精品解析：河南省漯河市漯河市实验中学等校2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

2025－2026学年下学期八年级期末学情素质调研数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 3. 为计算某样本数据的方差，列出如下算式，据此判断下列说法错误的是（ ） A. 样本容量是4 B. 样本的平均数是4 C. 样本的众数是3 D. 样本的中位数是3 4. 已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（ ） A. B. C. D. 以上均有可能 5. 关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 6. 如图，将沿虚线剪去一个角后，得到四边形，则裁剪前后（ ） A. 面积不变 B. 周长变小 C. 外角和变大 D. 外角和变小 7. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 方程组的解为 C. D. 当时， 9. 一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿着折线匀速运动，运动速度为1cm/s，图2是线段的长度y与时间x（s）之间的函数关系的图象（不妨设当点P与点A重合时，），则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 6 C. 5 D. 2.5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某奶茶店记录了一周内每天的销量（单位：杯）：12，26，18，8，28，25，30，则这组销量数据的第三四分位数是______． 12. 当________时，函数（是常数）是正比例函数． 13. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两端点的坐标分别为，，有一动点P在直线上运动，连接，设点P的横坐标为m．当取得最小值时，______． 14. A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，甲的直线解析式为：则下列结论： ①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③当时，甲、乙两人相距；④在内，当甲、乙两人相距时，乙行驶了或． 其中正确的序号为______． 15. 已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．当为等腰三角形时，线段的长为________． 三、解答题（共75分） 16. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解下列方程：． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 18. 如图有一块等腰三角形菜地，其中，，点为的中点．现需要开辟一块的空地用于堆肥，已知，． （1）你能确定的形状吗，请说明理由． （2）计算阴影部分的面积． 19. 学校开展了“人工智能素养”知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，． 八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______；______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“人工智能素养”知识竞赛的成绩较好?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级各有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？ 20. 如图，在中， ，点在上，．过点分别作，的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 21. 随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、效率高、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解2架A款植保无人机和3架B款植保无人机1小时可喷洒390亩土地；3架A款植保无人机和2架B款植保无人机1小时可喷洒360亩土地． （1）求每架A款植保无人机和每架B款植保无人机每小时分别喷洒多少亩地． （2）已知每架A款植保无人机的价格为6万元，每架B款植保无人机的价格为8万元．某农业合作社计划购买这两款无人机共20架，且购买总金额不超过140万元．问如何购买才能使每小时喷洒的总面积最大？最大面积是多少？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点的坐标为．过点的直线与的图象相交于，过点作轴，垂足为，且点横坐标为． （1）点的坐标为______； （2）求所在直线的函数关系式； （3）在直线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 【问题情境】 在正方形中，，分别是射线，上的点，且，点在射线上（不与点重合），且满足． 【初步探究】 （1）如图1，当点，分别在线段，上时，线段与的数量关系为 ，位置关系为 ． 【深入思考】 （2）如图2，当点，分别在线段，的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）当时，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年下学期八年级期末学情素质调研数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； B、中，含有和两个未知数，不符合要求； C、中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； D、整理得，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义． 2. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题先利用二次根式的性质化简原式，再根据相反数的定义求解. 【详解】解：， 的相反数是. 3. 为计算某样本数据的方差，列出如下算式，据此判断下列说法错误的是（ ） A. 样本容量是4 B. 样本的平均数是4 C. 样本的众数是3 D. 样本的中位数是3 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差算式得出，样本中数据为2，3，3，7，再根据平均数计算公式求出平均数，得出众数和中位数即可． 【详解】解：根据方差算式可得，这组数据有2，3，3，7共4个，因此样本容量为4，样本众数为3， 中位数是， 平均数为：，故B错误，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，平均数，样本容量，解题的关键是根据方差计算公式，得出这组数据有2，3，3，7共4个． 4. 已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（ ） A. B. C. D. 以上均有可能 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的比例系数判断函数增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小即可． 【详解】∵一次函数 中，比例系数 ， ∴随的增大而减小，即纵坐标越小，对应的横坐标越大， 比较三点的纵坐标可得：， ∴对应横坐标的大小关系为：， ∴是三个数中最大的数． 5. 关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知根代入方程求出参数，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的根， ∴ 将 代入原方程得：， 解得 ， ∴ 原方程为 ， ， 解得方程的两个根为 ，. ∴ 方程的另一个根为 ． 6. 如图，将沿虚线剪去一个角后，得到四边形，则裁剪前后（ ） A. 面积不变 B. 周长变小 C. 外角和变大 D. 外角和变小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，构成三角形的三边关系，多边形的外角．结合有关知识对选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A，裁剪后的图形减少了一个小三角形的面积，故裁剪后的面积变小了，所以选项A不符合题意； 选项B，如图，裁剪后四边形的周长为，故裁剪后的周长变小了，所以选项B符合题意； 因为任意四边形的外角和均为，故裁剪前后图形的外角和不变，所以选项C，D不符合题意． 7. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这个四边形是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故测量方案正确的是：A． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 方程组的解为 C. D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质判断A；根据两直线交点坐标与二元一次方程组的关系判断B；根据与轴交点的位置判断C；根据与轴交点坐标及两直线交点坐标结合图象判断D． 【详解】解：A选项，中， 随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B选项，点在上， ，解得，故两直线的交点坐标为， 方程组的解为，故选项B正确，不符合题意； C选项，在直线中，令，则， 直线与轴的交点为， 由图象可知，直线与轴的交点在点的上方， ，故选项C正确，不符合题意； D选项，对于，当时，，解得， 直线与轴的交点为， 由图象可知，当时，，故选项D错误，符合题意． 9. 一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：、∵一次函数经过一、二、三象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过一、三象限，该选项图形错误，不符合题意； 、∵一次函数经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意； 、∵一次函数经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形正确，符合题意； 、∵一次函数经过一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意． 10. 如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿着折线匀速运动，运动速度为1cm/s，图2是线段的长度y与时间x（s）之间的函数关系的图象（不妨设当点P与点A重合时，），则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 6 C. 5 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据图2得出，再利用菱形的性质求出另一条对角线的长度，从而求出菱形的面积． 【详解】解：连接，且相交于点O， 根据题意，结合图2可知，; ∵四边形是菱形， ， ， ， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某奶茶店记录了一周内每天的销量（单位：杯）：12，26，18，8，28，25，30，则这组销量数据的第三四分位数是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再计算第三四分位数的位置，根据分位数的位置规则得到结果． 【详解】解：（解法一）将给定数据从小到大排列，得，，，，，，，数据总个数， ∵第三四分位数是分位数，位置， ∴不是整数，按规则将向上取整，得到第三四分位数是排序后第个位置的数据， ∴这组销量数据的第三四分位数是． （解法二）将给定数据从小到大排列，得，，，，，，， 中位数为， 后半部分的中位数为， ∴这组销量数据的第三四分位数是． 12. 当________时，函数（是常数）是正比例函数． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数是（k为常数，），即常数项为零且一次项系数不为零，解答即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两端点的坐标分别为，，有一动点P在直线上运动，连接，设点P的横坐标为m．当取得最小值时，______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知当点在线段与直线的交点处时，取得最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，再求交点坐标即可． 【详解】解：由题可知，当点在线段与直线的交点处时，取得最小值， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得， ． 14. A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，甲的直线解析式为：则下列结论： ①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③当时，甲、乙两人相距；④在内，当甲、乙两人相距时，乙行驶了或． 其中正确的序号为______． 【答案】 ①②##②① 【解析】 【分析】根据图象获取甲乙出发时间及关键点坐标，利用待定系数法求出乙的函数解析式，结合路程速度时间的关系及两函数解析式差的绝对值等于进行分类讨论求解即可 ． 【详解】解：由图象可知，乙在时出发，甲在时出发， 乙比甲提前出发，故①正确； 由甲的直线解析式可知，甲的速度为，故②正确； 设乙的函数解析式为， 将点代入得，解得， 乙的函数解析式为， 当时，，， 甲、乙两人相距，故③错误； 当时，甲未出发，，由题意得，解得； 当时，由题意得， 即，解得或； 综上所述，当甲、乙两人相距时，乙行驶了或或，故④错误； 综上，正确的结论是①② ． 15. 已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．当为等腰三角形时，线段的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵将沿直线翻折得， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，过点作于点，如图： 则四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点在上， 设，则， ∴， 由勾股定理得， ∴，此方程无解，故此情形不存在； 当时， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 当时，过点作于点， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或． 三、解答题（共75分） 16. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解下列方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式乘除运算法则，零指数幂的性质逐步计算即可； （2）用配方法将方程变形后开方，即可求出方程的解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：移项得， 配方得，整理得， 开方得， 解得． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，计算判别式后解不等式即可得到m的取值范围； （2）先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于m的方程，求解后结合第一问的范围舍去不合理的解，即可得到m的值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程为有两个不相等的实数根， ∴，其中，，，     ， 解得； 【小问2详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 代入得：， 解得，， ∵由（1）知，，不符合要求，舍去， ∴． 18. 如图有一块等腰三角形菜地，其中，，点为的中点．现需要开辟一块的空地用于堆肥，已知，． （1）你能确定的形状吗，请说明理由． （2）计算阴影部分的面积． 【答案】（1）是直角三角形，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由题意得，由勾股定理逆定理即可判断的形状是直角三角形； （2）连接，则，利用勾股定理可计算出的长，利用即可计算出阴影部分面积． 【小问1详解】 解：的形状是直角三角形； 理由如下： ∵点为的中点， ∴； ∵， ∴的形状是直角三角形，且； 【小问2详解】 连接，如图， ，， ， 在中，， ， ， ， ∴ ． 19. 学校开展了“人工智能素养”知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，． 八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______；______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“人工智能素养”知识竞赛的成绩较好?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级各有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），， （2）八年级学生成绩的中位数比七年级学生成绩的中位数高，八年级学生成绩的众数比七年级学生成绩的众数高， 八年级学生的成绩较好 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图和学生的成绩分别求出七年级学生成绩的中位数、七年级学生成绩达到的百分比、八年级学生成绩的众数； （2）因为八年级学生成绩的中位数比七年级学生成绩的中位数高，八年级学生成绩的众数比七年级学生成绩的众数高，所以八年级学生的成绩较好； （3）利用样本百分比估计总体百分比，得到该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知，七年级学生成绩在组和组的学生占抽查总人数的， 七年级学生成绩在组和组的学生人数有人， 七年级学生成绩在组的有人， 把七年级学生的成绩按照从低到高排列，第、名学生的成绩为、， 七年级学生成绩的中位数为； 八年级学生成绩出现次数最多的是，共出现了次， 八年级学生成绩的众数是； 七年级学生的成绩在、、组的人数共有， 七年级学生的成绩在组的人数共有人， 七年级学生的成绩在组的人数占抽查总人数的； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：八年级抽查的名学生中成绩在分以上的有人， 八年级名学生成绩在分以上的大约有人， 七年级抽查的名学生中成绩在分以上的占， 七年级名学生成绩在分以上的大约有人， 该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共有人． 20. 如图，在中， ，点在上，．过点分别作，的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵过点分别作，的平行线交于点． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先得出四边形是平行四边形，再得出则，根据菱形的判定即可证明结论； （2）如图：过点A作于点F，先求出的长，则可得的长，再在中，利用勾股定理求得，最后运用等面积法求解即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：如图：过点A作于点F，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：， ∴， ∴在中，． ∵， ∴，解得：． 21. 随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、效率高、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解2架A款植保无人机和3架B款植保无人机1小时可喷洒390亩土地；3架A款植保无人机和2架B款植保无人机1小时可喷洒360亩土地． （1）求每架A款植保无人机和每架B款植保无人机每小时分别喷洒多少亩地． （2）已知每架A款植保无人机的价格为6万元，每架B款植保无人机的价格为8万元．某农业合作社计划购买这两款无人机共20架，且购买总金额不超过140万元．问如何购买才能使每小时喷洒的总面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）每架A款植保无人机每小时喷洒60亩地，每架B款植保无人机每小时喷洒90亩地 （2）购买A款植保无人机10架、B款植保无人机10架时，每小时喷洒的总面积最大，最大面积为1500亩． 【解析】 【分析】（1）设每架A款植保无人机每小时喷洒x亩地，每架B款植保无人机每小时喷洒y亩地，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A款植保无人机a架，则购买B款植保无人机架，根据题意列不等式求出的取值范围，然后建立关于的函数关系式，再有一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每架A款植保无人机每小时喷洒x亩地，每架B款植保无人机每小时喷洒y亩地． 由题意，得 解得， 答：每架A款植保无人机每小时喷洒60亩地，每架B款植保无人机每小时喷洒90亩地． 【小问2详解】 解：设购买A款植保无人机a架，则购买B款植保无人机架，则购买总费用为万元． 总资金不超过140万元， ， 解得． ． 由题意得每小时喷洒总面积与的关系式为． ， S随a的增大而减小． 当时，S最大，最大值为（亩）， 购买B款植保无人机（架）． 答：购买A款植保无人机10架、B款植保无人机10架时，每小时喷洒的总面积最大，最大面积为1500亩． 22. 如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点的坐标为．过点的直线与的图象相交于，过点作轴，垂足为，且点横坐标为． （1）点的坐标为______； （2）求所在直线的函数关系式； （3）在直线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为，或 【解析】 【分析】（1）通过证明，得到对应边相等，继而得到． （2）根据，得到点的坐标，继而利用待定系数法求得直线的函数表达式． （3）根据点为直角顶点和点为直角顶点构造直角三角形分情况讨论，联立直线的表达式，解得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵轴，垂足为，点横坐标为， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴点的坐标为， 设所在直线的函数表达式为， ∴代入点，点，得： ，解得：， ∴所在直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下， 如图，延长交直线于点，连接，则， 则是以为直角边，点为直角顶点的直角三角形，点为直线与直线的交点， ∴联立两直线的表达式得：，解得：， ∴， 如图，过点作，交直线于点，连接， 则是以为直角边，点为直角顶点的直角三角形，点为直线与直线的交点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线的函数表达式为， ∴联立两直线的表达式得：，解得：， ∴， 综上所述，点的坐标为，或． 23. 【问题情境】 在正方形中，，分别是射线，上的点，且，点在射线上（不与点重合），且满足． 【初步探究】 （1）如图1，当点，分别在线段，上时，线段与的数量关系为 ，位置关系为 ． 【深入思考】 （2）如图2，当点，分别在线段，的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）当时，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2） （1）中的结论依然成立，证明如下： 如图所示，延长交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，即， ，； （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，进而得到，证明得到，，结合可推出，，结合可得，推出，即可判定； （2）延长交于点，证明得到，，结合可推出，，由得到，即可判定； （3）过点作于点，证明四边形是矩形，得到，分两种情况讨论：当点，，分别在线段，，上时，当点，，分别在线段，，的延长线上时，根据全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设与交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，即， 线段与的数量关系为，位置关系为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作于点， ， 四边形是矩形， ， 当点，，分别在线段，，上时，同（1）可得 ，      ， ，， ， ， ，， ， ； 当点，，分别在线段，，的延长线上时，由（2）可得   ， ， ，， ， ， ，， ， ； 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $