专题03二次函数与一元二次方程的关系暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026年浙教版九年级数学上册

专题03二次函数与一元二次方程的关系暑假预习讲义 1.理清数形对应关系 明白当二次函数 y=ax2+bx+c中 y=0时，得到一元二次方程 ax2+bx+c=0；抛物线与 x 轴交点横坐标，就是对应方程的实数根。 2.掌握判别式双向判定 牢记Δ=b2-4ac 的三种情况，能由 Δ判断方程根的个数、抛物线与 x 轴交点个数，也能由交点情况反推Δ符号：Δ>0，两个不等实根，2 个交点； Δ=0，两个相等实根，1 个交点；Δ<0，无实数根，无交点。 3.掌握交点式互化 已知抛物线与 x 轴交点(x1,0)(x2,0)，能写出交点式 y=a(x-x1)(x-x2)，实现一般式与交点式相互转化。 4.会用图像求方程近似根 会画对应二次函数图像，根据图像与 x 轴交点，估算一元二次方程的近似解，能锁定根的取值区间。 5.会借助图像解二次不等式 结合抛物线开口、与 x 轴交点，读出ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 的自变量取值范围。 6.初步结合韦达定理综合计算 预习根与系数关系，会求两交点中点、两交点间线段长度等几何计算。 7.建立数形结合解题思维 将函数图像几何问题转化为方程代数问题，标记不懂的疑点，课堂针对性突破。 预习必备 知识梳理 1.核心对应关系 2.二次函数与一元二次方程 3.求一元二次方程近似解 4.二次函数与不等式的关系 5.含参数题型解题模板 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.求抛物线与x轴的交点坐标 2.求抛物线与y轴的交点坐标 3.由二次函数值求自变量的值 4.抛物线与x轴的交点问题 5.二次函数图象确定方程根的情况 6.求x轴与抛物线的截线长 7.图象法确定方程的近似跟 8.图象法解一元二次不等式. 9.由不等式求自变量或函数值范围 10.由交点确定不等式的解集 强化题型 解答题6题 知识点01：核心对应关系（数形结合基础） 设二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，令函数值 y=0，可得一元二次方程： ax2+bx+c=0 (a≠0) 代数意义：方程 ax2+bx+c=0\的实数根，是使 y=0的自变量 x； 几何意义：方程的实数根 = 抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴交点的横坐标。 知识点 02 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标。 （1）若抛物线 y = ax2 + bx + c(a0) 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1，x2，则x1，x2为一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的两个根。 （2）二次函数图象与 x 轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： a0（示意图） a0（示意图） 一元二次方程根的情况 b² - 4ac0 b² - 4ac=0 b² - 4ac 知识点03:利用二次函数图象求一元二次方程近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1） 画出二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象； （2） 确定二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3） 列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应 y 值正负交替的地方。 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的 y 值正负交替的位置，也就是对 x 取一系列值，看 y 对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时 x 的两个对应值之中必有一个近似根。比如 x 由 x1 取到 x2 时，对应 y 的值出现 y1>0,y2<0 或 y1<0,y2>0，那么 x1,x2 中必有一个是近似根。 比较 |y1| 与 |y2| 的大小：若 |y1|>|y2|，则说明 x2是近似根；反之，则说明 x1 是近似根。 从图象上观察，(x,y) 离 x 轴越近，y 值越接近 0，而 y=0时 x 的值就是方程的确切根。 知识点 04 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点05:含参数综合题型解题模板 题型 1：已知交点个数，求字母参数取值范围 步骤： (1)写出二次函数隐含条件 a≠0； (2)计算判别式Δ； (3)根据交点个数列不等式（Δ>0/Δ=0/Δ<0）； (4)联立a≠0解出参数取值范围。 题型 2：已知交点距离，求参数 步骤： 题型 3：结合不等式，求自变量取值范围 步骤： (1)解方程ax2+bx+c=0得到交点(x1、x2)； (2)判断开口方向a正负； (3)根据不等号方向，结合图像写出x解集。 知识点06:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 概念前提 忽略 a≠0，把一次式当作二次函数讨论交点 二次函数必须满足 a≠0，a=0 是一次函数 先写 a≠0，再算判别式 根与交点 认为 “1 个交点” 对应方程 1 个根 Δ=0 是两个相等实数根，不是 1 个根 表述必须写 “两个相等实数根” 判别式计算 算Δ=b2-4ac 时符号出错 严格代入符号，常数项为负时整体参与运算 先算 b2，再算 4ac，最后相减 不等式解集 不看 a 正负直接套区间 a>0和a<0 解集完全相反 先判断开口方向，再结合图像写范围 近似根估算 区间过大，近似值误差大 逐步缩小区间，y 正负交替处必有根 看(y)更小的一侧（或点 (x,y)离 x 轴更近的一侧），该侧 x 更接近真实根 参数综合题 求出参数后不检验 Δ≥0 参数需同时满足 a≠0 和 Δ取值要求 代回判别式验证，舍去无效解 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 【典例】二次函数的图像与x轴的交点坐标是______． 【答案】和 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，要求二次函数与轴的交点，即要，得到关于的方程来求解． 令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标． 【详解】令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案是：和． 【跟踪专练1】如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确利用抛物线的对称性分析是解题关键．直接利用抛物线的对称性进而得出另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点是：． 故选：D． 【跟踪专练2】根据表格可知关于的一元二次方程：的解是___________． 0 1 2 3 ．．． 6 2 0 0 2 6 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用表中的对应值得到或时，函数值.为6，从而可确定的根． 【详解】解：∵或时，， ∴的根为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式．根据题意可知当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在点A时，点M的横坐标最小，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论． 【详解】解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4， 则此时抛物线的解析式为． 把点N的坐标代入得，解得． 当图象顶点在点A时，点M的横坐标最小， 此时抛物线的解析式为． 令， ∴， 解得：或1， 即点M的横坐标的最小值为． 故选：D． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 【典例】抛物线与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数与y轴的交点坐标，求出时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【跟踪专练1】二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，令，代入解析式，即可求解． 【详解】解：当时， ∴二次函数与轴的交点坐标是． 故选：C． 【跟踪专练2】若二次函数的图像与y轴的交点坐标为，则该函数图像与x轴的交点坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点问题，解题的关键是求出函数解析式． 先根据抛物线与y轴的交点坐标求出，得到函数解析式，再令，求出函数图像与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵二次函数的图像与y轴的交点坐标为， ∴， ∴解析式为， 当时，， 解得或， ∴该函数图像与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．当时，y随x的增大而增大 B．顶点坐标是 C．图象在x轴上截得的线段长度是6 D．图象与y轴交点的坐标是 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质可判断A、B选项，当时，则，解得，则，即可判断C，令，求出值，即可判断D． 【详解】解：A、∵对称轴为直线，， ∴当时，y随x的增大而减小，故不符合题意； B、由可知顶点为，故不符合题意； C、当时，则，解得， ∴，故符合题意； D、当时，，则与y轴交点的坐标是，故不符合题意， 故选：C． 题型3.由二次函数值求自变量的值 【典例】函数，当时，y的值是______． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的函数值，掌握知识点是解题的关键． 将代入函数解析式，计算即可． 【详解】解：当时，． 故答案为:． 【跟踪专练1】在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把x的值代入，计算函数值，比较，等于给定的函数值即可． 【详解】当时， ∴选项A不符合题意； 当时， ∴选项B符合题意； 当时， ∴选项C不符合题意； 当时， ∴选项D不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了图象与点的关系，熟练掌握图像过点，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y＝﹣2x2+mx+m﹣2经过B、C两点，若OA＝2OC，则矩形OABC的周长为 _____． 【答案】4 【分析】先求得点C的坐标，然后由OA＝2OC得到点A的坐标，进而得到点B的坐标，最后将点B的坐标代入函数解析式求得m的值，即可得到矩形的周长． 【详解】解：当x＝0时，y＝m﹣2， ∴点C（0，m﹣2）， ∴OC＝m﹣2， ∴m≠2， ∵OA＝2OC， ∴OA＝2m﹣4， ∴A（2m﹣4，0）， ∴B（2m﹣4，m﹣2）， 将点B的坐标代入函数解析式得，﹣2（2m﹣4）2+m（2m﹣4）+m﹣2＝m﹣2， 解得：m＝2（舍）或m＝， ∴OC＝，OA＝， ∴矩形OABC的周长为2×（+）＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了已知二次函数的函数值求自变量的值，二次函数与坐标轴交点问题，矩形的性质，根据点的坐标求得点的坐标是解题的关键． 【跟踪专练3】对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据“反点”定义，令函数值等于自变量的相反数，建立方程求解即可． 【详解】解：设反点对应的自变量为，则函数值，代入函数解析式得： 整理得： 解得： ∴， ∴反点为． 故答案为：． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 【典例】若抛物线（c是常数）与x轴没有交点，请写出一个符合条件的c的值：_______． 【答案】 1（答案不唯一，只要满足即可） 【分析】抛物线与轴没有交点，说明对应的一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式得到关于的不等式，求解得到的取值范围，在范围内取一个符合条件的值即可． 【详解】解： 抛物线与轴没有交点， 一元二次方程没有实数根，即， 将，，常数项为代入，得 ， 解得， ∴一个符合条件的c的值可以取1．(答案不唯一) 【跟踪专练1】已知抛物线，与x轴的一个交点为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把点代入抛物线的解析式可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解∶抛物线与轴的一个交点为， ∴， ∴， ． 【跟踪专练2】若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 【答案】0或 【分析】本题需分类讨论函数类型，分时函数为一次函数、时函数为二次函数两种情况，分别根据一次函数和二次函数与轴交点的性质求解的值即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，函数解析式为，是一次函数，一次函数的图象与轴有且仅有一个交点，符合题意，因此满足条件． 当时，函数是二次函数，若二次函数的图象与轴有且仅有一个交点，则根的判别式． 对于一元二次方程，其中，，，可得： 令，即， 解得，即或，均满足，符合题意． 综上，的值为或或． 【跟踪专练3】已知二次函数（且为常数），当时的函数值，则当时的函数值与的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】利用二次函数图象的开口方向、与轴两个交点的距离判断的位置，进而判断函数值符号． 【详解】解：已知二次函数，配方可得， ∵二次项系数为， ∴抛物线开口向上， ∵时， ∴抛物线与轴有两个不同交点， ∴判别式，得，结合已知，可得， 解方程， 可得两个根为，， 两根的距离为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，可得，则， 又∵， ∴， ∵抛物线开口向上，当时，函数值大于， ∴． 题型5.二次函数图象确定方程根的情况 【典例】二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 【跟踪专练1】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：∵的图象与只有一个交点，且方程即的根就是抛物线的图象与的交点的横坐标， ∴关于x的方程有两个相等实数根． 故选：B． 【跟踪专练2】如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用数形结合思想，根据交点的坐标意义求解即可； 【详解】解：根据题意，得当时，此时，与抛物线的交点坐标中一个为负，一个为零， 当时，与抛物线的交点坐标中一个为负，一个为正， 故答案为：； 【跟踪专练3】已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】直接利用函数图象求解即可. 【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象的交点的横坐标为：或， ∵， ∴， ∴由图象可得：的解为：或； ∴的解为：或. 题型6.求x轴与抛物线的截线长 【典例】抛物线与轴两交点间的距离为___________． 【答案】3 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为和， 抛物线与轴的两交点间的距离是． 故答案为：3． 【跟踪专练1】二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为，然后解方程得到点P、Q的坐标，从而得到的长． 【详解】解：二次函数的图象向上平移6个单位长度所得抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴点P、Q的坐标为， ∴． 故答案为：1． 【跟踪专练3】已知二次函数，当 时，，则当 时，的取值范围为 （   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意求得二次函数与轴的截线长，进而通过平移知识即可求解． 【详解】解：当 时，，二次项系数为 二次函数与轴有2个交点， 设与轴交于点， 令，则 即二次函数图像在轴上方的部分的“宽度”小于2， 当时，的取值范围为. 故选B 【点睛】本题考查了二次函数与轴的截线长，理解题意是解题的关键． 题型7.图象法确定方程的近似跟 【典例】下表给出了二次函数中的部分对应值，估计方程的一个解的取值范围是____________． … 1 … … 3 … 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【详解】解：方程的解即为函数的零点． 由表格数据可知，当时，；当时，． 由于函数连续，故在与之间必然存在一点使， 因此方程的一个解的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练1】设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【详解】解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：B 【跟踪专练2】已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是___________ 【答案】 【分析】根据时，随的增大而减小，可得答案． 【详解】解：由的增减性，得 时，随的增大而减小． 当时，， 当时，， 的一个近似根， 由于的绝对值比更接近0，所以的一个近似根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 【跟踪专练3】二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，利用函数值的符号变化锁定根的位置是解题关键． 对于开口向上的连续二次函数，当函数值由负变正时，对应区间内必有方程的一个根，据此对选项进行判断． 【详解】解：据表可知，当时，， 当时，， ∵，二次函数图象是连续的抛物线且开口向上， ∴在这个区间内，函数值由负变正，即存在使得， ∴方程的一个根的取值范围为． 故选：． 题型8.图象法解一元二次不等式. 【典例】如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 【答案】或 【分析】本题考查数形结合，利用数形结合的思想，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：关于的不等式的解集为：或； 故答案为：或． 【跟踪专练1】一元二次不等式的解集为R，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用函数角度求解一元二次不等式的解集问题，根据一元二次不等式解集为全体实数的条件，可转化为抛物线开口向下且与x轴无交点． 【详解】解：对于不等式的解集为R，抛物线必须开口向下（即），且与x轴无交点（即判别式）． 此时抛物线始终位于x轴下方，所有实数x均满足不等式． 选项B满足且， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【答案】或 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或， 即不等式的解是或． 【跟踪专练3】已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】解：∵二次函数的部分图象交轴于点， ∴时，的取值范围是， 故选：B． 题型9.由不等式求自变量或函数值范围 【典例】点在二次函数的图象上．若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查解不等式，通过代入二次函数解析式，比较点A和点B的纵坐标大小，消去常数项c，解不等式求解m的取值范围． 【详解】解：由在二次函数图象上， 得． 由，得． 化简得， 解得． 故答案为． 【跟踪专练1】已知二次函数（是自变量），当时，函数值恒大于，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据解析式得出顶点坐标为，对称轴为直线，分和两种情况，得出满足条件，时根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，表示出最大值和最小值，根据函数值恒大于0，得出时，得出关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围，综上，即可得答案． 【详解】∵二次函数（是自变量）， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，最小值， ∵时，恒成立， ∴满足条件， 当时，抛物线开口向下，最大值为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，最小值为， ∵当时，函数值恒大于0， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 故选：D． 【跟踪专练2】已知抛物线（a是常数，且）．当直线与抛物线有两个交点A、B，且时，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先根据函数解析式求出图象的顶点坐标，根据二次函数的性质，得到抛物线与轴的坐标不在的下方，得，即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线，顶点为， 直线与抛物线有两个交点A、B， 抛物线开口向下，故， 对称轴为直线，， 抛物线与轴的交点不在的下方， 令，则， ， 解得， 的取值范围为． 【跟踪专练3】已知实数满足，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用换元法将代数式变形，把转化为关于新元的二次函数，利用平方的非负性得到新元的取值范围，再根据二次函数的性质求最大值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴，代入得：， 整理得， ∵任意实数的平方非负，， 代入得， 化简得， 解得， 将和 代入：， ∵， ∴该二次函数开口向下， ∵该二次函数图象的对称轴为直线， ∴当时，取得最大值， 代入计算得：． 题型10.由交点确定不等式的解集 【典例】如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， ∴不等式的解集是或． 【跟踪专练1】如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 【跟踪专练3】一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 解答题 1．抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和平面直角坐标系中两点间距离的计算，代入已知点求函数系数、利用勾股定理计算线段长度是解题的关键． （1）将已知点其代入抛物线解析式，解方程求出未知系数，即可确定解析式； （2）先通过求出点坐标，再通过解一元二次方程求出点坐标，最后利用勾股定理（是直角三角形）即可计算的长度． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）将代入，得， ∴点， ∴， 令，得，解得，， ∴点， ∴， ∴． 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的纵坐标相等，建立方程解答即可； （2）由（1）知，把二次函数转化为，结合函数的最大值为，确定a值即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：由（1）知， 故二次函数转化为， 则， ∵函数的最大值为， ∴二次函数图象开口向下，即，且， 整理，得， 解得或（舍去）， 故． 故抛物线的解析式为． 3．已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： (1)方程的根是______； (2)当时，x的取值范围是______； (3)若点均在二次函数的图象上，直接写出、的大小关系． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】题目主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据函数图象即可直接得出结果； （2）结合函数图象求解即可； （3）根据题意得出函数的对称轴为，确定距离对称轴越远，函数值越小，即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象得：当时，或， ∴方程的根是， 故答案为：； （2）由图象得：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （3）∵方程的两个根为， ∴函数的对称轴为， ∵开口向下， ∴距离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 4．利用函数的图象求下列方程组的解： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）画出直线和抛物线，确定直线和抛物线的交点坐标，即可得出结果； （2）画出直线和抛物线，确定直线和抛物线的交点坐标，即可得出结果． 【详解】（1）解：画出的图象如下： 由图象可知，两条图象的交点为和， ∴方程组的解为，； （2）解：画出图象如图： 由图可知，直线和抛物线的交点坐标为， ∴方程组的解为． 5．已知抛物线：． (1)当时，判断点是否在该抛物线上； (2)抛物线的顶点随着m的变化而移动，当该抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求此时抛物线的顶点坐标； (3)若一次函数，对于任意实数x，都有，求m的值． 【答案】(1)点不在该抛物线上 (2) (3) 【分析】（1）将代入函数解析式求出y的值，进而判断即可； （2）求出顶点的纵坐标，根据二次函数的性质得到m的值，进而将二次函数化为顶点式作答即可； （3）由可知，进而根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴点不在该抛物线上； （2）解：顶点的纵坐标为， ∵， ∴当时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值，此时， ∴顶点坐标为； （3）解：， ∵对于任意实数，都有， 恒成立， ， ， ． 6．已知，是抛物线上的两个不同点． (1)若，两点都在直线上，求线段的长； (2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值； (3)若点，在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：为正值． 【答案】(1) (2) (3) 证明： ∵，且，为整数， ∴，即 ∴， 又， ∴为正值． 【分析】（1）根据题意得到直线平行于轴，令，求出，然后代入求解即可； （2）首先求出，然后分两种情况：当直线落在轴上时，可得， 当直线不在轴上，然后联立求出，设，求出，，然后代入求解即可； （3）首先得到，根据求出，然后结合即可证明． 【详解】（1）解：∵直线平行于轴， ∴令，即， 解得， ∴线段的长度为． （2）解：∵抛物线关于轴对称， ∴ ∴抛物线 若直线落在轴上， ∴当时，即 解得 ∴ ∴； 若直线不在轴上， 设直线的解析式为，联立方程， 得， 解得． 不妨设， ∴，， ∴． （3）略 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数与一元二次方程的关系暑假预习讲义 1.理清数形对应关系 明白当二次函数 y=ax2+bx+c中 y=0时，得到一元二次方程 ax2+bx+c=0；抛物线与 x 轴交点横坐标，就是对应方程的实数根。 2.掌握判别式双向判定 牢记Δ=b2-4ac 的三种情况，能由 Δ判断方程根的个数、抛物线与 x 轴交点个数，也能由交点情况反推Δ符号：Δ>0，两个不等实根，2 个交点； Δ=0，两个相等实根，1 个交点；Δ<0，无实数根，无交点。 3.掌握交点式互化 已知抛物线与 x 轴交点(x1,0)(x2,0)，能写出交点式 y=a(x-x1)(x-x2)，实现一般式与交点式相互转化。 4.会用图像求方程近似根 会画对应二次函数图像，根据图像与 x 轴交点，估算一元二次方程的近似解，能锁定根的取值区间。 5.会借助图像解二次不等式 结合抛物线开口、与 x 轴交点，读出ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 的自变量取值范围。 6.初步结合韦达定理综合计算 预习根与系数关系，会求两交点中点、两交点间线段长度等几何计算。 7.建立数形结合解题思维 将函数图像几何问题转化为方程代数问题，标记不懂的疑点，课堂针对性突破。 预习必备 知识梳理 1.核心对应关系 2.二次函数与一元二次方程 3.求一元二次方程近似解 4.二次函数与不等式的关系 5.含参数题型解题模板 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.求抛物线与x轴的交点坐标 2.求抛物线与y轴的交点坐标 3.由二次函数值求自变量的值 4.抛物线与x轴的交点问题 5.二次函数图象确定方程根的情况 6.求x轴与抛物线的截线长 7.图象法确定方程的近似跟 8.图象法解一元二次不等式. 9.由不等式求自变量或函数值范围 10.由交点确定不等式的解集 强化题型 解答题6题 知识点01：核心对应关系（数形结合基础） 设二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，令函数值 y=0，可得一元二次方程： ax2+bx+c=0 (a≠0) 代数意义：方程 ax2+bx+c=0\的实数根，是使 y=0的自变量 x； 几何意义：方程的实数根 = 抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴交点的横坐标。 知识点 02 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标。 （1）若抛物线 y = ax2 + bx + c(a0) 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1，x2，则x1，x2为一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的两个根。 （2）二次函数图象与 x 轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： a0（示意图） a0（示意图） 一元二次方程根的情况 b² - 4ac0 b² - 4ac=0 b² - 4ac 知识点03:利用二次函数图象求一元二次方程近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1） 画出二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象； （2） 确定二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3） 列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应 y 值正负交替的地方。 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的 y 值正负交替的位置，也就是对 x 取一系列值，看 y 对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时 x 的两个对应值之中必有一个近似根。比如 x 由 x1 取到 x2 时，对应 y 的值出现 y1>0,y2<0 或 y1<0,y2>0，那么 x1,x2 中必有一个是近似根。 比较 |y1| 与 |y2| 的大小：若 |y1|>|y2|，则说明 x2是近似根；反之，则说明 x1 是近似根。 从图象上观察，(x,y) 离 x 轴越近，y 值越接近 0，而 y=0时 x 的值就是方程的确切根。 知识点 04 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点05:含参数综合题型解题模板 题型 1：已知交点个数，求字母参数取值范围 步骤： (1)写出二次函数隐含条件 a≠0； (2)计算判别式Δ； (3)根据交点个数列不等式（Δ>0/Δ=0/Δ<0）； (4)联立a≠0解出参数取值范围。 题型 2：已知交点距离，求参数 步骤： 题型 3：结合不等式，求自变量取值范围 步骤： (1)解方程ax2+bx+c=0得到交点(x1、x2)； (2)判断开口方向a正负； (3)根据不等号方向，结合图像写出x解集。 知识点06:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 概念前提 忽略 a≠0，把一次式当作二次函数讨论交点 二次函数必须满足 a≠0，a=0 是一次函数 先写 a≠0，再算判别式 根与交点 认为 “1 个交点” 对应方程 1 个根 Δ=0 是两个相等实数根，不是 1 个根 表述必须写 “两个相等实数根” 判别式计算 算Δ=b2-4ac 时符号出错 严格代入符号，常数项为负时整体参与运算 先算 b2，再算 4ac，最后相减 不等式解集 不看 a 正负直接套区间 a>0和a<0 解集完全相反 先判断开口方向，再结合图像写范围 近似根估算 区间过大，近似值误差大 逐步缩小区间，y 正负交替处必有根 看(y)更小的一侧（或点 (x,y)离 x 轴更近的一侧），该侧 x 更接近真实根 参数综合题 求出参数后不检验 Δ≥0 参数需同时满足 a≠0 和 Δ取值要求 代回判别式验证，舍去无效解 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 【典例】二次函数的图像与x轴的交点坐标是______． 【跟踪专练1】如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】根据表格可知关于的一元二次方程：的解是___________． 0 1 2 3 ．．． 6 2 0 0 2 6 【跟踪专练3】如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（    ）      A． B． C． D． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 【典例】抛物线与轴的交点坐标是___________． 【跟踪专练1】二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若二次函数的图像与y轴的交点坐标为，则该函数图像与x轴的交点坐标为______． 【跟踪专练3】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．当时，y随x的增大而增大 B．顶点坐标是 C．图象在x轴上截得的线段长度是6 D．图象与y轴交点的坐标是 题型3.由二次函数值求自变量的值 【典例】函数，当时，y的值是______． 【跟踪专练1】在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y＝﹣2x2+mx+m﹣2经过B、C两点，若OA＝2OC，则矩形OABC的周长为 _____． 【跟踪专练3】对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 【典例】若抛物线（c是常数）与x轴没有交点，请写出一个符合条件的c的值：_______． 【跟踪专练1】已知抛物线，与x轴的一个交点为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 【跟踪专练3】已知二次函数（且为常数），当时的函数值，则当时的函数值与的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 题型5.二次函数图象确定方程根的情况 【典例】二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【跟踪专练1】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【跟踪专练2】如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是__________． 【跟踪专练3】已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型6.求x轴与抛物线的截线长 【典例】抛物线与轴两交点间的距离为___________． 【跟踪专练1】二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则_____． 【跟踪专练3】已知二次函数，当 时，，则当 时，的取值范围为 （   ） A． B． C． D．不能确定 题型7.图象法确定方程的近似跟 【典例】下表给出了二次函数中的部分对应值，估计方程的一个解的取值范围是____________． … 1 … … 3 … 【跟踪专练1】设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是___________ 【跟踪专练3】二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型8.图象法解一元二次不等式. 【典例】如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 【跟踪专练1】一元二次不等式的解集为R，则必有（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【跟踪专练3】已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 题型9.由不等式求自变量或函数值范围 【典例】点在二次函数的图象上．若，则的取值范围是___________． 【跟踪专练1】已知二次函数（是自变量），当时，函数值恒大于，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【跟踪专练2】已知抛物线（a是常数，且）．当直线与抛物线有两个交点A、B，且时，则a的取值范围为______． 【跟踪专练3】已知实数满足，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 题型10.由交点确定不等式的解集 【典例】如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 【跟踪专练1】如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【跟踪专练3】一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 解答题 1．抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求的长． 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 3．已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： (1)方程的根是______； (2)当时，x的取值范围是______； (3)若点均在二次函数的图象上，直接写出、的大小关系． 4．利用函数的图象求下列方程组的解： (1) (2) 5．已知抛物线：． (1)当时，判断点是否在该抛物线上； (2)抛物线的顶点随着m的变化而移动，当该抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求此时抛物线的顶点坐标； (3)若一次函数，对于任意实数x，都有，求m的值． 6．已知，是抛物线上的两个不同点． (1)若，两点都在直线上，求线段的长； (2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值； (3)若点，在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：为正值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $