3.2.2专题：函数的周期性与对称性 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学讲义通过知识框架图系统构建函数周期性与对称性的复习体系，梳理周期函数定义、4条高频结论、对称性（轴对称与中心对称）及两者关系，用表格归纳结论特征，清晰呈现重难点及内在逻辑。 讲义亮点在于分层题型设计，从判断周期、利用周期求值到对称性应用及综合问题，例题涵盖单选与多选，如结合奇偶性判断周期培养数学思维，通过对称中心求零点和发展数学眼光，支持分层教学与自主复习。

3.2.2 专题：函数的周期性与对称性 【题型一】 判断函数的周期 2 【题型二】 利用函数的周期性求值及解析式 4 【题型三】对称性的判断及其应用 5 【题型四】 奇偶性、周期性与对称性的综合应用 6 【基础回顾】 知识点 1: 函数的周期性 1. 周期函数的定义 （1）周期：若函数 对定义域内的任意 满足： ，则 为函数 的周期。 （2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 的最小正周期。 注意： （1）若非零常数 是 的周期，则 也是 的周期。 （2）若非零常数 是 的周期，则 （ 为任意非零整数） 也是 的周期。 2. 周期的 4 条重要高频结论 (1) 一般形式为 (2) 一般形式为 (3) 一般形式为 (4) 一般形式为 3. 周期的其他相关结论（基础薄弱略作了解即可） (1) (2) (3) (4) 恒等式特征： 函数值相等，左右两边的 的系数相同，可联想周期函数定义 . 知识点 2: 函数的对称性 1. 轴对称 (1) 图像关于直线 对称； （或 ） (2) 图像关于直线 对称。 恒等式特征： 函数值相等，左右两边的 的系数相反，可联想偶函数 . 2. 中心对称 (1) 函数 图像关于点 成中心对称； （或 ） (2) 函数 图像关于点 成中心对称； （或 ） (3) 函数 图像关于点 成中心对称。 恒等式特征： 函数值的和为常数，所含 的两个系数相反，可联想奇函数 . 知识点 3: 函数对称性与周期性的关系 （1）若 关于点 对称，则 是周期函数，且其中一个周期 ; （2）若 图像有两条对称轴 ，则 是周期函数，且其中一个周期 ； （3）若 关于点 对称，且关于 对称，则 是周期函数，且其中一个周期 ； 注意：若一个函数 具有“①中心对称；②轴对称；③周期性”中的任意两个条件，则第三个也必然成立。 即在①②③中可以“知二求一”。 在客观题中要学会运用图像迅速观察出周期。 【题型一】 判断函数的周期 【例题精讲】 1．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 2．（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数满足，且当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D． 3．（2025·湖北十堰·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知是定义在上的函数，，，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（   ） A． B．6 C．8 D．10 6．（25-26高三上·湖南长沙·月考）设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　） A．0 B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏·期末）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． (多选）8．（25-26高三上·广东清远·月考）设是定义在上的连续可导函数，且满足，为奇函数，则下列说法正确的是（   ） A．关于对称 B．为偶函数 C． D．的导函数的周期为8 (多选）9．（2025·福建福州·一模）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图像关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． (多选）10．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）已知函数的定义域均为是奇函数，且满足 ，则（    ） A．函数的图像关于点对称 B．函数的图像关于直线对称 C．函数是周期为4的函数 D． 【题型二】 利用函数的周期性求值及解析式 【例题精讲】 1．（23-24高一下·陕西渭南·月考）已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·河北·月考）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖北荆州·期中）若函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·河南周口·月考）已知是定义在上的函数，，当时，，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 5．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则（   ） A． B．3 C． D． 6．（2026·陕西·二模）设是定义在上周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山东济宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，则的值是（    ） A． B．1 C．2025 D．2026 (多选）8．（25-26高三下·江西赣州·期中）已知奇函数满足，则（    ） A． B． C． D． (多选）9．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（   ） A． B．函数的图像关于点中心对称 C．函数是周期为2的周期函数 D．函数在上单调递增 (多选）10．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知函数是定义在上周期为2的奇函数，且满足，则下列关于的叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型三】对称性的判断及其应用 【例题精讲】 1．（25-26高一下·云南·开学考试）函数的图像的对称中心为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江温州·期中）函数与的图像（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称 3．（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数满足，若函数与的图像有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（25-26高三下·陕西咸阳·月考）若为奇函数，则函数的图像关于（   ） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．直线对称 5．（25-26高一上·河南·期末）若定义在上的函数，且，，函数在区间上的所有零点为，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．（25-26高一上·河北雄安·期末）函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.该结论可以推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．4052 D．4053 7．（2026·黑龙江大庆·二模）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． (多选）8．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知函数的定义域为（不恒为0），且是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B．的一个周期为4 C．图像的一个对称中心为 D． (多选）9．（2026·广东茂名·二模）已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图像关于直线对称 D．是的周期 (多选）10．（2026·广西河池·二模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A．为的周期 B．关于对称 C． D． 【题型四】 奇偶性、周期性与对称性的综合应用 【例题精讲】 1．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知定义域为的函数满足，且，则（    ） A．24 B．16 C．0 D． 2．（2026·江西宜春·一模）设函数满足对任意的，都有，且，则（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 3．（2026·安徽滁州·二模）已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南·三模）已知是定义在上的奇函数，的图像关于对称，，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 5．（2026·河北·模拟预测）已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D．1 6．（25-26高一下·湖北黄石·月考）已知为上的奇函数，且满足，且时，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·四川成都·期末）已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（   ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 (多选）8．（25-26高三下·辽宁·月考）已知函数的定义域为，任意，恒成立，且，则（） A． B． C．为偶函数 D． (多选）9．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图像关于点中心对称，则以下说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D．若，则在区间上的零点之和为0 (多选）10．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（ ） A． B．是偶函数 C．在单调递增 D．的解集为 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 专题：函数的周期性与对称性 【题型一】 判断函数的周期 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】ACD 9．【答案】BC 10．【答案】ABC 【题型二】 利用函数的周期性求值及解析式 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】BCD 9．【答案】ACD 10．【答案】AC 【题型三】对称性的判断及其应用 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】ACD 9．【答案】ACD 10．【答案】ABD 【题型四】 奇偶性、周期性与对称性的综合应用 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】BCD 9．【答案】BC 10．【答案】AC 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 专题：函数的周期性与对称性 【题型一】 判断函数的周期 2 【题型二】 利用函数的周期性求值及解析式 7 【题型三】对称性的判断及其应用 11 【题型四】 奇偶性、周期性与对称性的综合应用 17 【基础回顾】 知识点 1: 函数的周期性 1. 周期函数的定义 （1）周期：若函数 对定义域内的任意 满足： ，则 为函数 的周期。 （2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 的最小正周期。 注意： （1）若非零常数 是 的周期，则 也是 的周期。 （2）若非零常数 是 的周期，则 （ 为任意非零整数） 也是 的周期。 2. 周期的 4 条重要高频结论 (1) 一般形式为 (2) 一般形式为 (3) 一般形式为 (4) 一般形式为 3. 周期的其他相关结论（基础薄弱略作了解即可） (1) (2) (3) (4) 恒等式特征： 函数值相等，左右两边的 的系数相同，可联想周期函数定义 . 知识点 2: 函数的对称性 1. 轴对称 (1) 图像关于直线 对称； （或 ） (2) 图像关于直线 对称。 恒等式特征： 函数值相等，左右两边的 的系数相反，可联想偶函数 . 2. 中心对称 (1) 函数 图像关于点 成中心对称； （或 ） (2) 函数 图像关于点 成中心对称； （或 ） (3) 函数 图像关于点 成中心对称。 恒等式特征： 函数值的和为常数，所含 的两个系数相反，可联想奇函数 . 知识点 3: 函数对称性与周期性的关系 （1）若 关于点 对称，则 是周期函数，且其中一个周期 ; （2）若 图像有两条对称轴 ，则 是周期函数，且其中一个周期 ； （3）若 关于点 对称，且关于 对称，则 是周期函数，且其中一个周期 ； 注意：若一个函数 具有“①中心对称；②轴对称；③周期性”中的任意两个条件，则第三个也必然成立。 即在①②③中可以“知二求一”。 在客观题中要学会运用图像迅速观察出周期。 【题型一】 判断函数的周期 【例题精讲】 1．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】C 【分析】分析可知函数的一个周期为4，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且， 由题意知，即，可得， 可知函数的一个周期为4， 又因为当时，，且 所以. 故选：C. 2．（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数满足，且当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】首先可得，即可推出为周期函数，再根据周期性计算可得. 【详解】因为，所以， 则， 所以4是的一个周期， 又当时，，则， 所以. 故选：A 3．（2025·湖北十堰·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意结合奇函数的定义可得2为的一个周期，进而可得结果. 【详解】因为为定义在上的奇函数，则， 又因为，则， 可得，可知2为的一个周期， 所以. 故选：B. 4．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知是定义在上的函数，，，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得；由，得， 则，即，因此，函数的周期为4， 则，又，于是，， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 5．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（   ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】分析可知函数的一个周期为6，根据周期性结合偶函数定义运算求解即可. 【详解】因为，可得， 则，可知函数的一个周期为6， 又因为函数为定义在上的偶函数，则， 且当时，，所以. 故选：C. 6．（25-26高三上·湖南长沙·月考）设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知推得函数的周期为4，再应用周期性求函数值. 【详解】由题意，， 所以4是的周期，故 故选：D 7．（25-26高一上·江苏·期末）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数对称性和奇偶性得到的周期为8，化简得到，，，结合函数在上的单调性和奇偶性得到在上递增，从而比较出大小. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 故选：D (多选）8．（25-26高三上·广东清远·月考）设是定义在上的连续可导函数，且满足，为奇函数，则下列说法正确的是（   ） A．关于对称 B．为偶函数 C． D．的导函数的周期为8 【答案】ACD 【分析】由为奇函数，可得，即可判断A；推出函数的周期，由此可求值，判断C；求复合函数的导数结合周期定义可判断D；结合偶函数的定义可判断B. 【详解】因为是定义在上的连续函数，为奇函数， 即，故关于对称，A正确； 由得， 由，得，故， 即，即，则， 即是以8为周期的函数， 对于，令，则， 则，C正确； 由，得，即的导函数的周期为8，D正确， 对于B， 由于，可得， 又，由题目条件无法判断与是否相等， 故无法判断是否成立，B错误， 故选：ACD (多选）9．（2025·福建福州·一模）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图像关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图像关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图像关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. (多选）10．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）已知函数的定义域均为是奇函数，且满足 ，则（    ） A．函数的图像关于点对称 B．函数的图像关于直线对称 C．函数是周期为4的函数 D． 【答案】ABC 【分析】由是奇函数，可判断A；由已知可得判断B；由已知等式推出，可推出函数的周期，判断C；再结合赋值法可判断D. 【详解】函数的定义域均为是奇函数，则， 即函数的图像关于点对称，A正确； 又，则， 即，即，故的图像关于直线对称，B正确； 由，可得， 即得，结合，得， 即，则， 故函数是周期为4的函数，C正确； 由，令，得，令，得， 由，令，得， 可得， 故，则，D错误， 故选：ABC 【题型二】 利用函数的周期性求值及解析式 【例题精讲】 1．（23-24高一下·陕西渭南·月考）已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据周期性求函数解析式. 【详解】因为函数是周期为4的周期函数， 所以时，， 所以，即， 故选：C 2．（22-23高三上·河北·月考）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性求出时的解析式，再求出函数的周期为4，故得到时， 【详解】由题意知，所以函数是以4为周期的周期函数， 又当时，，且是定义在上的奇函数， 所以时，，， 所以当时，，. 故选：B. 3．（25-26高一下·湖北荆州·期中）若函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数周期为4，由求解即可. 【详解】因为可得的周期为4，则. 故选：B 4．（25-26高三下·河南周口·月考）已知是定义在上的函数，，当时，，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】D 【分析】先根据已知条件判断为周期为6的函数，进而求出结果. 【详解】. 两式相加，得， 是周期函数，且. 故选：D 5．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由上的偶函数满足，当时，， 所以. 故选：D 6．（2026·陕西·二模）设是定义在上周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，所以， 又的周期为2，故. 所以. 故选：C. 7．（25-26高一上·山东济宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，则的值是（    ） A． B．1 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】根据已知等式，确定函数的周期，利用周期性进行求解即可. 【详解】，所以函数的周期为， ， ， 因为函数是奇函数，所以. . 故选：A. (多选）8．（25-26高三下·江西赣州·期中）已知奇函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据周期定义得出周期，再应用奇函数定义结合特殊值法计算判断A，结合赋值法计算判断B，C，D选项. 【详解】因为，所以，所以的周期为6， 又因为是奇函数，所以， 选项A，取函数，符合周期为6，且奇函数， 但是，A错误； 对于选项B，因为， 因为，令代替， 所以，所以，B正确. 对于选项C，， 因为，令代替， 所以，所以，C正确. 对于选项D，， 因为，所以，D正确. 故选：BCD. (多选）9．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（   ） A． B．函数的图像关于点中心对称 C．函数是周期为2的周期函数 D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【详解】对于A：因为为偶函数，当时，， 所以，故A正确； 对于B：因为函数为偶函数，所以， 所以函数的图像关于直线对称，故B错误； 对于C：因为和均为偶函数，所以， 在中，将替换为，得，故， 所以的一个周期为2，故C正确； 对于D：当时，， 故， 故当时，，所以函数在上单调递增，故D正确． 故选：ACD (多选）10．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知函数是定义在上周期为2的奇函数，且满足，则下列关于的叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由函数的奇偶性及周期性计算可判断ABC；举特殊函数，可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为， 所以，即，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，如，其函数图像如下： 由图像可知，函数是定义在上周期为2的奇函数，且满足，符合题意， 但此时函数图像不关于对称，即不成立，故D错误. 故选：AC. 【题型三】对称性的判断及其应用 【例题精讲】 1．（25-26高一下·云南·开学考试）函数的图像的对称中心为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故函数是由函数向左平移2个单位变为， 再将图像向下平移1个单位得到， ∵对称中心为，∴函数的对称中心为． 故选：D. 2．（25-26高一上·浙江温州·期中）函数与的图像（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称 【答案】D 【分析】方法1：根据两个函数图像上点的坐标确定两函数图像的关系. 方法2：做出函数与的图像，数形结合，判断两函数图像的关系. 【详解】方法1：设为函数图像上任意一点， 则 ， 所以点在函数的图像上. 因为点与点关于原点对称， 所以函数图像上任意一点关于原点的对称点都在函数的图像上； 设为函数的图像上任意一点，则 . 即在函数的图像上. 因为点与点关于原点对称， 所以函数图像上任意一点关于原点的对称点都在函数的图像上. 所以函数与函数的图像关于原点对称. 故选：D 方法2：在同一坐标系内，做出函数与的图像如下： 由图可知：函数与的图像的图像关于原点对称. 故选：D 3．（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数满足，若函数与的图像有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由函数的对称性易得和的图像都关于直线对称，从而根据对称性求解两个图像所有交点横坐标的和. 【详解】由知的图像关于直线对称， 又的图像也关于直线对称， 所以函数与的图像有6个交点，分3对分别关于直线对称， 每对交点的横坐标之和为4，所以. 故选：D. 4．（25-26高三下·陕西咸阳·月考）若为奇函数，则函数的图像关于（   ） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．直线对称 【答案】A 【分析】根据函数的平移变换求解即可. 【详解】因为为奇函数，则关于原点对称， 根据函数的平移变换，函数的图像是将的图像向右平移个单位，再向上平移个单位， 则对应的对称中心也向右平移个单位，再向上平移个单位， 故关于点对称. 故选：A. 5．（25-26高一上·河南·期末）若定义在上的函数，且，，函数在区间上的所有零点为，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的周期性作出函数的图像，再作出的图像，利用方程与函数之间的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】当时，， 此时关于对称， 且当时，关于对称， 又因为，所以， 作出函数在区间上的图像： 所以的函数图像在上关于点对称， 又，所以的周期， 因此的图像关于点对称，又的图像关于点对称， 所以在上的所有零点两两关于点对称， 作出与的函数图像如图所示： 由图像可知与在区间上有8个交点， 每2个交点关于点对称，那么这2个交点的和为2， 所以. 故选：A. 6．（25-26高一上·河北雄安·期末）函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.该结论可以推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．4052 D．4053 【答案】C 【分析】先根据解析式求得，首尾相加可得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 所以， 故选：C. 7．（2026·黑龙江大庆·二模）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性和对称性可证明周期性，从而利用周期性来求值，即可求出结果. 【详解】因为是偶函数，所以，所以， 即， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 即，所以，所以函数以4为周期, 即， 所以. 故选：B (多选）8．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知函数的定义域为（不恒为0），且是奇函数，是偶函数，则（   ） A． B．的一个周期为4 C．图像的一个对称中心为 D． 【答案】ACD 【分析】利用函数的奇偶性恒等式可证明函数的对称中心和周期，再通过赋值可求得特殊函数值，从而可判断各选项. 【详解】由是奇函数，可得， 令得，，故A正确； 用代入可得：， 由是偶函数，可得， 上面两式相减得：， 用代入可得：， 若4是函数的一个周期，则， 只有为常数函数时，4才是函数的一个周期， 但只要不是常数0函数 ，那么4一定不是函数的一个周期，故B错误； 再用代入可得：， 即可得，故的一个周期为， 再由与相结合可得：， 再用代入可得：， 从而可得函数图像的一个对称中心为，令可得，则， 再结合周期为，可知是图像的一个对称中心，故C正确； 由函数图像的一个对称中心为， 可知 ， 因为周期为，所以即 所以， 即根据，所以，故D正确； 故选：ACD (多选）9．（2026·广东茂名·二模）已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图像关于直线对称 D．是的周期 【答案】ACD 【详解】在中,令，可得，所以，故A正确； 由，可得的图像关于直线对称，故C正确； 在中，令，可得，又由选项A知，故， 若是定义在上的奇函数，则与矛盾，故不是奇函数，故B错误； 由，可得的图像关于点对称，又因为的图像关于直线对称， 故，故D正确． 故选：ACD. (多选）10．（2026·广西河池·二模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A．为的周期 B．关于对称 C． D． 【答案】ABD 【分析】先用赋值法求特殊值，可以排除C，再通过判断奇偶性，结合中心对称性进一步推出周期性判断A，利用中心对称性验证选项B，利用周期性拆分求和项，即可判断D. 【详解】因为定义域为的函数，对任意实数、都有， 所以令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故， 所以，所以，可知C错误； 令，得，即， 在原函数方程中，令，得，即， 所以，由，令替换为，得， ，所以，， 所以，故函数的一个周期为4，得A正确； 因为，所以是偶函数，所以， 又因为周期为4，所以，所以， 所以关于对称，选项 B正确； 因为周期为4，所以，所以D正确. 故选：ABD. 【题型四】 奇偶性、周期性与对称性的综合应用 【例题精讲】 1．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知定义域为的函数满足，且，则（    ） A．24 B．16 C．0 D． 【答案】C 【分析】利用条件可得函数的周期性，根据赋值法求得，利用可求得，再由，可得，进而即得. 【详解】由可得：， 由可得：， 所以，可得， 所以， 即是一个周期为的周期函数， 则， 又由可得：， 由可得：，即， 所以， 故选：C. 2．（2026·江西宜春·一模）设函数满足对任意的，都有，且，则（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】B 【详解】因为函数满足对任意的，都有， 所以是周期为2的周期函数， 又因为，令，则， 所以函数的图像关于对称， 令替换上式中的，则， 结合周期性可得：， 即，所以是偶函数， 又因为函数的图像关于对称，所以在上一定不是单调函数，故C、D错误. 故选：B. 3．（2026·安徽滁州·二模）已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性定义分析函数的对称性和周期性，根据函数性质逐项分析判断. 【详解】由为偶函数，得，即关于对称. 由为奇函数，得，令可得. 所以，， 联立得，，周期为. 选项A：仅知关于对称，无任何条件可推出，值不确定，A错误. 选项B：由为奇函数得，由对称性，未知，故不一定成立，B错误. 选项C：由，令，得，即恒成立，C正确. 选项D：在中，令，得，由， 所以，故，不一定等于，D错误. 故选：C. 4．（2026·湖南·三模）已知是定义在上的奇函数，的图像关于对称，，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由奇函数定义可得，由对称性性质可得，再证明函数为周期为的周期函数，结合周期性性质和奇函数性质求结论. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 因为的图像关于对称， ， 令可得，， 所以，故函数的一个周期为4， 所以． 故选：C. 5．（2026·河北·模拟预测）已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性、周期性及对称性求解即可. 【详解】由题可得，所以2是函数的周期，且的图像关于直线对称. 当时，，则. 故选：C. 6．（25-26高一下·湖北黄石·月考）已知为上的奇函数，且满足，且时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用奇函数性质和已知对称关系推出函数周期，再将所求的通过周期性和对称性转化为已知解析式区间内的函数值进行计算. 【详解】已知是上的奇函数，所以 ，整理得：， 由，即，代入上式得： ， 所以，因此函数周期. 所以 ， 又由得 ， 所以 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、对称性与周期性的关联，核心方法是利用双对称关系推导周期，通过转化化归将未知区间的函数值变为已知区间的函数值求解. 故选：C. 7．（25-26高一上·四川成都·期末）已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（   ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 【答案】B 【分析】根据图像的平移及对称中心得到是奇函数，结合得到是周期为8的周期函数，从而得到，结合已知条件及奇函数求出，即可得到. 【详解】根据函数平移的性质，函数的图像可由函数向右平移1个单位得到， 因为函数关于对称，所以函数关于对称， 即是奇函数，满足. ，即，， 所以，所以是周期为8的周期函数. ， 又时，，所以，所以. 故. 故选：B. (多选）8．（25-26高三下·辽宁·月考）已知函数的定义域为，任意，恒成立，且，则（） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】BCD 【分析】采用赋值法逐一分析选项即可. 【详解】令，，则， 又，所以，A项错误； 令，则，所以，B项正确； 令，，则，所以， 因此，所以为偶函数，C项正确； 令，，则， 即①，所以②， 两式相加得，则， 所以，故， 所以是以为一个周期的周期函数， 由，得，，， 所以，则，D项正确. 故选：BCD. (多选）9．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图像关于点中心对称，则以下说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D．若，则在区间上的零点之和为0 【答案】BC 【分析】利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C选项，再结合函数零点判断D选项. 【详解】对于A，因为函数的图像关于点中心对称， 所以，即， 也即， 当时，成立， 当时，， 又函数是定义在上的偶函数， 所以，故A错误； 对于B，， 由，所以函数的周期为6， 所以，故B正确； 对于C，因为函数的图像关于点中心对称，且在区间上是增函数， 由中心对称的性质可得函数在上是增函数，故C正确； 对于D，令，则或， 此时在区间有一个零点， 因为函数是定义在上的偶函数，且周期为6，， 所以， 此时， 所以在区间共有个零点分别为， 此时，故D不正确. 故选：BC. (多选）10．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（ ） A． B．是偶函数 C．在单调递增 D．的解集为 【答案】AC 【详解】令，得，所以，A正确. 令，得，，所以， 所以为非奇非偶函数，B错误. 设，则，因为当时，，所以， 又因为， 所以，所以在单调递增 ，C正确. 令，得， 令，得， 所以是的一个解，所以的解集不是，D错误. 故选：AC. 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $