专题 3.8 弧长及扇形面积（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

本初中数学讲义聚焦弧长及扇形面积核心知识点，系统梳理弧长公式、扇形面积公式（两种形式），前承圆的圆心角与半径等基本性质，后接与圆的性质、几何图形综合应用的学习支架，通过知识梳理与分层题型构建完整认知体系。 资料以★基础、★★综合、★★★压轴题分层设计题型，结合中考真题与期中模拟题，培养学生抽象能力与推理意识，如圆的性质与弧长公式综合题提升逻辑思维。同步练习分基础巩固与能力提升，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，发展应用意识。

专题 3.8 弧长及扇形面积 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】弧长公式 1 【知识点二】扇形面积公式（1） 1 【知识点三】扇形面积公式（2） 1 二.题型分类精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】利用弧长公式求值 2 【★题型2】利用扇形面积公式求值 3 （二）培优篇 5 【★★题型3】圆的性质与弧长公式综合 5 【★★题型4】圆的性质与扇形面积公式综合 9 【★★★题型5】弧长和扇形面积公式综合压轴题 14 二．同步练习​ 20 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 20 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 32 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】弧长公式 在半径为的圆中，弧长与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 【知识点二】扇形面积公式（1） 在半径为的圆中，扇形面积与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 【知识点三】扇形面积公式（2） 在半径为的圆中，扇形面积与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 二.题型分类精析 （一）基础篇 【★题型1】利用弧长公式求值 【例题1】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知一个扇形的圆心角为，半径是6，则这个扇形的弧长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，扇形的弧长公式为，其中为圆心角度数，为半径．直接利用弧长公式计算即可． 解：已知 ，， 代入公式得： 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）已知的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了弧长公式． 根据弧长公式 代入已知数值求解． 解：由题意，圆心角 ，弧长 ，代入弧长公式： ， ，， 解得：． 故答案为：6． 【变式2】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键． 连接、，根据弧长公式求出的度数，根据圆周角定理解答即可． 解：连接、， 设的度数为， 则， 解得，， ， 故选：C． 【★题型2】利用扇形面积公式求值 【例题2】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积公式的应用，能够正确运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键． 根据扇形的面积公式弧长×半径进行列式代入数值，进行计算，即可作答． 解：由题意知，半径，弧长， ∴弧长×半径， 故选：A． 【变式1】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键．根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可求解． 解：∵，，为的直径． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 【变式2】（23-24七年级上·广东广州·开学考试）如图，扇形的圆心角是90度，半径是是弧的中点．两个阴影部分的面积差是 ．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查不规则面积求法，涉及扇形面积公式、圆面积公式等知识，数形结合，准确表示不规则图形面积是解决问题的关键． 如图所示，，，从而得到两个阴影部分的面积差是，再由代值求解即可得到答案． 解：如图所示： ，， ，， ， 故答案为：． （二）培优篇 【★★题型3】圆的性质与弧长公式综合 【例题3】（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． （1）如图1，连接，求的度数； （2）如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 解：（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，求弧长；连接，，，，根据圆的性质求得半径，进而根据等边三角形的性质得出，再根据弧长公式，即可求解． 解：连接，，，， 四边形是正方形， ，， 是的直径，， 点，，三点共线， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 的长度为， 故选：C 【变式2】（2025·四川广元·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，2为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，求弧长，熟知相关知识是解题的关键． （1）由作图方法可得，再利用可证明，据此可证明结论； （2）根据（1）所求可得，再根据弧长公式求解即可． 解：（1）证明：由作图方法可得， 又∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴的长． 【★★题型4】圆的性质与扇形面积公式综合 【例题4】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将沿着翻折，与直径交于点C，的中点为D．若已知，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的性质、弧长公式以及动点问题，作点关于的对称点，以为边向下作正方形，连接，先证明，可得当点在点时，点在点处，当点在点时，点在点处，当点从点运动到点时，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，再根据弧长公式计算路径长． 解：如图，作点关于的对称点，以为边向下作正方形，连接， ∵是的直径， ∴， 由对称性可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当点在点时，点在点处，当点在点时，点在点处， 当点从点运动到点时，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的， 已知，则半圆的半径， 点运动路径是以为圆心，为半径的， 所以点的运动路径长为． 故答案为：． 【变式1】（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． （1）求证： （2）若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见分析；（2）①2；② 【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案； 对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案； 对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案． 解：（1）如图所示． 连接， 在中，， 在中，， ∴； （2）①，∵， ∴． 连接，过点作，交于点D， ∴，， ∴． 在中，， 即， ∴， 所以的半径是2； ②∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点三点共线． 在中，， 在中，． 在中，上标点，． 在中， ． 【点拨】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键． 【变式2】（2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； （2）连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答． 解：（1）证明：连接，    和底边相切于点， ， ，， ， ，， 和都是等边三角形， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：连接交于点，    四边形是菱形， ，，， 在中，， ， ， 图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积 ， 图中阴影部分的面积为． 【点拨】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【★★★题型5】弧长和扇形面积公式综合压轴题 【例题4】（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当四边形为菱形时，求的长； （3）当时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可； （2）首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交于点G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）分两种情况，根据弧长公式求解即可． 解：（1）∵正方形的边长为5． ∴ ∵当时 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴； （2）∵四边形为菱形 ∴ ∵扇形所在圆的圆心在对角线上， ∴ ∴是等边三角形 如图所示，连接交于点G ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； （3）如图所示，当是劣弧时， ∵，半径 ∴； 如图所示，当是优弧时， ∵，半径 ∴ ∴． 综上所述，的长为或． 【点拨】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1】（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的证明及性质，勾股定理，不规则图形的面积的计算，掌握不规则图形的面积的计算是正确解答的前提． （1）由三角形中位线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质可得，进而求出答案； （2）过D作，根据圆周角和等腰三角形三线合一的性质，得出为等边三角形，再用扇形的面积减去的面积即可． 解：（1）证明：如图，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 又∵扇形的面积， ∴阴影部分面积． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知是的直径，点，在上，且，过圆心作，垂足为． （1）求的长． （2）若的延长线交于点，求弦，和所围成的图形（阴影部分）的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由垂径定理得点E是的中点、进而由三角形中位线定理得，再由含30度角直角三角形的性质得，即可求得的长； （2）连接，易得是等边三角形，则可得，从而阴影部分的面积等于扇形的面积，利用扇形面积公式即可求解． 解：（1）解：∵， ∴点E是的中点， ∵O是的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【点拨】本题考查垂径定理、直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理、含30度角直角三角形的性质，扇形的面积等知识，熟练并灵活运用这些知识是关键． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 解：设此弧所在圆的半径为，依题意， ． 解得． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式的应用，根据弧长公式 ，代入半径 和弧长 求解圆心角 解：设圆心角度数为 根据 ， 可得：， 整理可得：， 化简得：， 两边乘以 可得：， ， 扇形的圆心角度数为 ． 故选：B． 3．（23-24九年级下·广东·月考）已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C．20 D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积计算公式是解决本题的关键． 根据扇形面积计算公式“”可直接列出方程求出弧长． 解：由题意可得， 解得， 故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可． 解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为． 故选：C 5．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 6．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点A顺时针旋转，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．先根据旋转的性质得，，再利用面积的和差得到，即有，然后根据扇形的面积公式计算即可． 解：∵半圆AB绕点A顺时针旋转，点B旋转到C的位置， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 二、填空题 7．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）以圆为弧的扇形所对的圆心角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了角的度量，关键是掌握扇形圆心角度数的求法； 同圆或等圆中，弧长之比即为圆心角度数之比． 解：设圆心角度数为， ∵，， ∴， ∴， 即：， 故答案为：． 8．（2025九年级上·广东广州·专题练习）已知扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；已知扇形的圆心角为，半径为1，直接代入弧长公式计算即可． 解：由题意得：该扇形的弧长为， 故答案为． 9．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）一个扇形的弧长是，圆心角是，则这个扇形的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的弧长公式求出半径，再利用扇形面积公式求解． 解：设扇形的半径为，由弧长公式，代入，，得：，解得 ． ∴扇形面积； 故答案为： 10．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解． 解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键． 11．（2025·广东韶关·一模）如图，在扇形中，，的平分线交弧于点C，过点C作于点D，于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】本题主要考查求其他不规则图形的面积，角平分线的性质，扇形面积；根据题意得到，，求出，证出四边形是正方形，得到，，再结合扇形面积公式求出结果即可． 解：连接，如图： ∵的平分线交弧于点C，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·浙江温州·期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 解： ， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是等腰三角形，，作一圆过点A和点B，交于D点，交于E点，且． （1）求证：是该圆的直径； （2）若E是的中点，，求的长度． 【答案】（1）证明过程见分析；（2） 【分析】本题主要考查“圆周角定理及其推论”“圆内接四边形性质定理”“等腰三角形的性质”，通过等腰三角形的性质进行等角转换，并根据相等角利用圆周角定理及其推论得到圆中弦和弧的关系是解题关键． （1）根据圆内接四边形性质定理得到，再利用等量代换和等腰三角形的性质推出，进而推出点D是中点，通过等腰三角形三线合一得到，即可证明是直径． （2）（1）中可以得到，再利用是中点，可以推出，故是等边三角形，，通过弧长的计算公式，即可求出的长度． 解：（1）如图，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∴，即． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是的直径． （2）如图，连接，． 由（1），得， 又是中点， ∴． 由（1），得是的直径， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． 14．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，是的直径，，，的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，弓形的面积等，掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角为90度可得，再根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （2）由勾股定理计算出，由圆周角定理得出，阴影部分的面积． 解：（1）解：是的直径， ， 平分， ， 和都是所对的圆周角， ； （2）解：，，， ， ， 如图，连接， 由（1）知， ， ， ， 阴影部分的面积． 15．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的外接圆，半径为，连接，，， （1）过点作，交于点，若，求的长； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用垂径定理得出，再结合勾股定理求出，进而得到． （2）先根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后用扇形面积公式得到阴影部分面积． 解：（1）解：，， ， 在中，，， ∴， ； （2）解：， ， ∴． 【点拨】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握这些定理和公式是解题的关键． 16．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，点A在上且平分弧于点D，分别交于F，G． （1）求证：； （2）若，求阴影部分面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理，等角对等边， （1）根据是的直径，，，推出，即可推得． （2）根据，求出，再根据，求出，即可求出阴影部分面积． 解：（1）证明：∵A是弧的中点， ∴在中有． ∵是的直径， ∴． ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，过E点作于H， ∵， ∴， ∴ ∴是等边三角形. 又∵A是弧的中点， ∴， ∴. 在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分面积． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（2025·安徽淮南·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查含有角的直角三角形的性质、弧长计算．明确圆心角和半径是解题的关键．由含有角的三角形可先求出半径，再由弧长公式得出劣弧的长． 解：含有角的三角尺的顶点B为圆心， ，， ，， 长为半径画，交边于点D， ， ， ， 劣弧的长为：． 故答案为：B． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【点拨】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角定理、勾股定理．作出辅助线并找到点的运动轨迹是解答的关键． 连接，，根据圆心角定理可得，根据勾股定理可得，根据，可知点在以为直径的半圆上运动，根据圆的周长公式计算即可． 解：如图，连接，， 点是上半圆的中点， ， ， ， ， 在中， ， ， 点在以为直径的半圆上运动， ． 故选B． 4．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 解：如图所示，连接，   ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ， ， ， ． 故选：C． 【点拨】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 5．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解． 解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 6．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，分别以B、C为圆心，长为半径画弧，交于点P，交于点M，交于点N，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求阴影部分的面积，涉及扇形面积公式，直角三角形锐角互余的性质，勾股定理等知识点．利用直角三角形的面积减去两个扇形的面积进行求解即可． 解：∵， ∴，， ∵以为圆心，长为半径画弧， ∴扇形和扇形的半径相同，均为， ∴两个扇形的面积之和为， ∴阴影部分的面积为：； 故选：A． 二、填空题 7．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的性质以及弧长公式是解题的关键． 如图：连接，根据圆的内接四边形的性质可求得，再根据圆周角定理可得的的度数，再运用弧长的公式求解即可． 解：如图：连接， ，四边形内接于， ∴ ， 的半径为2， 弧的长为． 故答案为：． 8．（2025·浙江杭州·模拟预测）在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义． 根据弧长的计算公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数． 解：根据弧长的公式， 得到： ， 解得， ∴圆周角为， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式等知识点． 弦垂直平分半径OC得到，结合得到为等边三角形，再利用扇形面积公式即可得到答案． 解：弦垂直平分半径， ， ， 为等边三角形， ， ∵，， ， 扇形的面积， 故答案为：． 10．（2025·江苏连云港·一模）如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的公式，熟练掌握弧长公式：是解题的关键，利用弧长公式求解即可． 解：设圆弧所在圆的半径为，由弧长公式得： ， 解得：， 故答案为：． 11．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据是的直径，得，因为得，，运用圆周角定理得，，则，，即可算出阴影部分的面积． 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ， 则. 故答案为：． 12．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在扇形中， ，以为直径在扇形内部作半圆，圆心为点，为弧的中点，连接C交半圆于点，若，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，勾股定理，连接，由，为弧的中点，得，由是直径，则有，所以，由勾股定理得，然后通过即可求解，掌握扇形面积的计算方法以及圆周角定理是解题的关键． 解：连接，如图， ∵，为弧的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． （1） （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查作图－复杂作图、圆心角、弧、弦的关系、三角形的外接圆与外心等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）如图，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可； （2）如图：连接，设交于点D可得，垂直平分，则，可知为等边三角形，则，再利用弧长公式计算即可． 解：（1）解：如图，圆O即为所求． （2）解：如图：连接，设交于点D， ， ，， 垂直平分， ， 为等边三角形， ， 的长度为 14．（24-25九年级上·河南信阳·月考）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． （1）求扇形的圆心角度数； （2）依据相关数据，求花窗的面积． 【答案】（1）扇形圆心角的度数为；（2）花窗的面积为 【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键． （1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可； （2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可． 解：（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点， ∴， 设的度数为， ∵的长度为． ∴，解得， ∴扇形圆心角的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∴花窗的面积为． 15．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以为直径的与交于点． （1）尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示） 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）作的垂直平分线交于一点，即为点E，再过点A作一个等于的角，然后连接并延长，交于点M，即可作答． （2）先由垂径定理得，根据圆周角定理得出，再结合勾股定理得出，算出，然后根据代入数值计算，即可作答． 解：（1）解：依题意，作图如图所示． ； （2）解：由（1），得， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴． ∴， ∴． 如图，连接，过点O作于点H． 则， ∴， ， ∴， ， ， 则． 【点拨】本题考查了作一个已知角以及圆周角定理，垂径定理，扇形面积，勾股定理，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； （1）求弧的长； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查扇形的面积、等腰三角形的性质、弧长的计算，掌握扇形的面积和弧长的计算公式及等腰三角形的性质、平行线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，利用等腰三角形的性质和平行线的判定与性质求出，再由弧长公式计算弧的长； （2）利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积的面积”计算即可． 解：（1）解： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长， 弧的长是． （2）解： ， 阴影部分的面积是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.8 弧长及扇形面积 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】弧长公式 1 【知识点二】扇形面积公式（1） 1 【知识点三】扇形面积公式（2） 2 二.题型分类精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】利用弧长公式求值 2 【★题型2】利用扇形面积公式求值 2 （二）培优篇 3 【★★题型3】圆的性质与弧长公式综合 3 【★★题型4】圆的性质与扇形面积公式综合 4 【★★★题型5】弧长和扇形面积公式综合压轴题 5 二．同步练习​ 6 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 6 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 9 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】弧长公式 在半径为的圆中，弧长与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 【知识点二】扇形面积公式（1） 在半径为的圆中，扇形面积与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 【知识点三】扇形面积公式（2） 在半径为的圆中，扇形面积与所对的圆心角度数之间有如下的关系： 二.题型分类精析 （一）基础篇 【★题型1】利用弧长公式求值 【例题1】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知一个扇形的圆心角为，半径是6，则这个扇形的弧长是 ． 【变式1】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）已知的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为 ． 【变式2】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【★题型2】利用扇形面积公式求值 【例题2】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式2】（23-24七年级上·广东广州·开学考试）如图，扇形的圆心角是90度，半径是是弧的中点．两个阴影部分的面积差是 ．（取3.14） （二）培优篇 【★★题型3】圆的性质与弧长公式综合 【例题3】（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． （1）如图1，连接，求的度数； （2）如图2，若点为的中点，且，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川广元·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，2为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【★★题型4】圆的性质与扇形面积公式综合 【例题4】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将沿着翻折，与直径交于点C，的中点为D．若已知，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动路径长为 ． 【变式1】（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． （1）求证： （2）若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【变式2】（2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【★★★题型5】弧长和扇形面积公式综合压轴题 【例题5】（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当四边形为菱形时，求的长； （3）当时，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知是的直径，点，在上，且，过圆心作，垂足为． （1）求的长． （2）若的延长线交于点，求弦，和所围成的图形（阴影部分）的面积． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·广东·月考）已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C．20 D． 4．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点A顺时针旋转，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）以圆为弧的扇形所对的圆心角是 度． 8．（2025九年级上·广东广州·专题练习）已知扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形的弧长为 ． 9．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）一个扇形的弧长是，圆心角是，则这个扇形的面积是 ．（结果保留） 10．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 ． 11．（2025·广东韶关·一模）如图，在扇形中，，的平分线交弧于点C，过点C作于点D，于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 12．（25-26九年级上·浙江温州·期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是等腰三角形，，作一圆过点A和点B，交于D点，交于E点，且． （1）求证：是该圆的直径； （2）若E是的中点，，求的长度． 14．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，是的直径，，，的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求图中阴影部分的面积． 15．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的外接圆，半径为，连接，，， （1）过点作，交于点，若，求的长； （2）若，求阴影部分的面积． 16．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，点A在上且平分弧于点D，分别交于F，G． （1）求证：； （2）若，求阴影部分面积． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（2025·安徽淮南·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，分别以B、C为圆心，长为半径画弧，交于点P，交于点M，交于点N，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留） 8．（2025·浙江杭州·模拟预测）在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为 ． 10．（2025·江苏连云港·一模）如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米． 11．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 12．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在扇形中， ，以为直径在扇形内部作半圆，圆心为点，为弧的中点，连接C交半圆于点，若，则阴影部分的面积是 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． （1） （2）若，，求的长度． 14．（24-25九年级上·河南信阳·月考）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． （1）求扇形的圆心角度数； （2）依据相关数据，求花窗的面积． 15．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以为直径的与交于点． （1）尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示） 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； （1）求弧的长； （2）求阴影部分的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $