1.2 集合间的基本关系 2026-2027高中数学高一上学期必修一例题讲解及课时精练

该高中数学讲义以“集合间的基本关系”为核心，通过分点梳理与对比表格构建知识体系，涵盖Venn图、子集与真子集、集合相等、空集等6个知识点，用表格对比空集与{0}等的异同，结合Venn图直观呈现集合关系，突出子集性质与个数公式等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于“题型分层+方法指导”的练习设计，设5类题型，如根据集合包含关系求参强调空集讨论，培养严谨数学思维。例题涵盖选择、多选等形式，基础题巩固概念，综合题提升推理能力，助力不同层次学生发展，教师可依此实施精准教学。

1.2 集合间的基本关系 【题型一】集合间关系的判断 2 【题型二】 利用集合相等求参 5 【题型三】 空集的概念与判断 7 【题型四】集合的子集、真子集（个数） 10 【题型五】根据集合包含关系求参数 12 课时精练 15 【基础回顾】 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1 : Venn 图 用平面上封闭曲线的内部代表集合， 这种图称为 Venn 图。 表示集合的 Venn 图的边界是封闭曲线， 它可以是圆、矩形、椭圆， 也可以是其他封闭曲线。 韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系。 知识点 2 : 子集与真子集 （1）子集的定义：对于两个集合 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，就称集合 为集合 的子集，记作 （或 )，读作 “ 包含于 ” （或 “ 包含 ”）。 如果 不是 的子集，则记作 （或 ），读作 “ 不包含于 ” （或 “ 不包含 ”）。 （2）真子集的定义：如果集合 是集合 的子集，并且 中至少有一个元素不属于 ，那么集合 称为集合 的真子集，记作 （或 ，读作 “ 真包含于 ” （或 “ 真包含 ”）。 知识点 3 : 集合相等 一般地，如果集合 的任何一个元素都是 的元素，同时集合 的任何一个元素都是集合 的元素，那么集合 与集合 相等，记作 . 知识点 4 : 空集 （1）定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫作空集，记为 ，并规定：空集是任何集合的子集，即 . （2）特征：①空集只有一个子集，即它本身， ; ②若 ，则 . （3） 的关系 与 0 与 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0 是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素 0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 或 知识点 5 : 子集的性质 （1）空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （2）任何一个集合 都是它本身的子集，即 . （3）如果 ，则 . （4）如果 ，则 . 知识点 6 : 子集的个数 如果集合 中含有 个元素，则有： （1） 的子集的个数有 个。 （2） 的非空子集的个数有 个。 （3） 的真子集的个数有 个。 （4） 的非空真子集的个数有 个。 【练题型】 【题型一】集合间关系的判断 【例题精讲】 1．（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 2．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 3．（25-26高三下·北京·月考）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，是集合，空集不是集合的元素，错误； 对于B，，正确； 对于C，与没有包含关系，错误； 对于D，为无理数，所以，错误. 4．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）已知全集，集合，，则（   ） A．集合的子集有7个 B． C．中的元素个数为7 D． 【答案】D 【详解】对于A，集合的子集有个，故A错误； 对于B，,故，故， 不是中的元素，故不成立，故B错误； 对于C，由B的分析可得中的元素个数为，故C错误； 对于D，由B的分析可得，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合，则下列集合中不是的子集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的子集有，故选项C错误. 故选：C. 6．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，可知 对于A，是集合不是集合的元素，故错误，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，因为，不满足，D错误； 故选：C. 7．（25-26高一上·天津河北·月考）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 8．（多选）（25-26高一上·广西河池·月考）已知集合，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．中有5个元素 D．集合有个子集 【答案】AD 【详解】， 选项A： ，，故A正确； 选项B：，，故B错误； 选项C：，集合中有4个元素，故C错误； 选项D：中有4个元素，有个子集，故D正确． 故选：． 9．（多选）（25-26高一上·安徽合肥·期末）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】， 所以，，故AD正确； 所以，，故BC错误. 故选：AD. 10．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，下列命题正确的是（    ） A．不存在实数a使得 B．存在实数a使得 C．当时， D．存在实数a使得 【答案】AD 【详解】A.由相等集合的概念可得，即，得此方程组无解， 故不存在实数使得集合A=B，因此A正确； B.若，则，即，此不等式组无解，因此B错误； C.当时，得为空集，不满足，因此C错误； D. 若，则，解得，若，则，无解，综上：，故D正确. 故选：AD. 【题型二】 利用集合相等求参 【例题精讲】 1．（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】由知是的子集，若，则中有重复元素0，不合题意舍去； 若，则无解；若，则，经检验符合题意. 所以 2．（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则（   ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】由已知得集合，由题意得，所以集合， 若，则，所以，解得． 3．（2026·广东·一模）已知集合，若，则（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由于集合，， 则，故 4．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B 5．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【答案】C 【详解】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 即满足题意， 故选：C 6．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，， ①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意； ②当时，解得（舍去）或.即，符合题意. 所以. 故选：D 7．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 8．（多选）（25-26高一上·河北邯郸·月考）已知集合，则下列集合与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】根据题意，，故A选项正确； 对于B，，故B选项错误； 对于C，，故C选项正确； 对于D，，故D选项错误. 故选：AC 9．（多选）（25-26高一上·河北保定·月考）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】AC 【详解】若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，这不符合集合中元素的互异性，所以不符合题意； 若，则，此时，符合题意． 故选：AC 10．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【详解】选项A，由相等集合的概念可得此方程组无解，故不存在实数a，使得集合，因此A正确； 选项B，由，得即此不等式组无解，因此B错误； 选项C，当时，得为空集，满足，因此C正确； 选项D，当，即时，，符合， 当时，要使，需满足解得，不满足， 故这样的实数a不存在，因此D错误． 故选：AC. 【题型三】 空集的概念与判断 【例题精讲】 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误. 故选：B 2．（25-26高一上·天津和平·月考）下列六个写法：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确写法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】①两个集合之间的关系是包含、被包含关系，不能是属于、不属于关系，故错误； ②0.3是有理数，即，故错误； ③所含元素相同，所以正确； ④空集没有任何元素，故错误； ⑤任意集合与空集的交集为空集，故错误； ⑥空集是任意非空集合的真子集，故正确. 所以正确的有③⑥. 故选：C 3．（25-26高一上·宁夏中卫·月考）若集合 ，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，得集合, ，，，空集是任何集合的子集. 故选： 4．（25-26高一上·安徽·期中）下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 【答案】D 【详解】集合元素无序，和表示同一个集合，A对； 空集是任何非空集合的子集，B对； 当时，；当或时，； 当时，，C对； 是点集，是数集，D错． 故选：D 5．（25-26高一·全国·寒假作业）给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【详解】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥， 故选：D. 6．（25-26高一上·辽宁·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 记，则， 由于，因此， 要使，则无实数根，故， 故选：C 7．（25-26高一上·全国·月考）下列五个写法，其中错误写法的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于①，“”是用于元素与集合的关系，①错； 对于②，是任意非空集合的真子集，②错； 对于③，集合是它本身的子集，③对； 对于④，“”是用于元素与集合的关系，④错； 对于⑤，是用于集合与集合的关系的，⑤错； 所以错误的写法有①②④⑤，共个. 故选：D. 8．（多选）（25-26高一上·贵州遵义·月考）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A：是任何集合的子集，故成立，故A正确； 选项B：符号用于表示元素与集合的从属关系，不是集合B的元素， 错误，故B错误； 选项C：，，故C正确； 选项D：中元素，故错误，故D错误． 故选：AC． 9．（多选）（25-26高一上·吉林长春·月考）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以方程无解，故是空集，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选）（25-26高一上·云南昭通·期中）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 【答案】AB 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确； 对于C，若集合只有一个元素， 当时，，合乎题意， 当时，则有，解得， 故当中只有一个元素时，或，C错误； 对于D，当时，则关于的方程无实数解， 所以，解得， 故当时，，D错误. 故选：AB. 【题型四】集合的子集、真子集（个数） 【例题精讲】 1．（2026·重庆·模拟预测）已知集合 ，则 的子集个数是（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】D 【详解】因为， 所以，有7个元素， 故子集个数为. 2．（2026·陕西安康·三模）若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为． 3．（2026·安徽淮南·二模）已知集合，⫋，则符合条件的集合的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】集合， ，所以可能的取值为，，，即集合， 是的真子集， 因此集合的个数为. 4．（2026·山西吕梁·二模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【详解】由， 所以， 显然集合有三个元素， 所以集合的子集个数为个. 5．（2026·湖南怀化·一模）全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 【答案】A 【详解】因为全集，且， 所以可能为，共个 即集合的个数为. 6．（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【详解】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素. 故集合的子集有：个. 7．（25-26高二下·浙江衢州·期中）设集合，且，则实数的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，所以或. 当时，，若，集合，不满足互异性，舍去； 若，此时集合，满足，符合条件. 当时，或， 若，集合，不满足互异性，舍去，同理，也舍去， 综上，. 8．（多选）（25-26高一上·江苏南通·月考）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【详解】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 9．（多选）（25-26高一上·河北·月考）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，， 因为，且集合中至多有一个元素，所以或或， 若，则； 若，则； 若，则； 故选：ABD. 10．（多选）（25-26高一上·辽宁·月考）已知，，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，不满足. 故选：ABD 【题型五】根据集合包含关系求参数 空集是任何集合的子集，因此在解 的含参数的问题时，要注意讨论 和 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面。 【例题精讲】 1．（2026·陕西·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 因为，且， 所以，即实数的取值范围是. 2．（2026·湖北十堰·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知集合； 已知集合，由于可得是的正因数； 当时，；当时，；当时，；当时，； 所以； 因为，集合中的最大元素为，所以必须大于等于6，即，所以实数的取值范围是. 3．（2026·四川成都·二模）设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，因为，所以. 4．（25-26高三下·云南玉溪·开学考试）集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，集合，，可得. 所以的取值范围是. 5．（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由集合， 因为，则满足，所以实数的最小值为. 故选：C. 6．（25-26高三上·山东东营·期末）已知集合，集合，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，解得或，所以. 因为，所以且. 由可知，或或，解得或 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，满足，故. 故选：B. 7．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知集合，，， 则需要满足集合中元素都在中,可得，故C正确． 故选：C． 8．（多选）（25-26高一上·湖南永州·期中）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 【答案】AC 【详解】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合， 则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，非空子集为个，故C正确，D错误； 故选：AC 9．（多选）（25-26高一上·江苏南京·期中）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由解得或，则， 当时，此时，满足； 当时，此时，则， 若，则或，所以或； 综上所述，的可取值为， 故选：ABC. 10．（多选）（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（） A．2 B． C． D．0 【答案】BCD 【详解】当时，不成立，，满足． 当时，， 当时，；当时，； 综上得，的所有可能取值为． 故选：． 课时精练 一、选择题 1．（2026·广东广州·一模）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解不等式得，则集合，有3个元素， 则集合的子集个数为. 2．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A．32 B．31 C．64 D．63 【答案】D 【详解】因为集合的元素有个， 所以集合的非空子集的个数为. 4．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根式的性质解不等式，判断选项即可. 【详解】集合，当时，， 当时，，故，A，C选项错误； 集合，对都成立， 故集合，D选项错误，B选项正确. 故选：B 5．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 6．（25-26高一上·江西九江·月考）下面给出四个论断：①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集，其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】对于①，空集不包含任何元素，故①错误； 对于②，当时不成立，故②错误； 对于③，，故③错误； 对于④，由题意可知且为正整数. 令（为正整数），则. 由于可以取任意正整数，故有无穷多个值，所以集合是无限集，故④错误. 故选：A. 7．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）若集合非空，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合非空， 所以在上有解， 则在上有解，令， 由二次函数性质得在上单调递减， 可得，即，故D正确. 故选：D 8．（25-26高一上·陕西宝鸡·月考）已知集合．若集合、中至少有一个非空集合，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或且 D．且 【答案】C 【详解】集合为空集，则，解得， 集合为空集，则，解得， 因此集合均为空集时，， 所以实数的取值范围为或且. 故选：C 9．（多选）（25-26高一上·安徽六安·月考）下列选项中不正确的是（    ） A．空集是任何集合的子集 B．任何集合至少有两个子集 C．集合用列举法表示为 D．满足方程组的点集为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，空集是任何集合的子集，A对； 对于B选项，空集只有一个子集，即空集本身，B错； 对于C选项，解方程，解得或， 故，C错； 对于D选项，由得，， 故满足方程组的点集为，D错. 故选：BCD. 10．（多选）（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】BCD 【详解】集合，， 当时，，符合题意； 当时，，即，符合题意； 当时，，即，符合题意； 综上，实数的值可以是0，1，. 故选：BCD 11．（多选）（25-26高一上·山东·期中）已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（   ） A．2 B． C．2.5 D．4 【答案】BCD 【详解】因为是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 则或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 二、填空题 12．（山东2026届高三年级部分学生调研检测数学试题）已知集合，若，则整数a的所有可能取值构成的集合为________ 【答案】 【详解】当时，，满足，故符合题意； 当时，，，， 或，或或， ，或或或， 综上可知所有整数的取值构成的集合为. 13．（25-26高一上·云南曲靖·期末）集合的子集的个数为___________． 【答案】4 【详解】因为， 所以的子集的个数为． 故答案为：4 14．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 三、解答题 15．（25-26高一上·上海奉贤·期末）设全集为，集合，集合． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不等式等价于，解得， 集合． （2）当时，无实数解，故，满足，故满足条件； 当时，由得，解得， 即，已知， ，解得， ， 综上，的取值范围是． 16．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 17．（25-26高一上·广东·期末）已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． 18．（25-26高一上·安徽六安·月考）（1）已知集合，，若，求实数m的取值集合. （2）设集合，若，则实数a的值是多少？ 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题知，则， 若，则或， 当时，方程无实数解； 当时，，解得:， 此时，，符合题意， 所以m的取值集合为； （2）时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 若，即，无实根，不符合题意． 所以． 19．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. $ 1.2 集合间的基本关系 【题型一】集合间关系的判断 2 【题型二】 利用集合相等求参 3 【题型三】 空集的概念与判断 4 【题型四】集合的子集、真子集（个数） 5 【题型五】根据集合包含关系求参数 5 课时精练 7 【基础回顾】 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1 : Venn 图 用平面上封闭曲线的内部代表集合， 这种图称为 Venn 图。 表示集合的 Venn 图的边界是封闭曲线， 它可以是圆、矩形、椭圆， 也可以是其他封闭曲线。 韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系。 知识点 2 : 子集与真子集 （1）子集的定义：对于两个集合 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，就称集合 为集合 的子集，记作 （或 )，读作 “ 包含于 ” （或 “ 包含 ”）。 如果 不是 的子集，则记作 （或 ），读作 “ 不包含于 ” （或 “ 不包含 ”）。 （2）真子集的定义：如果集合 是集合 的子集，并且 中至少有一个元素不属于 ，那么集合 称为集合 的真子集，记作 （或 ，读作 “ 真包含于 ” （或 “ 真包含 ”）。 知识点 3 : 集合相等 一般地，如果集合 的任何一个元素都是 的元素，同时集合 的任何一个元素都是集合 的元素，那么集合 与集合 相等，记作 . 知识点 4 : 空集 （1）定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫作空集，记为 ，并规定：空集是任何集合的子集，即 . （2）特征：①空集只有一个子集，即它本身， ; ②若 ，则 . （3） 的关系 与 0 与 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0 是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素 0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 或 知识点 5 : 子集的性质 （1）空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （2）任何一个集合 都是它本身的子集，即 . （3）如果 ，则 . （4）如果 ，则 . 知识点 6 : 子集的个数 如果集合 中含有 个元素，则有： （1） 的子集的个数有 个。 （2） 的非空子集的个数有 个。 （3） 的真子集的个数有 个。 （4） 的非空真子集的个数有 个。 【练题型】 【题型一】集合间关系的判断 【例题精讲】 1．（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·北京·月考）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）已知全集，集合，，则（   ） A．集合的子集有7个 B． C．中的元素个数为7 D． 5．（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合，则下列集合中不是的子集的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·天津河北·月考）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（多选）（25-26高一上·广西河池·月考）已知集合，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．中有5个元素 D．集合有个子集 9．（多选）（25-26高一上·安徽合肥·期末）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，下列命题正确的是（    ） A．不存在实数a使得 B．存在实数a使得 C．当时， D．存在实数a使得 【题型二】 利用集合相等求参 【例题精讲】 1．（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 2．（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则（   ） A．4 B．2 C． D．1 3．（2026·广东·一模）已知集合，若，则（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 4．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 5．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 6．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 7．（25-26高一上·全国·期末）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高一上·河北邯郸·月考）已知集合，则下列集合与相等的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高一上·河北保定·月考）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 10．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 【题型三】 空集的概念与判断 【例题精讲】 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·天津和平·月考）下列六个写法：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确写法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26高一上·宁夏中卫·月考）若集合 ，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽·期中）下列说法错误的是（   ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 5．（25-26高一·全国·寒假作业）给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 6．（25-26高一上·辽宁·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·月考）下列五个写法，其中错误写法的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高一上·贵州遵义·月考）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高一上·吉林长春·月考）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 10．（多选）（25-26高一上·云南昭通·期中）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 【题型四】集合的子集、真子集（个数） 【例题精讲】 1．（2026·重庆·模拟预测）已知集合 ，则 的子集个数是（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 2．（2026·陕西安康·三模）若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．（2026·安徽淮南·二模）已知集合，⫋，则符合条件的集合的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2026·山西吕梁·二模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 5．（2026·湖南怀化·一模）全集，且，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．2 6．（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 7．（25-26高二下·浙江衢州·期中）设集合，且，则实数的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．（多选）（25-26高一上·江苏南通·月考）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 9．（多选）（25-26高一上·河北·月考）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高一上·辽宁·月考）已知，，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【题型五】根据集合包含关系求参数 空集是任何集合的子集，因此在解 的含参数的问题时，要注意讨论 和 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面。 【例题精讲】 1．（2026·陕西·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北十堰·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·二模）设集合，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·云南玉溪·开学考试）集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高三上·山东东营·期末）已知集合，集合，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高一上·湖南永州·期中）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 9．（多选）（25-26高一上·江苏南京·期中）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（） A．2 B． C． D．0 课时精练 一、选择题 1．（2026·广东广州·一模）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A．32 B．31 C．64 D．63 4．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 6．（25-26高一上·江西九江·月考）下面给出四个论断：①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集，其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）若集合非空，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·陕西宝鸡·月考）已知集合．若集合、中至少有一个非空集合，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或且 D．且 9．（多选）（25-26高一上·安徽六安·月考）下列选项中不正确的是（    ） A．空集是任何集合的子集 B．任何集合至少有两个子集 C．集合用列举法表示为 D．满足方程组的点集为 10．（多选）（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 11．（多选）（25-26高一上·山东·期中）已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（   ） A．2 B． C．2.5 D．4 二、填空题 12．（山东2026届高三年级部分学生调研检测数学试题）已知集合，若，则整数a的所有可能取值构成的集合为________ 13．（25-26高一上·云南曲靖·期末）集合的子集的个数为___________． 14．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 三、解答题 15．（25-26高一上·上海奉贤·期末）设全集为，集合，集合． (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围． 16．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 17．（25-26高一上·广东·期末）已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 18．（25-26高一上·安徽六安·月考）（1）已知集合，，若，求实数m的取值集合. （2）设集合，若，则实数a的值是多少？ 19．（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． $