专题 4.1 比例线段（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦比例线段核心知识点，系统梳理从比例的内项外项、基本性质等代数基础，到线段之比、比例线段、比例中项的几何应用，再到黄金分割的拓展内容，以知识梳理搭建基础框架，题型精析分基础与培优层次递进，形成完整学习支架。 资料特色在于分层设计与情境融合，基础题型通过比例中项计算等巩固概念，培优题型结合黄金矩形、乐器弦长等实际问题，培养抽象能力与几何直观。同步练习分基础巩固与能力提升，课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，通过小结归纳强化推理意识，提升应用能力。

专题 4.1 比例线段 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】比例的内项和外项 1 【知识点二】比例的基本性质 1 【知识点三】两条线段之比 2 【知识点四】比例线段 2 【知识点五】比例中项 2 【知识点六】黄金分割 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】比例的内项与外项 2 【★题型2】比例的基本性质 3 【★题型3】两条线段的比 3 【★题型4】比例线段 4 【★题型5】比例中项 4 【★题型6】黄金分割 5 （二）培优篇 5 【★★题型7】利用比例的基本性质求值或求比值 5 【★★题型8】利用比例中项求值或求比值 6 【★★题型9】利用黄金分割求值或求比值 6 三．同步练习​ 7 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 7 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 9 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】比例的内项和外项 如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把a,b, c,d四个实数成比例表示成a:b=c:d，或，其中b，c称为内项，a，d称为外项. 【知识点二】比例的基本性质 比例基本性质： 【知识点三】两条线段之比 两条线段的长度的比叫做这两条线段的比 【知识点四】比例线段 一般地，四条线段a，b，c，d如果a与b的比等于c与d比，即：，那么这四条线段a,b,c,d做成比例线段，简称比例线段. 【知识点五】比例中项 一般地，如果三个数a，b，c，满足比例式（或a:b=b:c）那么b叫做a，c的比例中项 即： 【知识点六】黄金分割 一般地，如图所示，如果点P把线段AB分成两条线段AP和 PB，使AP>PB，且，那么称线段AB被点P金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比。 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】比例的内项与外项 【例题1】根据下面的条件列出比例，并解比例： （1）96和x的比等于16和5的比． （2）两个外项是24和18，两个内项是x和36 【变式1】（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）把比例的外项8加上16，外项5和内项20不变，要使比例仍然成立，内项2应该（    ） A．加上6 B．乘3 C．加上16 D．乘2 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是，另一个外项是 ． 【小结归纳】解决此类题的关键依据是比例的基本性质：在比例a：b=c：d或（）中,两个外项的积等于两个内项的积,即。 【★题型2】比例的基本性质 【例题2】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）根据下列条件，求的值. （1）； （2）. 【变式1】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知（，），则 【变式2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【小结归纳】解决比例基本性质相关题型的核心是“外项积等于内项积”这一性质，对于基础比例式求解未知数，直接交叉相乘转化为整式方程后解方程即可。 【★题型3】两条线段的比 【例题3】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）若线段，，则（   ） A． B．4 C． D． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，，则的值为 ． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【小结归纳】解决两条线段的比的相关题型，核心是牢记线段的比是同一单位下两条线段长度的比值，且为无单位的正数，解题时先统一不同线段的长度单位，再计算比值；对于线段长度同时扩大或缩小相同倍数的情况，比值不会发生改变，因为倍数会在计算过程中被约去。 【★题型4】比例线段 【例题4】（25-26九年级上·陕西安康·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序依次为6，4，m，2，若这四条线段是成比例线段，则m的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）下面四组线段中不能成比例线段的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【变式2】（25-26九年级上·山西晋中·期中）是成比例线段，其中，则线段的长为 ． 【小结归纳】 解决比例线段依据是成比例线段的定义和比例的基本性质，对于已知线段顺序求未知线段的题目，按给定顺序列出比例式，转化为方程求解即可；判断四条线段是否成比例时，先将线段按长度排序，再验证最长线段与最短线段的积是否等于中间两条线段的积；对于未给出顺序的成比例线段求值题，直接利用外项积等于内项积列方程计算，解题时需注意线段单位统一，且结果需为正数。 【★题型5】比例中项 【例题5】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为 ． 【变式1】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）已知线段，则线段和的比例中项为 ． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为 ． 【小结归纳】 解决成比例线段求值及比例中项相关题型是紧扣成比例线段的性质和比例中项的定义，若线段b是线段a、c的比例中项，则满足；对于已知四条线段成比例求未知线段的题目，直接根据成比例线段的等量关系列出方程，代入数值求解即可；对于求比例中项的题目，先根据定义列出平方等式，再计算求值，同时注意线段长度为正数，需舍去负根。 【★题型6】黄金分割 【例题6】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段a，b，满足． （1）求的值； （2）当线段x是a，b的比例中项且时，求x的值． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在泰州市举行的大阅读活动中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为，则它的宽为 ．（结果保留根号） 【变式2】（24-25八年级上·上海普陀·期中）线段上的一点P将分割成两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点P为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，求的长度． 【小结归纳】 解决比例线段综合计算及黄金分割相关题型，核心是结合比例的基本性质、比例中项定义和黄金分割的概念来解题，对比例中项时则利用列方程求解，注意线段长度取正值；对于黄金分割相关题目，需牢记黄金比，若点P是线段AB的黄金分割点且AP>BP，则满足，据此设未知数并建立方程，求解后舍去负根即可得到线段长度。 （二）培优篇 【★★题型7】利用比例的基本性质求值或求比值 【例题7】（25-26九年级上·山西临汾·期中）若，则的值为 ． 【变式1】（25-26九年级上·安徽·期中）已知线段a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，求a，b，c的值． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·月考）若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【★★题型8】利用比例中项求值或求比值 【例题8】（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数，其中常数k满足，常数m满足且m是1和9的比例中项，则该一次函数的解析式为 ． 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知线段，，满足，且． （1）求，，的值； （2）若线段是线段，的比例中项，求． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知点在线段上，且．若，则的长为 ． 【★★题型9】利用黄金分割求值或求比值 【例题9】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）点P为线段的黄金分割点，且，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接．然后将纸片展开． （1）求的长； （2）求证：四边形是黄金矩形． 【变式2】（25-26九年级上·四川达州·期中）五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号） 三．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 2．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“黄金格”是当代书法大师启功先生独创的习字格，深受众多书法爱好者的喜爱．如图，正方形是黄金习字格的边框，正方形每条边上的格点（端点除外）都是这条线段的黄金分割点，若，则长为（   ） A． B．6 C． D．8 6．（2025·河北石家庄·三模）北宋的《燕几图》是七巧板的前身．一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形．如图给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是．设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为a，b，c．嘉嘉经过研究，得出结论：①；②．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在比例尺为的江苏地图上，无锡到上海的长度约为，它的实际长度约为 ． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知4是x和8的比例中项，则 ． 9．（25-26九年级上·山东日照·月考）已知，则的值 ． 10．（25-26九年级上·四川成都·期中）若，且，则 ． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点B是的黄金分割点（），若的长度为，那么的长度是 ． 12．（25-26九年级上·广东佛山·月考）佛山电视塔塔尖A到底部B的高度是238米，中间球体点P（点A、P、B在同一直线）恰好是整个塔高的一个黄金分割点，且，则P点到底部B之间的距离是 ．（结果保留根号）； 三、解答题 13．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知，求 （1）的值； （2）若，求、、的值． 14．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长． 15．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知线段，，． （1）求线段a与线段b的比． （2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． （3）是a和c的比例中项吗？为什么？ 16．（24-25八年级下·云南保山·期末）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 2．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知，若，，则（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 3．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 4．（25-26九年级上·浙江温州·月考）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）有三个不同的弹簧放在水平面上，分别被一个大小和方向均相同的力拉长，它们的弹性形变之比是，这三个弹簧的劲度系数分别为（胡克定律公式：，其中是劲度系数，x是弹性形变），则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江·二模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）已知，，则b的值为 ． 8．（25-26七年级上·重庆·开学考试）王明有一个闹钟，但它走时不准，这天下午王明把它对准北京时间，可到晚上时，它才走到，第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为 ． 9．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则的值是 ． 10．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知的面积为4，点D是边上的黄金分割点，那么的面积是 ． 11．（25-26八年级上·山东·课后作业）（1）若，则 ； （2）若线段是线段、的比例中项，且，则 ； （3）若，则 ． 12．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝ ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知：线段a、b、c，且． （1）求的值． （2）如线段a、b、c满足，求的值． 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知三边满足，且． （1）求的值； （2）判断的形状． 15．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知，满足， （1）求的值； （2）若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 16．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点． （1）如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； （2）如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.1 比例线段 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】比例的内项和外项 1 【知识点二】比例的基本性质 1 【知识点三】两条线段之比 2 【知识点四】比例线段 2 【知识点五】比例中项 2 【知识点六】黄金分割 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】比例的内项与外项 2 【★题型2】比例的基本性质 4 【★题型3】两条线段的比 5 【★题型4】比例线段 7 【★题型5】比例中项 8 【★题型6】黄金分割 9 （二）培优篇 11 【★★题型7】利用比例的基本性质求值或求比值 11 【★★题型8】利用比例中项求值或求比值 12 【★★题型9】利用黄金分割求值或求比值 14 三．同步练习​ 17 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 17 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 24 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】比例的内项和外项 如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把a,b, c,d四个实数成比例表示成a:b=c:d，或，其中b，c称为内项，a，d称为外项. 【知识点二】比例的基本性质 比例基本性质： 【知识点三】两条线段之比 两条线段的长度的比叫做这两条线段的比 【知识点四】比例线段 一般地，四条线段a，b，c，d如果a与b的比等于c与d比，即：，那么这四条线段a,b,c,d做成比例线段，简称比例线段. 【知识点五】比例中项 一般地，如果三个数a，b，c，满足比例式（或a:b=b:c）那么b叫做a，c的比例中项 即： 【知识点六】黄金分割 一般地，如图所示，如果点P把线段AB分成两条线段AP和 PB，使AP>PB，且，那么称线段AB被点P金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比。 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】比例的内项与外项 【例题1】根据下面的条件列出比例，并解比例： （1）96和x的比等于16和5的比． （2）两个外项是24和18，两个内项是x和36 【答案】（1），；（2）， 【分析】先根据题意列出对应的比例，然后解比例即可． 解：（1）解：由题意得，可列比例：，    ； （2）解：由题意得，可列比例：，    ． 【点拨】本题主要考查了解比例，正确理解题意列出比例是解题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）把比例的外项8加上16，外项5和内项20不变，要使比例仍然成立，内项2应该（    ） A．加上6 B．乘3 C．加上16 D．乘2 【答案】B 【分析】本题考查了比例的基本性质，先求出变化后的比例中的数字，然后根据比例的性质求解即可． 解：， 所以内项2应该乘3． 故选：B． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是，另一个外项是 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例式的性质，比例式的内项之积等于外项之积，正确理解比例式的性质是解题的关键． 根据比例式内项之积等于外项之积及有理数除法运算法则解答． 解：∵两个内项互为倒数， ∴两内项之积等于1， ∵比例内项之积等于外项之积，一个外项为， ∴另一个外项是． 故答案为：． 【小结归纳】解决此类题的关键依据是比例的基本性质：在比例a：b=c：d或（）中,两个外项的积等于两个内项的积,即。 【★题型2】比例的基本性质 【例题2】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）根据下列条件，求的值. （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题的关键是熟练掌握内项之积等于外项之积． （1）交叉相乘将比例式化为乘积式，即可求解； （2）交叉相乘将比例式化为乘积式，即可求解． 解：（1）解： （2）解： 【变式1】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知（，），则 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质. 根据已知比例式，利用比例的基本性质求解. 解：由 ，根据比例的基本性质，得 ， 因为，两边同除以 ，得， 即， 两边同除以，得。 故答案为：. 【变式2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）若，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．利用内项之积等于外项之积进行判断． 解：， ，， 故A，B，D错误，C正确； 故选：C． 【小结归纳】解决比例基本性质相关题型的核心是“外项积等于内项积”这一性质，对于基础比例式求解未知数，直接交叉相乘转化为整式方程后解方程即可。 【★题型3】两条线段的比 【例题3】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）若线段，，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的比的意义：在同一单位下，两条线段长度的比，叫做这两条线段的比．注意线段的比是一个没有单位的正数．先统一单位，再根据线段的比的意义求解即可． 解：， ∴， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的线段的比，解题的关键是计算时注意单位需统一． 求出线段的长，代入进行计算即可． 解：∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，解题关键是掌握比例线段并能运用求解． 先求出变化后的线段的比例与原线段的比进行比较，再作判断即可． 解：∵在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍， ， ∴的值不变， 故选：A． 【小结归纳】解决两条线段的比的相关题型，核心是牢记线段的比是同一单位下两条线段长度的比值，且为无单位的正数，解题时先统一不同线段的长度单位，再计算比值；对于线段长度同时扩大或缩小相同倍数的情况，比值不会发生改变，因为倍数会在计算过程中被约去。 【★题型4】比例线段 【例题4】（25-26九年级上·陕西安康·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序依次为6，4，m，2，若这四条线段是成比例线段，则m的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的定义列出比例式是解题的关键． 根据题意得到，计算即可得到答案． 解：根据题意得， ， ， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）下面四组线段中不能成比例线段的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选B 【变式2】（25-26九年级上·山西晋中·期中）是成比例线段，其中，则线段的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查线段成比例的问题，解方程等知识点，根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 解：∵线段、、、成比例线段， ， ， ， 解得． 故答案为：6． 【小结归纳】 解决比例线段依据是成比例线段的定义和比例的基本性质，对于已知线段顺序求未知线段的题目，按给定顺序列出比例式，转化为方程求解即可；判断四条线段是否成比例时，先将线段按长度排序，再验证最长线段与最短线段的积是否等于中间两条线段的积；对于未给出顺序的成比例线段求值题，直接利用外项积等于内项积列方程计算，解题时需注意线段单位统一，且结果需为正数。 【★题型5】比例中项 【例题5】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据成比例线段，满足内项之积等于外项之积，得到，代入已知数值计算即可求解，掌握比例线段的定义是解题的关键． 解：∵是成比例线段， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）已知线段，则线段和的比例中项为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了比例中项，线段的比例中项满足其平方等于两线段长度的乘积，根据比例中项的定义，列出式子即可得出中项，注意线段不能为负． 解：设线段的比例中项为，那么 ， 解得或（舍去） 故答案为：4． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，线段是线段和的比例中项，则，代入数值计算即可． 解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∴（线段长度取正值）． 故答案为：4． 【小结归纳】 解决成比例线段求值及比例中项相关题型是紧扣成比例线段的性质和比例中项的定义，若线段b是线段a、c的比例中项，则满足；对于已知四条线段成比例求未知线段的题目，直接根据成比例线段的等量关系列出方程，代入数值求解即可；对于求比例中项的题目，先根据定义列出平方等式，再计算求值，同时注意线段长度为正数，需舍去负根。 【★题型6】黄金分割 【例题6】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段a，b，满足． （1）求的值； （2）当线段x是a，b的比例中项且时，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了比例线段， 对于（1），由，再代入计算即可； 对于（2），先求出b，再根据比例中项求出答案． 解：（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵线段x是a，b的比例中项， ∴， ∴（舍负）． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在泰州市举行的大阅读活动中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为，则它的宽为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割、二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据黄金比的定义，通过比例关系计算即可． 解：由宽与长之比为黄金比，得： 宽 = 长 ． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·上海普陀·期中）线段上的一点P将分割成两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点P为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割点，读懂材料中黄金分割点的概念及公式是解决此题的关键． 设，根据点P是线段的黄金分割点得出，解方程即可求解． 解：设，则， ∵点P是线段的黄金分割点， ∴，即， 化简，得， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 【小结归纳】 解决比例线段综合计算及黄金分割相关题型，核心是结合比例的基本性质、比例中项定义和黄金分割的概念来解题，对比例中项时则利用列方程求解，注意线段长度取正值；对于黄金分割相关题目，需牢记黄金比，若点P是线段AB的黄金分割点且AP>BP，则满足，据此设未知数并建立方程，求解后舍去负根即可得到线段长度。 （二）培优篇 【★★题型7】利用比例的基本性质求值或求比值 【例题7】（25-26九年级上·山西临汾·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，分式的化简，掌握相关知识是解决问题的关键．由比例式设参数 ，用 表示 、、，代入所求分式化简即可． 解：设 ，则 ，，， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·安徽·期中）已知线段a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，求a，b，c的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式的求值： （1）设，易得，结合题意进行求解即可； （2）结合，利用设参数法进行求解即可． 解：（1）解：设， ∴， ∴； （2）设， ∴， ∴，解得； ∴． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·月考）若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查的是一次函数图象经过的象限，比例的性质，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． ①当时，由等比性质求出；②当时，，此时，再分别判断一次函数经过的象限即可求解． 解：①当时， ， 由等比性质可得， 此时函数经过第一、二、三象限； ②当时，，此时， 此时函数经过第二、三、四象限， 综上可得，函数的图象必经过第二、三象限； 故选：B． 【★★题型8】利用比例中项求值或求比值 【例题8】（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，关于x的一次函数，其中常数k满足，常数m满足且m是1和9的比例中项，则该一次函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象和系数的关系，根据常数m满足且m是1和9的比例中项，可以求得m的值，再根据，即可求得k的值，从而可以写出该一次函数的解析式． 解：∵常数m是1和9的比例中项， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴当时，， 当时，，则， ∴该一次函数的解析式为或， 故答案为：或． 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知线段，，满足，且． （1）求，，的值； （2）若线段是线段，的比例中项，求． 【答案】（1），，；（2）． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出、、可以使计算更加简便． 设，可得：，，，根据可得关于的方程，解方程求出的值，再根据的值求出、、的值． 因为线段是线段，的比例中项，可得：，两边直接开平方求出的值，因为表示线段的长度，所以要把负值舍去． 解：（1）解：设， 则，，， ， ， 整理得：， 解得：， ，，； （2）解：线段是线段，的比例中项， ， 两边同时开平方，可得：， 是线段的长度， 舍去负值， ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知点在线段上，且．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，解一元二次方程，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 设，则，根据，则，化简整理得，再解这个一元二次方程即可求解． 解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【★★题型9】利用黄金分割求值或求比值 【例题9】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）点P为线段的黄金分割点，且，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是，近似值为． 根据黄金分割的定义，点P为线段的黄金分割点且时，较长部分与较短部分的比值等于整体与较长部分的比值，即．据此分析各选项． 解：∵点P为的黄金分割点，且， ∴由黄金分割定义，有． 选项A：，符合黄金分割比例，正确； 选项B：，符合黄金分割比例，正确； 选项C：，与定义不符，错误； 选项D：，符合黄金分割比例，正确； 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接．然后将纸片展开． （1）求的长； （2）求证：四边形是黄金矩形． 【答案】（1）2；（2）见分析 【分析】（1）根据题意，，结合，解答即可； （2）根据定义证明即可． 本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 解：（1）解：∵黄金矩形纸片，， ∴， ∴， 解得． （2）证明：根据折叠的性质，得四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 【变式2】（25-26九年级上·四川达州·期中）五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，将一条线段分割成长短两条线段，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，则称这种分割叫黄金分割，这一比值等于，由此可解． 解：点D是线段的黄金分割点， ， 整理得， 解得（负值舍去）， ， ， 故答案为：． 三．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； C、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据可得，然后代入式子计算即可． 解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了成比例线段，理解成比例线段的定义和性质是解题关键．根据题意可得，然后代入数值并求解，即可获得答案． 解：根据题意，线段，，，是成比例线段，且，，， 则有，即， 解得． 故选：C． 4．（25-26九年级上·全国·期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“黄金格”是当代书法大师启功先生独创的习字格，深受众多书法爱好者的喜爱．如图，正方形是黄金习字格的边框，正方形每条边上的格点（端点除外）都是这条线段的黄金分割点，若，则长为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，可求得． 解：由题意知，，， ∴， 解得，． 故选：C． 6．（2025·河北石家庄·三模）北宋的《燕几图》是七巧板的前身．一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形．如图给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是．设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为a，b，c．嘉嘉经过研究，得出结论：①；②．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】A 【分析】本题考查了用代数式表示几何图形的长度、比例性质，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．设桌面的宽为x尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，即可得出正确的结论． 解：设桌面的宽为x，则，即． 由题意，，得．又， 则． 故选：A． 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在比例尺为的江苏地图上，无锡到上海的长度约为，它的实际长度约为 ． 【答案】135 【分析】本题考查了比例线段的应用，根据比例尺的定义，地图上的长度与实际长度成比例，通过比例关系计算出实际长度（单位：厘米），再转换为公里． 解：比例尺为，表示地图上1厘米代表实际距离1500000厘米． 设实际长度为x厘米， 则， 解得：厘米， 由于 厘米， 因此实际长度， 故答案为：135． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知4是x和8的比例中项，则 ． 【答案】2 【分析】根据比例中项的定义，列出方程求解． 本题考查了比例中项，熟练掌握定义是解题的关键． 解：由题意，4是x和8的比例中项， 则， 即， 解得， 故答案为：2． 9．（25-26九年级上·山东日照·月考）已知，则的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握其性质的计算是关键，通过设比例常数为 ，表示出 的值，然后代入所求表达式进行计算． 解：设 ，则 ，，（）， 代入 得： 分子：， 分母：， 所以 ； 故答案为． 10．（25-26九年级上·四川成都·期中）若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，，，根据已知等式建立关于k的方程，解方程求出k的值，再计算的值即可． 解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点B是的黄金分割点（），若的长度为，那么的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，然后代数求解即可． 解：∵点B是的黄金分割点（），的长度为， ∴，即 ∴． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·广东佛山·月考）佛山电视塔塔尖A到底部B的高度是238米，中间球体点P（点A、P、B在同一直线）恰好是整个塔高的一个黄金分割点，且，则P点到底部B之间的距离是 ．（结果保留根号）； 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，解答本题的关键是掌握黄金比是．根据黄金分割为和题意，可以求得底部到球体之间的距离． 解：由题意可得， 则底部到球体之间的距离米， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知，求 （1）的值； （2）若，求、、的值． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）可代入进行求解k的值，然后问题可求解． 解：（1）解：由可设， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 14．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，点在边上，连接，已知，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段的应用，解题的关键是根据已知比例关系建立方程求解． 先根据线段的和差关系表示出，再结合已知的比例关系建立方程． 解：由图可知，， ，，， ， 解得， 经检验，是原方程的根，即． 15．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知线段，，． （1）求线段a与线段b的比． （2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． （3）是a和c的比例中项吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）是的，理由见分析 【分析】本题主要考查了成比例线段，熟知比例线段的定义是解题的关键． （1）根据所给长度进行计算即可； （2）根据成比例线段的定义进行计算即可； （3）根据比例中项的定义进行判断即可． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴线段a与线段b的比为． （2）解：∵线段a、b、c、d成比例， ∴， ∴， ∴，即线段d的长为24． （3）解：是的，理由如下： ∵， ∴， ∴b是a和c的比例中项． 16．（24-25八年级下·云南保山·期末）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【答案】A 【分析】本题考查了比例，熟练掌握比例尺的定义“比例尺是图上距离与实际距离之比”是解题关键．比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可得． 解：设塔的实际的高度是厘米， 由题意得：， 解得， 因为厘米米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A． 2．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知，若，，则（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，由题意得即可求解． 解：∵， ∴，，， ∴， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 3．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 【答案】C 解：此题考查了成比例线段，解分式方程，解一元二次方程，设长为，则，根据四条线段、、、成比例，列出比例方程，转化为一元二次方程求解． 【分析】设长为， ∵，， ∴， ∵四条线段、、、是成比例线段， ∴，即 解得或3， ∴的长为2或． 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江温州·月考）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金分割比，掌握黄金分割的定义是关键． 由黄金分割的定义可得，，代入值计算即可． 解：∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2024·湖南娄底·模拟预测）有三个不同的弹簧放在水平面上，分别被一个大小和方向均相同的力拉长，它们的弹性形变之比是，这三个弹簧的劲度系数分别为（胡克定律公式：，其中是劲度系数，x是弹性形变），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比的应用，由胡克定律公式得到即可求解，解题的关键是由题意得到． 解：由题意得：， ∴ 故选：． 6．（2024·浙江·二模）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金比，矩形与折叠，勾股定理． 连接，根据黄金矩形的定义设，，则，证明得到，从而，设，则 ，在中，根据构造方程，求解得到，从而． 解：连接， ∵矩形是黄金矩形，，， ∴设，， ∵矩形是黄金矩形，， ∴， ∴， ∵四边形是四边形翻折得到， ∴，， ， ∴， ∵在矩形中，， 又 ∴， ∴， ∴， 设，则 ， ∵在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴． 故选：D 二、填空题 7．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）已知，，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，设比例参数k，将a、b、c用k表示是解题关键． 由比例关系设参数k表示a、b、c，代入已知等式求解k，再求b． 解：设 ，则，，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·重庆·开学考试）王明有一个闹钟，但它走时不准，这天下午王明把它对准北京时间，可到晚上时，它才走到，第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的应用，根据实际时长和闹钟计的时长成比例列方程即可求解． 解：设第二天早上王明看闹钟上学时间距离前一天下午有小时， 实际时间从6∶00到9∶00为3小时，闹钟显示从6∶00到8∶45为小时．从下午到第二天早上，闹钟时间过了， 依题意得：，解得：， 小时=小时分， 从下午开始，过小时分后是第二天， 第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为． 故答案为． 9．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与比例线段的计算，解题的关键是通过勾股定理求出线段长度，再推导比例关系． 设，利用垂直关系得，由勾股定理求；结合求出，进而得，最后计算． 解：，， ． 由勾股定理得： ； ， ； ； ； 故答案为∶ 10．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知的面积为4，点D是边上的黄金分割点，那么的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是 根据黄金分割的定义作答即可． 解：∵的面积为4，点D是边上的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·山东·课后作业）（1）若，则 ； （2）若线段是线段、的比例中项，且，则 ； （3）若，则 ． 【答案】 6 【分析】此题主要考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． （1）根据比的基本性质，把比的前、后项都乘一个适当的数，把两个比中的化成相同的数，即可写出、、这三个数的连比； （2）根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负； （3）利用等比性质求解即可． 解：（1）∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）根据比例中项的概念，结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积， 所以，即， 解得（线段是正数，负值舍去）， 故答案为：6； （3）∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝ ． 【答案】/ 【分析】顶角是的等腰三角形，则两底角为，这样的三角形称为黄金三角形，又、都是黄金三角形，可证BC=BD=AD，DE=DC，利用DE=DC=AC-AD=AB-BC求解． 解：根据题意可知，BC=AB， ∵顶角是的等腰三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠C=， 又∵也是黄金三角形， ∴∠CBD=，BC=BD， ∴∠ABD=∠ABC-∠CBD==∠A， ∴BD=AD，同理可证DE=DC， ∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-AB=． 故答案为：． 【点拨】黄金三角形是较特殊的三角形，几个黄金三角形叠合在一起，可构造出若干个等腰三角形，利用等腰三角形的边相等进行代换． 三、解答题 13．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知：线段a、b、c，且． （1）求的值． （2）如线段a、b、c满足，求的值． 【答案】（1）；（2）9 【分析】此题主要考查了成比例线段，熟练掌握比例的基本性质，合比性质，是解题关键． （1）根据合比性质即可得出的值； （2）首先设，则，利用求出k的值，即可得出答案． 解：（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知三边满足，且． （1）求的值； （2）判断的形状． 【答案】（1）；（2）直角三角形． 【分析】（）设，，，可得，即得，进而得到，，再由，可得，据此即可求解； （）利用勾股定理逆定理即可判断求解； 本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键． 解：（1）解：设，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形． 15．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知，满足， （1）求的值； （2）若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）设 ，则，，然后代入即可求解； （）由（）得，，则，所以，，，又线段是线段，的比例中项，所以， 然后求出的值即可． 解：（1）解：设，则，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵， ∴， ∴，，， ∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∴（负值已舍去）． 16．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点． （1）如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； （2）如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）代入数据，再解一元二次方程即可； （2）以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点 解：（1）解：设，，则． ∵， ∴， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解。 ∵线段的长度不能为负数， ∴， ∴， ∴黄金比为． （2）如图，点P即为的黄金分割点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $