程有一个解为， 综上，函数在上恰有一个零点的充要条件是或.故D错误. 故选：AB. （多选）10．（25-26高一上·广东深圳·期中）设函数，则（   ） A．直线是函数的对称轴 B．若函数在上单调递减，则 C．对，不等式总成立 D．当时， 【答案】BCD 【分析】根据解析式作出的图象可判断AB；通过作差法判断C；结合图象求出范围即可判断D. 【详解】， 如图，作出的图象， 对于A，由图可知，不是的对称轴，故A错误； 对于B，若函数在上单调递减，由图可知，，故B正确； 对于C，， 则 ， 所以，故C正确； 对于D，当时，，， 当时，，则，故D正确． 故选：BCD． 【题型六】分段函数的单调性（求参）问题 【例题精讲】 1．（24-25高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 2．（25-26高一下·山东德州·月考）已知在上满足，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性求解即可； 【详解】由在上满足， 设，则，即在上为减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 3．（23-24高一上·安徽阜阳·月考）函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 4．（2026·福建·二模）已知函数为增函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 则，即， 又因为函数在上为增函数，且函数在上为增函数， 则有，因，则可得，解得， 故实数的取值范围是，即的最小值为. 5．（25-26高一上·山西太原·期末）函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合函数单调性定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数满足对且，都有， 可得函数在上单调递增，因此， 解得，则实数的取值范围是. 故选：D 6．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 【答案】C 【详解】因为是R上的减函数， 所以，可得, 所以的取值范围为． 7．（25-26高一上·江西上饶·月考）已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需要满足在每一段上单调递减，且分段处，左端函数值大于等于右端函数值． 【详解】在上是减函数， ，解得． 故选：D． （多选）8．（25-26高一上·陕西西安·期中）函数是上的增函数，则实数a的取值可以为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】根据题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】当时，的对称轴为，函数在上单调性递增，此条件对无限制； 若函数是上的增函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：BCD. （多选）9．（25-26高一上·山东青岛·期中）下面正确的有（   ） A．当时，的最小值是5 B．已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为 C．函数值域为 D．已知函数若对于任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围为 【答案】BC 【分析】通过基本不等式，求解判断A.根据分段函数的单调性计算判断B，换元法，令，得到，从而得到函数值域判断C，求得在区间上的值域，根据的最小值求得a的取值范围. 【详解】对于A，当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 则的最大值是1，故A错误； 对于B：因为在上单调递增， ， 所以，解得，B选项正确； 对于C：令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为，C选项正确； 对于D：，，，即在区间上的值域为. 函数 若对于任意的，总存在，使得成立， 则的值域是的值域的子集； 当时，在单调递减， 所以， 所以，所以，所以； 当时，在单调递增， 所以， 所以，所以，所以； 当时，在单调递减，在单调递增，所以， 所以，所以，所以； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以， 所以，所以，所以； 所以或，D选项错误； 故选：BC （多选）10．（25-26高一上·四川遂宁·期中）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若，则函数的最小值为2 C．函数的定义域是或 D．已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是 【答案】CD 【分析】对于A，根据一元二次不等式的解法求解判断即可；对于B，应用基本不等式求解；对于C，根据函数有意义及一元二次不等式的解法求解判断即可；对于D，根据分段函数的单调性、结合一次函数及二次函数的性质求解判断即可. 【详解】对于A，由，解得或，故A错误； 对于B，利用基本不等式知， 由得，故不等式取不到等号， 所以2不是函数的最小值，故B错误； 对于C，由，则，解得或，故C正确； 对于D，因为函数是上的单调递增函数， 函数在上为增函数，则，解得， 函数在上为增函数， 由于，则函数的图象开口向上，对称轴为直线， 此时函数在上为增函数，满足题意， 因为函数在上为增函数， 故，解得，则，故D正确. 故选：CD 【题型七】由函数单调性比较大小 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小。 在解决比较函数值的问题时， 要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上。 【例题精讲】 1．（25-26高一上·安徽·月考）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称性得出，再结合函数的单调性即可. 【详解】由题意可知，的图象关于直线对称，所以， 又在上是减函数，所以. 故选：C. 2．（25-26高一上·四川成都·月考）若函数是定义在上的函数，且对，都有，则下列关系式中成立的是（   ） A． B．若，则 C．，使得，且 D．若，则的解集为 【答案】C 【分析】先根据给定条件判断函数单调性，再依次分析各选项： A 项利用单调性比较函数值； B 项根据单调性解不等式； C 判断函数是否有最大值； D 项结合函数值正负及分母符号解分式不等式. 【详解】选项A：由题可知函数是定义在上的增函数，所以，A错； 选项B：若，则，可得，故B错； 选项C：是定义在上的增函数，所以有最大值，故C对； 选项D：若，则可转化为或， 解之可得或，故D错. 故选：C． 3．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）已知函数的定义域为，命题“”是命题“是减函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】举特例可判断充分性，根据减函数定义可判断必要性. 【详解】充分性：若，此时不能得到是减函数， 故命题“”不是命题“是减函数”的充分条件； 必要性，由是定义域为的减函数，则， 故命题“”是命题“是减函数”的必要条件， 即命题“”是命题“是减函数”的必要且不充分条件. 4．（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再由二次函数的区间单调性及对称性判断大小关系即可. 【详解】由题设是的两个根，且，则，可得， 所以，其图象开口向下且对称轴为， 所以在上单调递增，且，而， 所以，即. 故选：B 5．（25-26高一上·福建莆田·期中）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合单调函数的定义可知在上单调递增，进而求解. 【详解】由题意知，， 由， 得， 因为，所以. 又， 所以在上单调递增，则， 即. 故选：B 6．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性比较即可. 【详解】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 7．（25-26高一上·四川眉山·月考）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到函数在上单调递增，再由的图象关于对称，求得，，结合，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，当时，恒成立， 可得函数在上单调递增， 又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即. 故选：D. （多选）8．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. （多选）9．（25-26高一上·广西钦州·期中）已知函数满足：任意给定，都有函数关于对称，且任意，，，则下列结论正确的题号是（   ） A． B．任意给定， C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】先由单调性的定义和对称性得到函数在上单调递减，在上单调递增，进而可得BC，再由抽象函数的单调性可判断AD. 【详解】任意给定，函数关于对称， 又任意，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取最大值，B正确； ，C错误； ，所以，A正确； 若，则，解得，D正确， 故选：ABD. （多选）10．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对称性将自变量变换到区间内，再根据单调性比较大小即可得解. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以， ， 又因为在区间上单调递增，且， 所以， 所以， 所以和正确； 故选：BD 【题型八】由函数单调性解不等式 方法：利用函数的单调性，“脱去” 外部的解析式，只需要比较自变量的大小关系即可。 需要注意自变量要在函数的定义域内。 利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果 , 若 在 上是增函数，则有 ; 若 在 上是减函数，则有 必须注意两点：①两边化为同名函数的不同函数值；②自变量必须化到同一单调区间上，若转化不了，就进行讨论。 【例题精讲】 1．（25-26高一上·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用定义域的限制及函数的单调性列不等式组，解不等式组求出解集． 【详解】已知是定义在上的增函数，不等式， 则，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 2．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，分析的单调性，并根据的单调性，求解不等式，得到实数的取值范围. 【详解】令函数. 因为，，，都有， 所以，所以， 即，即， 所以函数是定义在上的减函数. 若，且，则， 即，所以，即. 故选：A. 3．（25-26高一上·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的单调性，分和解不等式即可. 【详解】由 ，所以在上单调递减. 又，所以当时，；当时，. 因为 或 或， 即或. 故选：C 4．（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性，列出不等式，求出结果即可. 【详解】可知恒成立，恒成立， 由是定义在上的减函数，且， 可得，解得． 故选：C. 5．（25-26高一上·湖南湘西·期末）已知函数在上是增函数，关于轴对称，若成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，以及单调性，将不等式转化为，即可求解. 【详解】由于关于轴对称，故，所以的图像关于对称， 由于函数在上是增函数，则函数在上是减函数， 由可得， 所以，故，即，解得, 故选：A 6．（25-26高一上·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，即可得，求解即可． 【详解】因为函数为定义在上的增函数，且， 所以，解得． 故选：A． 7．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，得在上单调递增，从而有，解出不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以两边同时除以，得到， 又，则在上单调递增，又，则， 由，得到， 即或，所以， 则，解得，又或， 所以或，故D正确. 故选：D. （多选）8．（25-26高三上·河南周口·月考）已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A． B．的最小值是0 C．的图象关于y轴对称 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】根据已知等式推导出函数的表达式，再逐一分析选项即可. 【详解】令，得． 又，所以. 选项A：，，，A正确． 选项B：因为，当且仅当时，等号成立，所以B正确． 选项C：因为，所以， 该函数的图象关于直线对称，而非y轴，C错误． 选项D：因为，所以的图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增，则，即. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式可化为，解得或，D正确． 故选：ABD （多选）9．（25-26高一上·湖北·月考）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（    ） A． B． C．在上的最小值是 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】对于A，令即可求出；对于B，令得到，再令即可判断；对于C，利用定义证明函数的单调性，利用单调性即可求出最值；对于D，将不等式化为，利用函数的单调性解不等式即可得到解集. 【详解】对于A，因为，有，令，则，则，故选项A正确； 对于B，令，则， 令，，故选项B错误； 对于C，任取且，则，因为， 令，则，即， 因为，故，所以，所以，所以在上单调递减， 又因为，所以，故选项C正确； 对于D，由得， 因为，所以可化为， 又因为，所以可化为， 又因为，所以可化为， 因为在上单调递减，故，解得， 所以不等式的解集为，故选项D正确. 故选：ACD. （多选）10．（25-26高一上·江西鹰潭·月考）定义在R上的函数满足：①，，有；②函数是以为对称轴的“轴对称函数”，则使得不等式成立的m的取值可能是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】ACD 【分析】根据轴对称函数和函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数是以为对称轴的“轴对称函数”，又在上是增函数， 不等式，故，解得， 故选：ACD． 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间. 【详解】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C 2．（25-26高一上·河北衡水·月考）已知函数在上不具有单调性，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数在给定区间内不具有单调性，只需对称轴在给定区间内，列不等式求解即可. 【详解】函数的对称轴为. 因为函数在上不具有单调性，所以，解得. 故选：A. 3．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由，且函数是定义在上的减函数， 则，解得， 则实数的取值范围是. 故选：B 4．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数在闭区间上有最大值为3，最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的对称性和最值，即可求解. 【详解】，函数的对称轴为， 且， 函数在闭区间上有最大值为3，最小值为， 则. 故选：B 5．（25-26高一上·安徽六安·期中）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性直接可得所求值的范围. 【详解】由任意，都有成立，所以在上单调递减， 则，，解得. 故选：D. 6．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质即可得出递减区间. 【详解】由二次函数图象的对称轴方程为，且开口向下， 可知该函数的单调递减区间是. 故选：B． 7．（25-26高一上·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可． 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 8．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用每段函数递减，可得不等式组，求解不等式组可得答案. 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得. 故选：A 二、多选题 （多选）9．（25-26高三下·青海西宁·月考）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】利用数形结合思想即可判断. 【详解】由图可知函数在区间和上单调递增， 在区间和上单调递减．故AD选项正确． （多选）10．（25-26高一上·浙江金华·期中）下列函数中，满足对任意，的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可知，在上单调递增，结合选项分析判断. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 对于C选项，在上单调递减， 对于ABD选项，在上均单调递增. 故选：ABD. （多选）11．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上的最大值为 【答案】BD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐项判断即可. 【详解】因为，作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，因为，，则， 结合图形可知，函数不是偶函数，A错； 对于B选项，当时，， 故函数在区间上单调递增，B对； 对于C选项，由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，C错； 对于D选项，由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以函数在区间上的最大值为，D对. 故选：BD. 三、填空题 12．（2025高一上·全国·专题练习）函数的值域为______． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，将函数式两边取平方得，利用换元成，， 利用函数的单调性求得函数的最值即得函数值域. 【详解】由题意可得，解得，即函数定义域为， 则， 设，则，显然在上为减函数， 故当时，即时，取到最大值4，则函数的最大值为2； 当时，即时，取得最小值2，则函数的最小值为. 故函数的值域为. 故答案为：. 13．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】二次函数是开口向上的抛物线，函数在区间上不单调，说明对称轴落在区间内，因此列出不等式计算即可. 【详解】函数是开口向上的二次函数， 其对称轴为直线： 二次函数在对称轴的一侧单调，若在区间上不单调， 则对称轴需落在区间内，即. 故答案为：. 14．（25-26高一下·上海·月考）函数的值域为________________． 【答案】 【详解】当时，；当时，， 因为在为减函数，上为增函数，且时，， 故的值域为，故的值域为， 综上，的值域为. 四、解答题 15．（25-26高一下·山西太原·开学考试）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设出二次函数顶点式，代入即可求解； （2）分类讨论与对称轴的关系，结合二次函数单调性即可求解. 【详解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数， 又因为，所以， 即二次函数； （2）由（1）知二次函数， 当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：． 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)，， (2)， (3)或， 【分析】（1）分段考虑，结合二次函数以及一次函数的单调性即可求解， （2）根据自变量的取值，代入即可求解， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 17．（25-26高一上·湖南娄底·期末）对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，. (1)求的值； (2)证明：函数为R上的增函数； (3)若，求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，结合已知等式进行求解即可； （2）根据函数单调性的定义，结合已知等式进行运算证明即可； （3）根据函数的单调性，结合已知等式进行求解即可. 【详解】（1）， 或（舍），即； （2）设，且， 有 又即又， ， ∴函数在R上为增函数. （3）， ， 又， 令，由（2）知在R上也为增函数， 又， ，由函数单调性可知， ∴不等式的解集为. 18．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据增减性定义，设出，求证即可证明在上单调递增； （2）由题意得，结合二次函数的图象与性质即可求得，进而得到实数k的取值范围. 【详解】（1），设， 则， 易得，故， 即当时，， ， 所以在上单调递增. （2）由在恒成立，则有当时，， ，易得是开口向上的二次函数，对称轴为， 故在上单调递增，所以，即， 故实数k的取值范围是 19．（25-26高一上·四川巴中·月考）已知函数 (1)若为一次函数，且满足，求； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，求使的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）设，利用待定系数法求出即可； （2）将参数分离，利用基本不等式求出表达式的最小值可得结果； （3）将函数改写成关于的一次函数，利用一次函数单调性解不等式可求出的取值范围为. 【详解】（1）设， 由可得， 即，所以， 解得或， 因此或 （2）由题可知不等式在时恒成立， 显然当时，为任意值时都满足题意， 当时，不等式可化为在时恒成立， 易知， 当且仅当，即时，等号成立； 因此，所以； 即实数的取值范围为 （3）令，； 因为，所以； 由于是关于的一次函数，要使在上恒成立，则； 即，解得，也即； 因此使的取值范围为. 1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 函数的单调性 【题型一】 定义法判断或证明单调性 1．【答案】 【分析】由的单调性列出，结合的取值即可求解. 【详解】取，因为在区间上是严格增函数， 则，即， 即，整理得， 因为，所以任意的恒成立， 因为，所以，所以. 2．【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 3．【答案】(1)；对于，为正；证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. 4．【答案】(1)证明见解析 (2)时，的值域为；时， 的值域为. 【分析】（1）用函数单调性的定义证明即可； （2）由的单调性得在上的值域，从而可求的值域. 【详解】（1）设是上的任意两个实数，有， ， 因为，所以，，，有， 所以，故在上单调递增. （2）由（1）可得在上单调递增，的值域为. 若，由，解得，因为，故的值域为； 若，由，解得，因为，故的值域为. 综上所述：时，的值域为；时， 的值域为. 5．【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 6．【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【详解】（1）任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. 7．【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递减 【分析】（1）先用赋值法证明，再通过将自变量拆分成一个负数与它的相反数，利用已知正数范围函数值的性质，推导出负数时的函数值大于1； （2）利用指数型函数性质，取任意两个实数，通过它们的差为正数，将较大的函数值表示为较小的函数值与一个正数对应的函数值的乘积，结合已知正数时的函数值范围，判断出函数在全体实数上单调递减. 【详解】（1）证明:  由题可知对任意实数，，恒有，令，，则． 因为当时，有，所以． 令，，则，， 所以． 即当时，有． （2）不妨设，则，所以 ． 由（1）知，， 所以 ， 即，所以在上单调递减． 8．【答案】(1)单调递减，证明见解析； (2)． 【分析】（1）利用赋值法结合单调性的定义判断和证明即可； （2）由转化为，然后根据单调性求解. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下， 令，，，且， 则， 因为，所以，，即，， 所以在上单调递减． （2），即， 即为，即为， 即为. 因为在上单调递减， 所以，即， 则，解得， 所以不等式的解集为． 9．【答案】(1)图象见解析 (2)证明见解析. (3) 【分析】（1）直接作图即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数图象，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）根据函数解析式，直接描点作图，图象如图所示： （2）设， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）由函数图象可知，当时，， 当时，，； 当时，，， 所以. 10．【答案】(1)证明见解析 (2)10． 【分析】（1）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （2）根据在上单调递增，且，方程等价于，即方程有两个不相等的正实根，由根的判别式和韦达定理得到不等式，求出，变形得到，由基本不等式求出最小值，故的最小值为10． 【详解】（1）任取，且，则， 而， 所以 ， 即，所以在上单调递增． （2）因为在上单调递增，且， 所以方程等价于， 即． 因为方程有两个不相等的正实根， 所以解得． 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为10． 【题型二】 利用函数图像及函数性质判断单调区间 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】BD 9．【答案】AC 10．【答案】ACD 【题型三】求复合函数的单调区间 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】ACD 9．【答案】BCD 10．【答案】ABD 【题型四】 由函数单调性求最值或值域 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】ABC 9．【答案】AD 10．【答案】CD 【题型五】已知函数单调性求参数 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】AC 9．【答案】AB 10．【答案】BCD 【题型六】分段函数的单调性（求参）问题 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】BCD 9．【答案】BC 10．【答案】CD 【题型七】由函数单调性比较大小 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】BD 9．【答案】ABD 10．【答案】BD 【题型八】由函数单调性解不等式 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】ABD 9．【答案】ACD 10．【答案】ACD 课时精练 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】AD 10．【答案】ABD 11．【答案】BD 12．【答案】 【分析】先求出函数的定义域，将函数式两边取平方得，利用换元成，， 利用函数的单调性求得函数的最值即得函数值域. 【详解】由题意可得，解得，即函数定义域为， 则， 设，则，显然在上为减函数， 故当时，即时，取到最大值4，则函数的最大值为2； 当时，即时，取得最小值2，则函数的最小值为. 故函数的值域为. 故答案为：. 13．【答案】 【分析】二次函数是开口向上的抛物线，函数在区间上不单调，说明对称轴落在区间内，因此列出不等式计算即可. 【详解】函数是开口向上的二次函数， 其对称轴为直线： 二次函数在对称轴的一侧单调，若在区间上不单调， 则对称轴需落在区间内，即. 故答案为：. 14．【答案】 【详解】当时，；当时，， 因为在为减函数，上为增函数，且时，， 故的值域为，故的值域为， 综上，的值域为. 15．【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设出二次函数顶点式，代入即可求解； （2）分类讨论与对称轴的关系，结合二次函数单调性即可求解. 【详解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数， 又因为，所以， 即二次函数； （2）由（1）知二次函数， 当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：． 16．【答案】(1)，， (2)， (3)或， 【分析】（1）分段考虑，结合二次函数以及一次函数的单调性即可求解， （2）根据自变量的取值，代入即可求解， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 17．【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，结合已知等式进行求解即可； （2）根据函数单调性的定义，结合已知等式进行运算证明即可； （3）根据函数的单调性，结合已知等式进行求解即可. 【详解】（1）， 或（舍），即； （2）设，且， 有 又即又， ， ∴函数在R上为增函数. （3）， ， 又， 令，由（2）知在R上也为增函数， 又， ，由函数单调性可知， ∴不等式的解集为. 18．【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据增减性定义，设出，求证即可证明在上单调递增； （2）由题意得，结合二次函数的图象与性质即可求得，进而得到实数k的取值范围. 【详解】（1），设， 则， 易得，故， 即当时，， ， 所以在上单调递增. （2）由在恒成立，则有当时，， ，易得是开口向上的二次函数，对称轴为， 故在上单调递增，所以，即， 故实数k的取值范围是 19．【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）设，利用待定系数法求出即可； （2）将参数分离，利用基本不等式求出表达式的最小值可得结果； （3）将函数改写成关于的一次函数，利用一次函数单调性解不等式可求出的取值范围为. 【详解】（1）设， 由可得， 即，所以， 解得或， 因此或 （2）由题可知不等式在时恒成立， 显然当时，为任意值时都满足题意， 当时，不等式可化为在时恒成立， 易知， 当且仅当，即时，等号成立； 因此，所以； 即实数的取值范围为 （3）令，； 因为，所以； 由于是关于的一次函数，要使在上恒成立，则； 即，解得，也即； 因此使的取值范围为. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 函数的单调性 【题型一】 定义法判断或证明单调性 3 【题型二】 利用函数图像及函数性质判断单调区间 5 【题型三】求复合函数的单调区间 7 【题型四】 由函数单调性求最值或值域 8 【题型五】已知函数单调性求参数 10 【题型六】分段函数的单调性（求参）问题 11 【题型七】由函数单调性比较大小 13 【题型八】由函数单调性解不等式 14 课时精练 16 【基础回顾】 知识点 1: 函数的单调性 （1）单调递增 设函数 的定义域为 ，区间 . 如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递增。 特别地，当函数 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。 （2）单调递减 设函数 的定义域为 ，区间 . 如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递减。 特别地，当函数 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。 （3）单调性、单调区间、单调函数 如果函数 在区间 上单调递增或单调递减，那么就说函数 在区间 上具有 （严格的） 单调性，区间 叫作 的单调区间。 如果函数在某个区间上具有单调性， 那么就称此函数在这个区间上是单调函数。 （4）单调区间的正确书写 在单调性相同的多个单调区间之间用 “，” 或“和” 的方式来书写。 绝对不能出现并集符号 “ ”。 确定函数的单调性必须指明单调区间。 当函数 在其定义域内的两个区间 上都是增 （减） 函数时，不能说 在 上是增 （减） 函数， 如 在 上是减函数，在 上是减函数，不能说 在定义域 上是减函数，可以说 的单调减区间为 和 . （5）区间端点的写法 对于单独的一点， 因为它的函数值是唯一确定的常数， 没有增减变化， 所以不存在单调性问题， 因此在写单调区间时， 可以包括端点， 也可以不包括端点， 但对于某些无意义的点， 单调区间就一定不包括这些点。 例如： 的单调递增区间是 ，也可以记为 ，但函数 在 上是减函数，就不能写成 在 上为减函数。 知识点 2: 函数的增减性的等价形式 设 ，且 ，那么 ① ② 在 是减函数。 知识点 3: 函数单调性的性质 1. 函数 与 （ 为常数） 具有相同的单调性。 2. 时，函数 与 单调性相同（相反）。 3. 若 恒为正值或恒为负值，则 与 具有相反的单调性。 4. 若 都是增 （减） 函数，则当两者都恒大于零时， 是增 （减） 函数； 当两者都恒小于零时， 是减 （增） 函数。 5. 在公共定义域内， 增+增=增， 减+减=减， 增-减=增， 减-增=减。 知识点 4: 函数的最大 （小） 值 （1）函数的最大值 ①定义：对于函数 ，其定义域为 ，如果存在 ， ，使得对于任意的 ，都有 ，那么，我们称 是函数 的最大值，即当 时， 是函数的最大值，记作 ②几何意义：函数的最大值对应函数图像的最高点的纵坐标。 （2）函数的最小值 ①定义：对于函数 ，其定义域为 ，如果存在 ， ，使得对于任意的 ，都有 ，那么，我们称 是函数 的最小值，即当 时， 是函数 的最小值，记作 ②几何意义：函数的最小值对应图像最低点的纵坐标。 （3）利用函数的单调性求最值的常用结论 ①如果函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，那么函数 在 处有最大值 ; ②如果函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，则函数 在 处有最小值 . 注意：对于定义域为闭区间的函数， 还需要确定函数在端点处的函数值的大小， 将其与所求出的最值进行比较， 值最大 （小） 者即为函数的最大 （小） 值。 【题型一】 定义法判断或证明单调性 基本步骤如下： ①设值：设 ，且 ； ②作差： ； ③变形：对 变形，一般是通分，分解因式，配方等。 这一步是核心，要注意变形到底； ④判断符号， 得出函数的单调性。 【例题精讲】 1．（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 2．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 3．（25-26高一下·广东江门·月考）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)请用函数单调性定义证明，在上单调递增； (2)若，函数，求在上的值域（用含a的式子表示） 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 6．（25-26高一上·四川巴中·月考）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 7．（2027高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 8．（25-26高一·全国·寒假作业）已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明； (2)解不等式：． 9．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，，. (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)用定义证明函数在区间上单调递减； (3)，用表示，中的最小者，记为.例如，当时，.请写出函数的解析式.（直接写出结果，不用说明理由） 10．（25-26高一上·安徽芜湖·月考）已知函数． (1)用定义证明在上单调递增； (2)若关于的方程有两个不相等的正实根，求的最小值． 【题型二】 利用函数图像及函数性质判断单调区间 【例题精讲】 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 4．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 5．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 6．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 （多选）8．（25-26高一上·重庆·月考）定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 （多选）9．（25-26高一上·浙江·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．若，则 C．函数在上的值域为 D．函数的单调递增区间为 （多选）10．（23-24高一上·广西南宁·期中）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．的单调递减区间为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的单调递增区间为和 【题型三】求复合函数的单调区间 1.复合函数单调性的规律： “同增异减” 若内外两层函数的单调性相同， 则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反， 则它们的复合函数为减函数； 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增 2. 具体判断步骤： （1）求出原函数的定义域； （2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法 “同增异减” 可得出结论。 【例题精讲】 1．（25-26高一上·重庆·月考）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 4．（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江宁波·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， （多选）8．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 （多选）9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 （多选）10．（24-25高一上·四川成都·期中）下列说法正确的是（ ） A．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 B．若函数的定义域是，则函数的定义域是 C．函数的单调递增区间为 D．已知实数a，b满足，，则3a + b的取值范围是 【题型四】 由函数单调性求最值或值域 【例题精讲】 1．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若命题“都成立”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北·二模）已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 7．（25-26高一上·山东济南·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（24-25高一上·江西吉安·月考）下列选项正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 （多选）9．（25-26高一下·福建南平·开学考试）下列说法错误的是（   ） A．已知集合，且，则实数为0或3 B．函数的最小值为 C．不等式解集为或 D．一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 （多选）10．（25-26高一上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（     ） A．不等式的解集为 B．若，则函数的最小值为2 C．不等式的解集是. D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【题型五】已知函数单调性求参数 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图像或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数。 【例题精讲】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津和平·一模）“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·浙江湖州·期末）“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一上·重庆·期中）若函数在上是单调递增函数，则的取值集合是（    ）. A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·江西上饶·月考）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 （多选）9．（25-26高一上·湖北·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，不等式的解集为 B．若为上的减函数，则实数的取值范围是 C．若的值域为，则实数的取值范围是 D．函数在上恰有一个零点的充要条件是 （多选）10．（25-26高一上·广东深圳·期中）设函数，则（   ） A．直线是函数的对称轴 B．若函数在上单调递减，则 C．对，不等式总成立 D．当时， 【题型六】分段函数的单调性（求参）问题 【例题精讲】 1．（24-25高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山东德州·月考）已知在上满足，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽阜阳·月考）函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建·二模）已知函数为增函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山西太原·期末）函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 7．（25-26高一上·江西上饶·月考）已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·陕西西安·期中）函数是上的增函数，则实数a的取值可以为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 （多选）9．（25-26高一上·山东青岛·期中）下面正确的有（   ） A．当时，的最小值是5 B．已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为 C．函数值域为 D．已知函数若对于任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围为 （多选）10．（25-26高一上·四川遂宁·期中）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若，则函数的最小值为2 C．函数的定义域是或 D．已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是 【题型七】由函数单调性比较大小 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小。 在解决比较函数值的问题时， 要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上。 【例题精讲】 1．（25-26高一上·安徽·月考）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川成都·月考）若函数是定义在上的函数，且对，都有，则下列关系式中成立的是（   ） A． B．若，则 C．，使得，且 D．若，则的解集为 3．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）已知函数的定义域为，命题“”是命题“是减函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建莆田·期中）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·四川眉山·月考）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高一上·广西钦州·期中）已知函数满足：任意给定，都有函数关于对称，且任意，，，则下列结论正确的题号是（   ） A． B．任意给定， C． D．若，则 （多选）10．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【题型八】由函数单调性解不等式 方法：利用函数的单调性，“脱去” 外部的解析式，只需要比较自变量的大小关系即可。 需要注意自变量要在函数的定义域内。 利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果 , 若 在 上是增函数，则有 ; 若 在 上是减函数，则有 必须注意两点：①两边化为同名函数的不同函数值；②自变量必须化到同一单调区间上，若转化不了，就进行讨论。 【例题精讲】 1．（25-26高一上·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南湘西·期末）已知函数在上是增函数，关于轴对称，若成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高三上·河南周口·月考）已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A． B．的最小值是0 C．的图象关于y轴对称 D．不等式的解集是 （多选）9．（25-26高一上·湖北·月考）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（    ） A． B． C．在上的最小值是 D．不等式的解集为 （多选）10．（25-26高一上·江西鹰潭·月考）定义在R上的函数满足：①，，有；②函数是以为对称轴的“轴对称函数”，则使得不等式成立的m的取值可能是（   ） A． B． C．1 D． 课时精练 一、单选题 1．（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北衡水·月考）已知函数在上不具有单调性，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数在闭区间上有最大值为3，最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽六安·期中）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 （多选）9．（25-26高三下·青海西宁·月考）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 （多选）10．（25-26高一上·浙江金华·期中）下列函数中，满足对任意，的是（    ） A． B． C． D． （多选）11．（25-26高一上·河南安阳·期中）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上的最大值为 三、填空题 12．（2025高一上·全国·专题练习）函数的值域为______． 13．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是_________． 14．（25-26高一下·上海·月考）函数的值域为________________． 四、解答题 15．（25-26高一下·山西太原·开学考试）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 17．（25-26高一上·湖南娄底·期末）对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，. (1)求的值； (2)证明：函数为R上的增函数； (3)若，求关于的不等式的解集. 18．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 19．（25-26高一上·四川巴中·月考）已知函数 (1)若为一次函数，且满足，求； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，求使的取值范围. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $