第15讲 相似三角形的性质及其应用 （知识清单+9大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第15讲 相似三角形的性质及其应用 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 利用相似三角形的性质求解 题型二 证明三角形的对应线段成比例 题型三 利用相似求坐标 题型四 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型五 相似三角形——动点问题 题型六 相似三角形实际应用 题型七 相似三角形的综合问题 题型八 相似三角形的判定与性质综合 题型九 重心的有关性质 知识清单 知识点1．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点2．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 题型练习 【题型一】利用相似三角形的性质求解 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）两个相似三角形的相似比是，其中较小的三角形的面积是，则较大三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方．设较大三角形的面积是，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得，求解即可获得答案． 【详解】解：设较大三角形的面积是， 根据题意，两个相似三角形的相似比是， 则两个相似三角形的面积比是， 所以可有，解得， 经检验：是方程的解， 即较大三角形的面积是． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了网格的特点，相似三角形的性质，理解网格特点，掌握相似三角形的性质是关键．根据网格特点得到，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， 是小正方形的对角线，是小正方形的边， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】此题考查了相似三角形的性质，理解相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．根据相似三角形面积比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积之比为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）按要求画图，工具不限，不要求写画法，只需做出适当的标志标记． (1)将图1的（为直角）分割成两个三角形，使这两个三角形相似． (2)将图2的等腰（为直角）分割成四个三角形，使分割成的四个三角形中有两个三角形相似（相似比不为1），另两个三角形全等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的应用，等腰直角三角形，相似三角形的应用， （1）过点作于点，则△△（答案不唯一）； （2）构造平行四边形，则有△△，（答案不唯一）． 【详解】（1）解：过点作于点，则△△（答案不唯一）； （2）构造平行四边形，则有△△，△△（答案不唯一）． 【题型二】证明三角形的对应线段成比例 【例2】（22-23九年级·浙江嘉兴·开学考试）《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比例的性质、证明三角形的对应线段成比例 【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵规定为单位线段1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键． 【举一反三】 1．如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 【答案】A 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】根据题意，三角形ΔADE ∽ ΔABC，由AD：DB=2：1，可得到AD：AB=2：3，再根据相似三角形的对应边的比就是相似比，可得答案. 【详解】解：∵AD：DB=2：1 ∴AD：AB=2：3 ∵△ADE∽△ABC, ∴AD：AB=2：3 ∴△ADE与△ABC的相似比为2:3. 故答案为：A. 【点睛】此题考查相似三角形的相似比，熟练掌握相似三角形性质是解题关键. 2．如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E， BD=2，AB=6，AC=9，则AE的长为 【答案】6 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】因为DE∥BC，得到三角形ABC与三角形ADE相似，得到,代入数值求解即可. 【详解】∵DE∥BC ∴ 则 即 故答案为6 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行于三角形一边的直线所截三角形所得的小三角形与原三角形相似.这里对应边需要注意是. 3．如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【知识点】根据等边对等角证明、相似三角形的判定综合、证明三角形的对应线段成比例 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 【详解】（1）证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ． 【题型三】利用相似求坐标 【例3】如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【答案】B 【知识点】利用相似求坐标 【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断． 【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD， 则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC， 又BA=2，AC=2， ∴BA：AC=1：， ∴BP：PD=1：或BP：PD=：1， 只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2． 故选B． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键 【举一反三】 1．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 【答案】B 【知识点】利用相似求坐标 【详解】根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，最后写出点C的坐标为（，）． 故选：B． 点睛：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出是解题的关键，也是本题的难点． 2．如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 ．    【答案】（2，0）或（，0） 【知识点】利用相似求坐标 【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标． 【详解】解：∵A（4，0）和B点（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， ∵C是AB的中点， ∴AC=2.5， 设P（x，0）， 由题意可知点P在点A的左侧， ∴AP=4﹣x， ∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似， ∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况， 当△APC∽△AOB时，则，即，解得x=2， ∴P（2，0）； 当△ACP∽△AOB时，则，即，解得x=， ∴P（，0）； 综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）． 故答案为：（2，0）或（，0）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 3． 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、利用相似求坐标 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合问题，矩形的性质，求反比例函数解析，相似三角形的性质等知识，掌握这些性质与分类讨论的思想是解题的关键． （1）先求出点E的坐标，求出反比例函数解析式，再求出当时，y的值，即可得出点D的坐标． （2）和相似可以分两种情况进行求解，①当若时，得求出，得出F点的坐标，②当时，可得求出，得出F点坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形 为的中点，点B的坐标为 点E的坐标为 点E在反比例函数上 ∴反比例函数的解析式为：， ∴当时，则 ∴点D的坐标为 （2）由（1）可得 为的中点 ①若时， 则 即： 点F的坐标为 ②若时， 则 即： 点F与点O重合 点F的坐标为 综上所述，点F的坐标为或 【题型四】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【例4】下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与下图中的三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都可以表示出，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可判定选择项． 【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，，，所以三边之比为． A、三角形的三边分别为，，4，三边之比为，故本选项不符合； B、三角形的三边分别为2，，，三边之比为，故本选项不符合； C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为，故本选项不符合； D、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为，故本选项符合． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定， 属于基础题， 掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键， 难度一般 ． 【举一反三】 1．如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】根据网格图形可得所给△EFG是两直角边分别为1，2的直角三角形，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可． 【详解】解：观察图形可得△EFG中，直角边的比为， 观各选项，，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键． 2．如图，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1（A1，B1，C1，三点都在格点上）．则这个三角形的面积是 【答案】5． 【详解】试题分析：：如图可得出AC=，则AC的对应边A1C1最长的长度为，所以可依次作出A1B1，B1C1．即△A1B1C1，△A1B1C1的面积可用相似比求解． 试题解析：利用勾股定理得出△ABC各边长AB=，BC=2，AC=， 故AC的对应边A1C1最长的长度为， A1C1=5，A1B1=，B1C1=2． ∵， ∴ ∵S△ABC=×1×2=1， ∴△A1B1C1的面积为：5． 考点：相似三角形的判定． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）在5×5的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上的三角形）． (1)将图1中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． (2)在图2中画出与相似但相似比不为1的格点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形、画旋转图形 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）结合相似三角形的判定，画的各边长分别为、、即可． 本题考查作图—相似变换、作图—旋转变换，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图1，即为所求； （2）解：如图2，即为所求． 【题型五】相似三角形——动点问题 【例5】如图，在中，，点F在边AC上，并且，点E为边BC上的动点，将沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（    ） A．3．2 B．2 C．1.2 D．1 【答案】C 【详解】如解图，延长交于点，当时，点到的距离最小．(点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，点到的距离最小), ，,，∴，，，，，，，,，∴点到边距离的最小值是1.2． 【举一反三】 1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积的变化情况是（　　） A．一直增大 B．先增大后减小    C．一直减小 D．先减小后增大 【答案】D 【知识点】相似三角形——动点问题 【详解】如图所示，连接CP，点P是AB的中点，所以，开始运动时，；运动结束时，；当点M到达AC的中点时，点N到达BC的中点，，所以整个运动过程中,△PMN的面积大小变化情况是先减小后增大，故选D. 点睛：本题主要考查了三角形的动点问题，解答本题的关键是要通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为 ． 【答案】秒或秒 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据相似三角形的性质，分和，两种情况得出结论即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵，，点D的运动速度为，动点E的运动速度为， ∴， 当时，，即：，解得； 当时，，即：，解得； 故答案为：秒或秒． 3．如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线运动，连接作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，求点E的坐标； (2)在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【知识点】坐标与图形、相似三角形——动点问题 【分析】（1）本题需先求出，再求出，即可求出点E的坐标． （2）本题需先证出，求出，再分两种情形分别求解即可解决问题； 【详解】（1）当时，， ∵， ∴， ∴， 为矩形 ∴， ∴， ∴ ∴点E的坐标是； （2）存在， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵若， ∴ , ∴， ∴ ，（舍去）， ∴P的坐标为（0， ）； 当点P在y轴的负半轴上时，若，则有，无解， 若，则有：， 解得 或（舍弃） ∴P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，在解题时要根据已知条件再结合图形是解题的关键. 【题型六】相似三角形实际应用 【例6】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得，再利用解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值， 设蜡烛火焰的高度为， 根据题意得，， 解得：， ∴蜡烛火焰的高度为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个用来测量小管口径的量具，其中长为，被分为40等份．若小管口径恰好对着10等份处（），则的长为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．由得，再根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【详解】， ， ， ，，， ， 解得． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为建筑造型设计立意，配以天圆地方的设计理念．安安和明明想利用所学的几何知识测量榆林人民大厦的高度，测量方案如下：如图，安安位于明明和大厦之间，在直线上的点C处放置一个平面镜，镜子不动，安安来回走动，走到点D时，恰好在镜子中看到大厦顶端A的像，此时测得安安眼睛与地面的高度米，米，同时，在阳光下，大厦的影子顶端与明明的影子顶端恰好重合于H，测得明明身高为1.8米、影长为1.2米，已知，，，米，C、D、F、H均在上，图中所有点均在同一平面内，请你根据上述信息，求该大厦的高度．（平面镜的大小忽略不计）    【答案】99米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平面镜成像的性质等知识点，连接，利用平面镜成像的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到，设米，则(米)，利用等式的性质求得米，利用平行线的判定得到，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：连接，如图，   走到点时，恰好在镜子中看到大厦顶端的像， ， ， ， ， ，设米，则(米)， 影长为1.2米，=14.5米，=0.8米， 米， ， ， ， ， ， ， 大厦的高度为99米． 【题型七】相似三角形的综合问题 【例7】如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】先证明AG=GD，得到GE为△ADC的中位线，由三角形的中位线可得GEDCBD；由EG∥BC，可证△GEF∽△BDF，由相似三角形的性质，可得；设GF=x，用含x的式子分别表示出AG和AF，则可求得答案． 【详解】∵E为AC中点，EG∥BC， ∴AG=GD， ∴GE为△ADC的中位线， ∴GEDCBD． ∵EG∥BC， ∴△GEF∽△BDF， ∴， ∴FD=2GF． 设GF=x，则FD=2x，AG=GD=GF+FD=x+2x=3x，AF=AG+GF=3x+x=4x， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质，是解答本题的关键． 【举一反三】 1．如图，在中，，，，是上的一点，于点，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】圆周角定理、相似三角形的综合问题 【分析】当CH与PB的交点D落在⊙O上时，因为HP是直径，可以判定BP⊥HC，再证BP垂直平分HC，求出BH的长度，最后证△AHP∽△ACB，即可求出AP的长度． 【详解】解：如图所示， 当CH与PB的交点D落在⊙O上时， ∵HP是直径， ∴∠HDP＝90°， ∴BP⊥HC， ∴∠HDP＝∠BDH＝90°， 又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°， ∴∠PHD＝∠HBD， ∴△PHD∽△HBD， ∴， ∴HD2＝PD•BD， 同理可证CD2＝PD•BD， ∴HD＝CD， ∴BD垂直平分CH， ∴BH＝BC＝6， 在Rt△ACB中， AB10， ∴AH＝10﹣6＝4， ∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°， ∴△AHP∽△ACB， ∴， 即， ∴AP＝5， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，判断出∠HDP＝90°． 2．如图，在锐角三角形ABC中，，，点D为边AB的中点，点E在边AC上，将沿DE折叠得到．若，则的值为 ；的值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】由已知条件可知,≌，根据，可推出，即可得到∽，则，设，与交于点，然后根据等腰直角三角形的性质、勾股定理等计算出：、、、的长，即可得到答案． 【详解】由已知条件可知，≌，， ∴， 又∵， ∴， 又∵在和中，，， ∴∽， ∴， ∴， 如图，设，则，与交于点，则， ∴，， ∴， ∵， ∴，，均为等腰直角三角形， ∴，， 在中，由勾股定理可知，, ， ∴， ∴ 故答案为：；． 【点睛】本题考查了相似三角形、相似比、勾股定理，解答本题的关键是设准未知数，找准比例关系，利用比值进行求解． 3．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）EB=2FD． 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证； （2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果． 【详解】解：（1）∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠DAC， ∵∠EFD=∠BDF， ∴180°-∠EFD=180°-∠BDF， ∴∠AFE=∠ADC， 又∵∠BAD=∠DAC， ∴△AFE∽△ADC； （2）由（1）得，△AFE∽△ADC， ∴∠AEF=∠C， ∵∠AFE=∠C， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴EB=2FD． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键． 【题型八】相似三角形的判定与性质综合 【例8】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，点处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， 解得． ∴的长为． 故选：C． 【举一反三】 1．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，点D在边上，，分别交于点E，F，G，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由可得出得出，，再利用相似三角形的性质可得出，，进而判断解答．牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，，，，那么 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意得，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：. ， ， ， （负值舍去）， ， ， 故答案为： ． 3．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的判定方法证明三角形相似． （1）证明，根据相似三角形的性质得到，根据垂直的定义证明结论； （2）证明，根据相似三角形的性质得到，根据为线段中点，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ，又， ， ， 即； （2）解：为线段中点， ，， ，， ， 【题型九】重心的有关性质 【例9】（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，点是的重心，连接，作，使与互补，交边于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查重心的性质及相似三角形．利用三角形重心的性质得出，通过作平行线得到．进而证出，由，得解． 【详解】解：连接并延长交于点，过点作交于点． 点是的重心， ，， ， ． ． 又， ． 又， ， ， ． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，重心为G，和在边上高之比为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，连接并延长交于点，根据重心的性质，得到，进而得到，证明，列出比例式即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵重心为G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，的两条中线、交于点，若，则长为 ． 【答案】2 【知识点】重心的有关性质 【分析】本题考查三角形重心的定义和性质，掌握三角形三边中线的交点为三角形的重心和重心的性质是解题关键．根据题意得出点F为的重心，即得出． 【详解】解：∵的两条中线、交于点， ∴点F即为的重心， ∴． 故答案为：2． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，如图，是的一条中线，P为的重心，，交，于点E，F，交于点 P． (1)求与的比值． (2)若 ，求 的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行判断成比例的线段、重心的有关性质 【分析】（1）由重心性质可得，再结合，可得结论； （2）证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵P为的重心， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，重心的性质，三角形的中线，平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 好题必刷 一、单选题 1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（    ） A． B．2：3 C．4：9 D．8：27 【答案】B 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质． 2．如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（    ）    A．4 B．9 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B. 【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键. 3．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 4．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：如图所示，    由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 5．如下图所示，在中，点D在线段上，且，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质；根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 6．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由DEBC可得出，∠AED＝∠C，结合∠ADE＝∠EFC可得出△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质可得出，再根据CF＝6,即可求出DE的长度． 【详解】解：∵DEBC， ∴，∠AED＝∠C． 又∵∠ADE＝∠EFC， ∴△ADE∽△EFC， ∴， ∵CF＝6， ∴， ∴DE＝10． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 7．如图，已知的面积是12，，点，分别在边，上，在边上依次作了个全等的小正方形，，，，，则每个小正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，根据正方形的性质以及相似三角形性质先求出相应情况下的正方形边长，然后进一步寻求规律即可. 【详解】 当作了1个正方形时，如图所示， 过A作AM⊥BC，垂足为M，交GH于N， ∴∠AMC=90°， ∵四边形EFGH为正方形， ∴GH∥BC，GH=GF，GF⊥BC， ∴∠AGH=∠B，∠ANH=∠AMC=90°， ∵∠GAH=∠BAC， ∴△AGH~△ABC， ∴AN:AM=GH:BC， ∵△ABC面积为12，BC为6， ∴， ∴AM=4， 设GH=， ∵GF=NM=GH， ∴AN=AM−NM=AM−GH=， ∴， ∴， 同理，当时，根据正方形性质可得：DN=2DE， ∴， ∴， 以此类推，当为第n个正方形时，每个小正方形边长为：， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正方形性质以及相似三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 8．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝8，DC＝7，则AB的值为（  ） A．15 B．20 C．2+7 D．2+ 【答案】B 【分析】延长CB到E使BE=BA，接连EA．设AB=a，则BE=a．由等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠E=∠BAD，即可证明△ABD∽△EAD，由相似三角形的性质可得到AD2=8（8+a）=64+8a．在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理得到，解方程即可得到结论． 【详解】解：延长CB到E使BE=BA，接连EA．设AB=a，则BE=a． ∵BE=BA， ∴∠E=∠EAB， ∴∠ABD=2∠E． ∵∠ADC＝3∠BAD，∠ADC=∠ABD+∠BAD， ∴∠ABD=2∠BAD， ∴∠E=∠BAD． ∵∠ADB=∠ADB， ∴△ABD∽△EAD， ∴BD：AD=AD：ED， ∴AD2=BD•ED， ∴AD2=8（8+a）=64+8a． 在Rt△ACD中，AC2=AD2-DC2=64+8a-49=15+8a． 在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2， ∴， ∴， ∴（a-20）（a+12）=0，解得：a=20或a=－12（舍去）． 故选B． 【点睛】本题是相似三角形综合题．考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，作出∠ABD的一半． 9．如图，锐角中，，，两动点、分别在边、上滑动，且，以为边向作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为，则与的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分两种情况：①公共部分全在内；②公共部分的一部分在内，另一部分在外．方法一：先利用相似三角形的性质求出在边上时的值，再利用正方形和长方形的面积公式求出与的函数关系式即可得；方法二：先利用面积法求出在边上时的值，再利用正方形和长方形的面积公式求出与的函数关系式即可得． 【详解】如图，过点作于点， ，， ， 解得， 方法一：当在边上时，则的边上的高为， ， ，即， 解得， 由题意，分以下两种情况： ①当公共部分全在内，即时， 则； ②当公共部分的一部分在内，另一部分在外，即时， 如图，设交于点，且，则， ， ，即， 解得， 则， 由此可知，与的函数图象大致是选项的图象； 方法二：当在边上时，则的边上的高为，， ， ， 即， 解得， 由题意，分以下两种情况： ①当公共部分全在内，即时， 则； ②当公共部分的一部分在内，另一部分在外，即时， 如图，设交于点，且，则， ， ， 解得， 则， 由此可知，与的函数图象大致是选项的图象； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的图象等知识点，正确分两种情况讨论，并求出临界位置时的值是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°，DE交AC于点E，下列结论：①△ADE与△ACD一定相似；②△ABD与△DCE一定相似；③当AD＝3时，；④0＜CE≤2．其中正确的结论有几个？（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】利用有两个角对应相等的两个三角形相似可以判定①②正确；根据相似三角形对应边成比例，利用△ADE∽△ACD得出比例式求得AE的长，进而得出③正确；利用判定③正确的结论，通过分析AD的取值范围即可得出④正确． 【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4， ∴∠B＝∠C＝45°，BC＝＝4． ∵∠ADE＝45°， ∴∠ADE＝∠C＝45°． ∵∠DAE＝∠CAD， ∴△ADE∽△ACD． ∴①正确； ∵∠ADE＝45°， ∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣45°＝135°． ∵∠B＝45°， ∴∠ADB+∠BAD＝180°45°＝135°． ∴∠BAD＝∠EDC． ∵∠B＝∠C， ∴△ABD∽△DCE． ∴②正确； 由①知：△ADE∽△ACD， ∴． ∴AD2＝AE•AC． ∴． ∴． ∴③正确； ∵点D是边BC上一动点（不与B，C重合）， ∴0＜AD＜4． ∵垂线段最短， ∴当AD⊥BC时，AD取得最小值＝BC＝2． ∴2≤AD＜4． ∵AD2＝AE•AC， ∴AE＝＝． ∴2≤AE＜4． ∵EC＝AC﹣AE＝4﹣， ∴0＜CE≤2． ∴④正确． 综上，正确的结论有：①②③④． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行相似三角形的判定是解题的关键． 二、填空题 11．已知 ，的周长与的周长的比值是，、分别是它们对应边上的中线，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的性质对应中线的比等于相似比解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：9． 12．如图，，，，，则 . 【答案】 【分析】根据，得到△ADC∽△ACB，再根据对应线段成比例即可求解. 【详解】∵， ∴△ADC∽△ACB ∴，即， 解得AD= 故填：. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形对应成比例. 13．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 【答案】 【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴, ∵ ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键． 14．如图，四边形是正方形，，E是中点，连接，的垂直平分线分别交于M、O、N，连接，过E作交于F，则 ． 【答案】2 【分析】垂直平分，得出，利用，在中利用勾股定理求得的长，再证明，利用相似比求得的长度，进而求得的长度． 【详解】设，则 垂直平分 在中， 又∵E是中点 ∴ 解得 又∵ 故答案为：2． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的应用，勾股定理及相似三角形的应用，解决本题的关键是各知识点的综合应用． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】过点C作CH⊥x轴，垂足为H，证明△OAB∽△HAC，再求出点C坐标即可解决问题． 【详解】解：如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H， ∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴将y=0代入，得，将x=0代入，得y=1， ∴A（，0），B（0，1）， ∴OA=，OB=1， ∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH， ∴△OAB∽△HAC， ∴ ∵OA=，OB=1，， ∴ ∴AH=，CH=2， ∴OH=1， ∵点C在第一象限， ∴C（1，2）， ∵点C在上， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，本题的突破点是求出点C的坐标． 16．如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为 ．    【答案】 【详解】【分析】设AB=a，AD=b，则ab=32，构建方程组求出a、b值即可解决问题. 【详解】设AB=a，AD=b，则ab=32， 由∽可得：， ∴， ∴， ∴，， 设PA交BD于O，    在中，， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和应用相关的性质定理是解题的关键. 17．如图，△ABC与△AEF中，交EF于D．给出下列结论： ①△ABC≌△AEF； ②∠AFC=∠C； ③DF=CF； ④△ADE∽△FDB； 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④． 【分析】根据SAS可以证明△ABC≌△AEF，根据两角对应相等两三角形相似可以证明△ADE∽△FDB，由此不难得出结论． 【详解】在△ABC和△AEF中，    ∴△ABC≌△AEF，故①正确， ∴AC=AF， ∴∠C=∠AFC，故②正确， ∵∠E=∠B，∠EDA=∠BDF， ∴△ADE∽△FDB，故④正确， 无法证明DF=CF，故③错误. 故答案为:①②④. 【点睛】考查相似三角形的判定, 全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 18．如图，直线交坐标轴于两点，以AB为边，在第一象限内作等边△ABP，若双曲线y=过点P，则k= ． 【答案】 【分析】过P作PC⊥AB于C，过P作y轴平行线，过C作x轴平行线，两平行线交于点D，CD交y轴于E，根据，可得，根据直角三角形斜边上的中线，中位线的性质，可得，，勾股定理求得，证明△ACE∽△CPD，进而求得点P的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过P作PC⊥AB于C，过P作y轴平行线，过C作x轴平行线，两平行线交于点D，CD交y轴于E． ∵△ABP为等边三角形， ∴C是AB中点，∠APC=∠BPC=30°， ∵直线交坐标轴于两点， ∴, ∴AB=5， ∵， ∴， ∴, ∴, ∴PC=， ∵∠ACP=90°，， ∴ 又， ∴△ACE∽△CPD ∴,   ∴ 解得：PD=，CD=， 故P（+1.5，2+） ∵双曲线y=过点P， ∴k=（+1.5）×（2+） =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 19．如果把两条直角边分别为，的直角三角形按相似比进行缩小，得到的直角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？ 【答案】两直角边的长分别为，，面积为 【分析】如图，由把的按相似比进行缩小，可得再解方程可得答案，由缩小后不改变三角形的形状，从而利用直角三角形的面积公式可得面积. 【详解】解：如图，把的按相似比进行缩小，而 则 缩小后不改变三角形的形状， 答：缩小后得到的直角三角形的两直角边的长分别为，，面积为 【点睛】本题考查的是相似三角形的对应边成比例，解题的关键是利用对应边成比例建立方程. 20．江老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度,他利用了反射定律,利用一面镜子和皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离银杏树的点处,然后观测者沿着直线后退到点,这时恰好在镜子里看到树梢顶点,再用皮尺量得,观测者目高,则树高约是多少? 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．根据题意证出,再代入条件中具体数值继而得到本题答案． 【详解】解:由题意知,,, ∴, ∴, ∵,,, ∴,解得:, 答:树高约是． 故答案为:． 21．已知：点D、E、F分别是等边△ABC三边上的三等分点，AD、BE、CF两两相交于P、Q、R点，（如图所示），求△PQR的面积与△ABC面积的比值． 【答案】S△PQR：S△ABC=1：7． 【分析】可作AG∥BC交BE延长线于点G，作DH∥AB交CF于点H，由平行线分线段成比例可得线段之间的比例关系，进而转化为三角形的面积关系，即可求解结论． 【详解】解：作AG∥BC交BE延长线于点G，作DH∥AB交CF于点H， 则得： AG：BC=AE：EC=1：2，AG：BD=3：4， 又由于DH：BF=1：3，DH：AF=1：6， 所以DR：AR=1：6，DR：DA=1：7， 从而S△CDR=S△BFC=S△ABC， 同理可得S△BFQ= S△APE=S△ABC， ∵S△PQR＝S△BCE−（S△BCF−S△BFQ）−（S△ACD−S△APE−S△CDR）＝S△ABC-（S△ABC −S△ABC）−（S△ABC −S△ABC −S△ABC）= S△ABC 因此S△PQR：S△ABC=1：7． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质以及三角形的性质和面积问题，能够熟练运用平行线的性质求解一些计算问题． 22．如图，已知零件的外径为a，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）测量零件的内孔直径AB．如果，且量得，求AB以及零件厚度x． 【答案】， 【分析】根据两边对应成比例夹角相等，两三角形相似判断出△ABO和△CDO相似，再根据相似三角形对应边成比例求出AB，然后根据厚度x=（a-AB）计算即可得解． 【详解】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD（对顶角相等）， ∴△ABO∽△CDO， ∴AB：CD=OA：OC=n， ∴AB=nCD=nb， ∴厚度x=（a-AB）=． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，判断出三角形相似并根据相似三角形对应边成比例求出AB的长是解题的关键． 23．如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，再根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：，， ， ， ． 24．已知，如图，， (1)求证：； (2)若平分，平分，且，，求． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质； （1）根据可得到，，进而得出，，根据和中有两个角相等即可得到 （2）根据相似图形的面积比等于相似比的平方得到，根据比例关系即可求出面积． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 在和中； ，， ； （2）解：，，分别为，的角平分线，且 ； ； ； 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，连接AD，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，延长DC、BE交于点F．求证： （1）DB＝DF； （2）四边形AEFD是平行四边形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）先证∠DBE=∠ACB，结合∠BDC=∠BAC，可得，进而即可得到答案； （2）先证∠F=∠ACB，结合∠AEB=∠ACB，可得AE∥DF，进而即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AD∥BE， ∴∠ADB=∠DBE， 又∵∠ADB=∠ACB， ∴∠DBE=∠ACB， ∵∠BDC=∠BAC， ∴， ∵AB＝AC， ∴DB＝DF； （2）∵DB＝DF， AB＝AC，， ∠F=∠ACB， ∵∠AEB=∠ACB， ∴∠F=∠AEB， ∴AE∥DF， 又∵BE∥AD， ∴四边形AEFD是平行四边形． 【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理，掌握弧，弦，圆周角之间的等量关系是解题的关键． 26．“智多星”社团小组在社团活动时，对校园内一棵与地面垂直的树的高度测量作了如下探索和设计：他们借用一面很小的镜子和一根皮尺，根据光的反射定律（入射角等于反射角），先把镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后一个同学沿着直线BE后退，直到从镜子里刚好看到树梢顶点A时就停下来，此时的位置记为点D（如图所示），他们用皮尺测得DE=2.4米，小组成员一致认为只要测得这名同学眼睛到地面的距离，就可以计算出树的高度．（镜子的厚度忽略不计） (1)请你用学过的知识说明“智多星”小组成员观点的正确性； (2)若这名同学眼睛到地面的距离CD=1.6米，试求树高． 【答案】(1)正确；说明见详解 (2)5.6m 【分析】（1）过点E作EF⊥BD，由光的反射定律知∠1=∠2，通过证△ABE∽△CDE即可求出树高； （2）当CD=1.6时，根据即可求出树高． 【详解】（1）解：过点E作EF⊥BD(或作法线FE)， 由光的反射定律知∠1=∠2， ∠3=∠4， 由题意得AB⊥BD，CD⊥BD， ∠ABD=∠CDB=90°， △ABE∽△CDE， ， ， BE=8.4，ED=2.4， 只要知CD长就可求得AB，因此小组成员观点正确； （2）当CD=1.6时，AB==5.6(米） 【点睛】本题考查了光的反射定律，相似三角形的判定以及性质，根据光的反射定律证明△ABE∽△CDE是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 相似三角形的性质及其应用 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 利用相似三角形的性质求解 题型二 证明三角形的对应线段成比例 题型三 利用相似求坐标 题型四 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型五 相似三角形——动点问题 题型六 相似三角形实际应用 题型七 相似三角形的综合问题 题型八 相似三角形的判定与性质综合 题型九 重心的有关性质 知识清单 知识点1．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点2．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 题型练习 【题型一】利用相似三角形的性质求解 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）两个相似三角形的相似比是，其中较小的三角形的面积是，则较大三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为 ． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）按要求画图，工具不限，不要求写画法，只需做出适当的标志标记． (1)将图1的（为直角）分割成两个三角形，使这两个三角形相似． (2)将图2的等腰（为直角）分割成四个三角形，使分割成的四个三角形中有两个三角形相似（相似比不为1），另两个三角形全等． 【题型二】证明三角形的对应线段成比例 【例2】（22-23九年级下·浙江嘉兴·开学考试）《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 2．如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E， BD=2，AB=6，AC=9，则AE的长为 3．如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【题型三】利用相似求坐标 【例3】如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【举一反三】 1．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 2．如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 ．    3． 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 【题型四】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【例4】下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与下图中的三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．如图，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1（A1，B1，C1，三点都在格点上）．则这个三角形的面积是 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）在5×5的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上的三角形）． (1)将图1中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． (2)在图2中画出与相似但相似比不为1的格点． 【题型五】相似三角形——动点问题 【例5】如图，在中，，点F在边AC上，并且，点E为边BC上的动点，将沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（    ） A．3．2 B．2 C．1.2 D．1 【举一反三】 1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积的变化情况是（　　） A．一直增大 B．先增大后减小    C．一直减小 D．先减小后增大 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为 ． 3．如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线运动，连接作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，求点E的坐标； (2)在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【题型六】相似三角形实际应用 【例6】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个用来测量小管口径的量具，其中长为，被分为40等份．若小管口径恰好对着10等份处（），则的长为 ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为建筑造型设计立意，配以天圆地方的设计理念．安安和明明想利用所学的几何知识测量榆林人民大厦的高度，测量方案如下：如图，安安位于明明和大厦之间，在直线上的点C处放置一个平面镜，镜子不动，安安来回走动，走到点D时，恰好在镜子中看到大厦顶端A的像，此时测得安安眼睛与地面的高度米，米，同时，在阳光下，大厦的影子顶端与明明的影子顶端恰好重合于H，测得明明身高为1.8米、影长为1.2米，已知，，，米，C、D、F、H均在上，图中所有点均在同一平面内，请你根据上述信息，求该大厦的高度．（平面镜的大小忽略不计）    【题型七】相似三角形的综合问题 【例7】如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．如图，在中，，，，是上的一点，于点，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在锐角三角形ABC中，，，点D为边AB的中点，点E在边AC上，将沿DE折叠得到．若，则的值为 ；的值为 ． 3．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 【题型八】相似三角形的判定与性质综合 【例8】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，点处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，点D在边上，，分别交于点E，F，G，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，，，，那么 ． 3．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 【题型九】重心的有关性质 【例9】（2024九年级·浙江舟山·学业考试）如图，点是的重心，连接，作，使与互补，交边于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，重心为G，和在边上高之比为（    ） A． B． C．2 D．3 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，的两条中线、交于点，若，则长为 ． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，如图，是的一条中线，P为的重心，，交，于点E，F，交于点 P． (1)求与的比值． (2)若 ，求 的长． 好题必刷 一、单选题 1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（    ） A． B．2：3 C．4：9 D．8：27 2．如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（    ）    A．4 B．9 C．12 D． 3．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 4．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 5．如下图所示，在中，点D在线段上，且，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，已知的面积是12，，点，分别在边，上，在边上依次作了个全等的小正方形，，，，，则每个小正方形的边长为（  ） A． B． C． D． 8．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝8，DC＝7，则AB的值为（  ） A．15 B．20 C．2+7 D．2+ 9．如图，锐角中，，，两动点、分别在边、上滑动，且，以为边向作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为，则与的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°，DE交AC于点E，下列结论：①△ADE与△ACD一定相似；②△ABD与△DCE一定相似；③当AD＝3时，；④0＜CE≤2．其中正确的结论有几个？（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．已知 ，的周长与的周长的比值是，、分别是它们对应边上的中线，且，则 ． 12．如图，，，，，则 . 13．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 14．如图，四边形是正方形，，E是中点，连接，的垂直平分线分别交于M、O、N，连接，过E作交于F，则 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为 ． 16．如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为 ．    17．如图，△ABC与△AEF中，交EF于D．给出下列结论： ①△ABC≌△AEF； ②∠AFC=∠C； ③DF=CF； ④△ADE∽△FDB； 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）． 18．如图，直线交坐标轴于两点，以AB为边，在第一象限内作等边△ABP，若双曲线y=过点P，则k= ． 三、解答题 19．如果把两条直角边分别为，的直角三角形按相似比进行缩小，得到的直角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？ 20．江老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度,他利用了反射定律,利用一面镜子和皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离银杏树的点处,然后观测者沿着直线后退到点,这时恰好在镜子里看到树梢顶点,再用皮尺量得,观测者目高,则树高约是多少? 21．已知：点D、E、F分别是等边△ABC三边上的三等分点，AD、BE、CF两两相交于P、Q、R点，（如图所示），求△PQR的面积与△ABC面积的比值． 22．如图，已知零件的外径为a，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）测量零件的内孔直径AB．如果，且量得，求AB以及零件厚度x． 23．如图，，，．求的度数． 24．已知，如图，， (1)求证：； (2)若平分，平分，且，，求． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，连接AD，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，延长DC、BE交于点F．求证： （1）DB＝DF； （2）四边形AEFD是平行四边形． 26．“智多星”社团小组在社团活动时，对校园内一棵与地面垂直的树的高度测量作了如下探索和设计：他们借用一面很小的镜子和一根皮尺，根据光的反射定律（入射角等于反射角），先把镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后一个同学沿着直线BE后退，直到从镜子里刚好看到树梢顶点A时就停下来，此时的位置记为点D（如图所示），他们用皮尺测得DE=2.4米，小组成员一致认为只要测得这名同学眼睛到地面的距离，就可以计算出树的高度．（镜子的厚度忽略不计） (1)请你用学过的知识说明“智多星”小组成员观点的正确性； (2)若这名同学眼睛到地面的距离CD=1.6米，试求树高． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$