第05讲 二次函数的应用（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第05讲 二次函数的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用二次函数求几何图形面积的最值 题型2 利用二次函数解抛物线形问题 题型3 利用二次函数解最大利润问题 题型4 利用二次函数解最小运动距离问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 实际问题建模 二次函数求最值 最大利润 最大面积 抛物线形问题 待定系数法 运动距离 自变量范围 1.掌握用二次函数解决实际问题的一般步骤（审、设、列、解、检），能将实际问题转化为二次函数模型。 2.能利用二次函数性质（顶点坐标公式、配方法）求解几何图形的最大面积和最小周长问题，并注意验证自变量的取值范围。 3.能恰当建立平面直角坐标系，运用待定系数法求解拱桥、隧道、抛球等抛物线形实际问题，并分析结果的实际意义。 4.理解销售问题中的利润关系，熟练掌握“利润=(单件售价-单件进价)×销售量”的模型，利用二次函数求最大利润。 5.能结合勾股定理等几何知识，解决两运动物体间的动态距离最短问题，体会数形结合与化归的数学思想。 学习重点：建立实际问题的二次函数模型，利用二次函数的顶点坐标或配方法求实际问题中的最大值或最小值；根据题目限制条件，准确确定自变量的取值范围并检验结果的合理性。 学习难点：将实际问题抽象转化为二次函数，尤其是抛物线形问题中坐标系位置的合理选择；处理“顶点坐标不在自变量取值范围内”的情况，能根据对称轴一侧的增减性来探讨最值结论，并对现实意义进行合理取舍。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的应用 1.用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细审题，理清题意； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 2.建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤： (1)恰当地建立 ； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5)利用关系式求解问题． 3.利用二次函数解决实际问题的常见类型 常见的问题：求最大 (小) 值 (如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用 求出函数表达式，利用 解决问题。 常见应用模型如下： (1)几何图形面积最值问题 模型描述：求矩形、窗户、隧道截面的最大面积或最小周长。 典型例题：用定长材料制作窗框、围栏等。 (2)抛物线形实际模型（拱桥/栅栏/抛球） 模型描述：栅栏底部的抛物线造型，足球射门是否能进球等；物体运行轨迹或物体外形呈抛物线。 关键点：建立恰当的平面直角坐标系（通常以最高点或对称轴为 y 轴）来简化解析式。 (3)经济利润问题（销售/定价） 模型描述：产品销售场景，单价变化导致销量变化，求日均毛利润最大值。 关键公式： (4)运动距离最小问题 模型描述：两个物体在移动过程中的动态距离问题。 关键思路：利用勾股定理建立距离平方（d2）关于时间的二次函数，求d2的最小值即可得到距离d的最小值。 即时即练如图是一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面．已知桥洞的拱形是抛物线． (1)建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． (2)一艘宽为，高出水面的货船能否从该拱桥安全通过？请说明理由． 【易错提醒】 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论. 题型1 利用二次函数求几何图形面积的最值 【例1】如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（ ） A． B． C． D． 【例2】某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米． (1)若饲养场（矩形）的一边长为米，则另一边____米． (2)若饲养场（矩形）的面积为平方米，求边的长． (3)饲养场的面积有最大值吗？若有，求出边的长；若没有，请说明理由． 【易错提醒】 （1）一些几何图形的面积与其相关边长成二次函数关系时，可以用二次函数的最值求其最大面积。 （2）求矩形的最大面积时，通常用含有自变量x的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造关于x的二次函数，再结合二次函数的图象和性质，利用公式法或配方法求出二次函数的最大值，同时要注意自变量的取值范围，如所有线段长度必须为正数等。 【变式1-1】如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且．已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为米，该窗口的透光面积为平方米（计算透光面积时材料忽略不计）． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 题型2 利用二次函数解抛物线形问题 【例3】如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（ ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【例4】今年夏天，桨板这一水上运动成为“夏日新宠”，这项小众的运动从竞技场走向了大众视野，丰富了人们的生活．如图1，人们可以坐在、跪在或者站在桨板上，通过划桨实现前进、转弯，穿梭在城市的河道之间，感受夏日的清凉并欣赏宁波这座城市的夜景．若现在在这个划行的河道之上，有一座桥，其示意图如图2，正常水位时水面宽为24米，此时桥拱最高点C到水面的高度为5米，桥拱可以看成抛物线． (1)若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求此时的函数表达式； (2)已知小兰的身高是，桨板厚度为，在正常水位时，若小兰要笔直的站在桨板上通过这座桥，则其在河道中可通行的安全范围是多少米？（为保证安全，要求头顶距离桥拱至少） 【易错提醒】 （1）在示意图中建立适当的平面直角坐标系，将题目中所给条件转化平面直角坐标系中的坐标。 （2）根据图中坐标利用待定系数法求得二次函数的表达式。 （3）由二次函数的性质去分析解决问题，检验问题的结果是否符合实标意义，并作答。 【变式2-1】如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽，顶点离水面．当水面宽时，水面下降（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】在高尔夫比赛中，从地面斜向上击出的高尔夫球离地面的高度满足二次函数关系式，其中是高尔夫球运动的时间，在一次训练时，小明如图击出高尔夫球．已知高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为．如图建立平面直角坐标系． (1)求出和的值； (2)求高尔夫球落地点与击出点的距离的长； (3)若该高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，求的值和此时高尔夫球的高度． 题型3 利用二次函数解最大利润问题 【例5】慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【例6】某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可售出210件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少售10件，设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？ (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? 【易错提醒】 （1）利润问题中常用公式 ①每件的利润=销售单价-成本单价； ②总利润=总销售价-总成本价=每件利润×销售量。 （2）利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤： ①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入； ②用含自变量的代数式表示销售商品的成本； ③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式； ④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。 【变式3-1】某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（ ）元． A．2048元 B．2040元 C．1759元 D．1751元 【变式3-2】中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第天（，且为整数）与该天销售量（件）之间满足函数关系如表所示： 第天 … 销售量（件） … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价（元）与第天（，且为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为元/件． (1)求关于的函数表达式； (2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价元销售，销售第天与该天销售量（件）仍然满足原来的函数关系，问： ①当第天（，且为整数）的销售利润取到最大值，此时的值为多少？ ②若①中销售利润的最大值是元，求此时的值． 题型4 利用二次函数解最小运动距离问题 【例7】如图，船位于船正东处．现在，两船同时出发，船以的速度朝正北方向行驶，船以的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？ 【例8】月日，“灿都”台风中心在新昌正南方向公里，以千米小时的速度向新昌移动此时小芳因家有急事，不得不外出，她开车从新昌以千米小时的速度向正西方向行驶． (1)当小芳出发小时时，请问小芳与台风中心相距多远？ (2)何时小芳离台风中心最近，最近距离为多少？ 【易错提醒】 两点间距离动态问题（如两船航行）：利用勾股定理，建立距离平方的二次函数，求出最小值再开根号，得出实际最短距离。 【变式4-1】有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时刻观测到了一座灯塔，12分钟后测得灯塔位于船的北偏东方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里．经过持续测量船只与灯塔之间距离（海里），发现与船行路程（海里）之间满足二次函数的数量关系（如图2），其中最低点为点，以下说法正确的是（ ） A． B．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 C．船行速度为24海里/小时 D．点在函数图象上 【变式4-2】如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是． (1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ (2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？ A组 基础过关 1．如图，一矩形场地，两边长分别为、，现欲在矩形内修两条宽为的小路，剩余部分的面积是，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（ ） A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 4．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（ ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 6．如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（　　） A． B． C． D． 7．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ） A． B． C． D． 8．伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线．如图所示，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨的交点为原点建立平面直角坐标系，为抛物线与轴的交点，点在抛物线上，关于轴对称．已知抛物线的表达式为，若点到轴的距离是，则两点之间的距离是（ ） A． B． C． D． 9．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日--14日在哈尔滨举行，本届赛会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个． (1)写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式； (3)零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 10．如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ B组 综合提升 11．如图，用总长度为的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与平行，则矩形框架的最大面积为（ ） A． B． C． D． 12．如图1，中，，点P从A点出发沿折线运动，点Q从点A出发沿线段运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设P点运动时间为，的面积为．如图2是关于的函数图象，下列选项正确的是（ ） A． B． C．y的最大值为2.75 D．点在该函数图象上 13．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小树想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（ ） A． B． C． D． 14．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　） A．180 B．220 C．190 D．200 15．若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：）与小球运动的时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论： ①小球在空中经过的路程是40； ②与之间的函数关系式为； ③小球运动的时间为6； ④当小球的高度 时， ．以上结论中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论： (1)柱子OA的高度为m； (2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度； (3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m； (4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外. 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（ ） A．1.2 B． C． D． 18．如图1，是积水管道的圆形截面，水面为．排水过程中，设水面下降的高度为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最高点，且经过．下列选项正确的是（ ） A． B．点C的纵坐标为24 C．点在该函数图象上 D．点在该函数图象上 19．某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长，球网位于球台正中间，球网高，球网与原点O的水平距离为．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为，距离球台水平面的高度为． (1)求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； (2)请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网； (3)乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为．若最佳击球高度为，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离． 20．如图，中，，P在边上，于D，点E在P的右侧． (1)若设为x，则的面积是多少． (2)若P是边上的动点，P从点A出发，沿方向运动，始终有，当E到达点B时，P停止运动，求整个运动过程中，阴影部分面积的最小值． C组 挑战突破 21．已知直角三角形两条直角边之和为5，则这个直角三角形的面积的最大值为__________ 22．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 23．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 24．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 25．苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为_________米． 26．已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间． 27．如图斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B 处喷出的水流恰好落在 A 处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系， 得到点 ， 点．已知喷水管及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ． (1)求该抛物线解析式，并写出y的最大值； (2)若， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点，当 时，求两棵树间的水平距离． 28．某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 29．如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽米，矩形部分高米，抛物线的最高点离地面米，按如图建立以所在直线为轴，所在直线为轴的直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高米、宽米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由． (3)在（）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，为弧的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由． 30．如图，在矩形中，四点依次是边，，，上一点（不与各顶点重合），且，记四边形面积为S（图中阴影），． (1)求S关于x的函数表达式． (2)求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 二次函数的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用二次函数求几何图形面积的最值 题型2 利用二次函数解抛物线形问题 题型3 利用二次函数解最大利润问题 题型4 利用二次函数解最小运动距离问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 实际问题建模 二次函数求最值 最大利润 最大面积 抛物线形问题 待定系数法 运动距离 自变量范围 1.掌握用二次函数解决实际问题的一般步骤（审、设、列、解、检），能将实际问题转化为二次函数模型。 2.能利用二次函数性质（顶点坐标公式、配方法）求解几何图形的最大面积和最小周长问题，并注意验证自变量的取值范围。 3.能恰当建立平面直角坐标系，运用待定系数法求解拱桥、隧道、抛球等抛物线形实际问题，并分析结果的实际意义。 4.理解销售问题中的利润关系，熟练掌握“利润=(单件售价-单件进价)×销售量”的模型，利用二次函数求最大利润。 5.能结合勾股定理等几何知识，解决两运动物体间的动态距离最短问题，体会数形结合与化归的数学思想。 学习重点：建立实际问题的二次函数模型，利用二次函数的顶点坐标或配方法求实际问题中的最大值或最小值；根据题目限制条件，准确确定自变量的取值范围并检验结果的合理性。 学习难点：将实际问题抽象转化为二次函数，尤其是抛物线形问题中坐标系位置的合理选择；处理“顶点坐标不在自变量取值范围内”的情况，能根据对称轴一侧的增减性来探讨最值结论，并对现实意义进行合理取舍。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的应用 1.用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细审题，理清题意； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 2.建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5)利用关系式求解问题． 3.利用二次函数解决实际问题的常见类型 常见的问题：求最大 (小) 值 (如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题。 常见应用模型如下： (1)几何图形面积最值问题 模型描述：求矩形、窗户、隧道截面的最大面积或最小周长。 典型例题：用定长材料制作窗框、围栏等。 (2)抛物线形实际模型（拱桥/栅栏/抛球） 模型描述：栅栏底部的抛物线造型，足球射门是否能进球等；物体运行轨迹或物体外形呈抛物线。 关键点：建立恰当的平面直角坐标系（通常以最高点或对称轴为 y 轴）来简化解析式。 (3)经济利润问题（销售/定价） 模型描述：产品销售场景，单价变化导致销量变化，求日均毛利润最大值。 关键公式： (4)运动距离最小问题 模型描述：两个物体在移动过程中的动态距离问题。 关键思路：利用勾股定理建立距离平方（d2）关于时间的二次函数，求d2的最小值即可得到距离d的最小值。 即时即练如图是一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面．已知桥洞的拱形是抛物线． (1)建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． (2)一艘宽为，高出水面的货船能否从该拱桥安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，以水面中心为坐标原点建立坐标系，求出其它两点的坐标，用待定系数法求解析式； （2）依据题意，由船的宽度为，从而可令，求出的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，如图，以水面中心为坐标原点建立坐标系， ，，顶点． 设， 把代入上式， ， ． 该抛物线的函数表达式为； （2）由题意，船的宽度为 令，则． 这艘船不能从该桥下通过． 【易错提醒】 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论. 题型1 利用二次函数求几何图形面积的最值 【例1】如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 【例2】某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米． (1)若饲养场（矩形）的一边长为米，则另一边____米． (2)若饲养场（矩形）的面积为平方米，求边的长． (3)饲养场的面积有最大值吗？若有，求出边的长；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)边的长为米 (3)饲养场的面积有最大值，此时米 【分析】（1）直接根据图形计算即可； （2）设米，则米，根据矩形的面积等于长乘以宽，即可列方程求解； （3）设饲养场的面积为，米，则米，由矩形的面积等于长乘以宽可得，根据二次函数的性质即可判定． 【详解】（1）解：（米）； （2）设米，则米， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，（米），，不合题意，舍去； 当时，（米），符合题意． 边的长为米； （3）饲养场的面积有最大值， 设饲养场的面积为，米，则米， 根据题意得， 整理得， ， 当时，饲养场的面积有最大值为平方米， 即饲养场的面积有最大值，此时米． 【易错提醒】 （1）一些几何图形的面积与其相关边长成二次函数关系时，可以用二次函数的最值求其最大面积。 （2）求矩形的最大面积时，通常用含有自变量x的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造关于x的二次函数，再结合二次函数的图象和性质，利用公式法或配方法求出二次函数的最大值，同时要注意自变量的取值范围，如所有线段长度必须为正数等。 【变式1-1】如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且．已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数，一元二次方程的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，结合图象表示出函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为 ∴ 则种花的面积的最大值为；故②正确 当时，即 即 ∴， ∴铺设草坪的面积可以是；故①正确 当时，即 ∴ 解得：，故③正确， 故选：D． 【变式1-2】如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为米，该窗口的透光面积为平方米（计算透光面积时材料忽略不计）． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意表示出下部分矩形的长，并熟练掌握二次函数的性质． （1）先结合图形得出下部分矩形的长为，再根据矩形的面积公式求解即可； （2）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，下部分矩形的长米， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y最大，最大值为， ∴当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米． 题型2 利用二次函数解抛物线形问题 【例3】如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（ ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求出抛物线当时的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：B． 【例4】今年夏天，桨板这一水上运动成为“夏日新宠”，这项小众的运动从竞技场走向了大众视野，丰富了人们的生活．如图1，人们可以坐在、跪在或者站在桨板上，通过划桨实现前进、转弯，穿梭在城市的河道之间，感受夏日的清凉并欣赏宁波这座城市的夜景．若现在在这个划行的河道之上，有一座桥，其示意图如图2，正常水位时水面宽为24米，此时桥拱最高点C到水面的高度为5米，桥拱可以看成抛物线． (1)若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求此时的函数表达式； (2)已知小兰的身高是，桨板厚度为，在正常水位时，若小兰要笔直的站在桨板上通过这座桥，则其在河道中可通行的安全范围是多少米？（为保证安全，要求头顶距离桥拱至少） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系并得到对应的坐标，利用待定系数法求解是解决本题的关键． （1）利用待定系数法，根据建立的坐标系以及已知条件，求出点A，C的坐标，然后代入求解即可； （2）根据题意可知当时，解方程求出x的值即可确定安全行驶的范围． 【详解】（1）解：以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系， 由题意得，点C的坐标为， ∴点A的坐标为， 设抛物线的表达式为（）， 把代入，得， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴当时，， 解得， ∴在河道中可通行的安全范围是． 【易错提醒】 （1）在示意图中建立适当的平面直角坐标系，将题目中所给条件转化平面直角坐标系中的坐标。 （2）根据图中坐标利用待定系数法求得二次函数的表达式。 （3）由二次函数的性质去分析解决问题，检验问题的结果是否符合实标意义，并作答。 【变式2-1】如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽，顶点离水面．当水面宽时，水面下降（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降， 故选：C． 【变式2-2】在高尔夫比赛中，从地面斜向上击出的高尔夫球离地面的高度满足二次函数关系式，其中是高尔夫球运动的时间，在一次训练时，小明如图击出高尔夫球．已知高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为．如图建立平面直角坐标系． (1)求出和的值； (2)求高尔夫球落地点与击出点的距离的长； (3)若该高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，求的值和此时高尔夫球的高度． 【答案】(1)， (2) (3)或时高尔夫球的高度相同，且此时高度为 【分析】（1）高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，因为抛物线过原点，所以当时，，代入求出的值，即可得到抛物线的解析式，根据抛物线的解析式确定和的值； （2）根据点的纵坐标为，可得，解方程求出的值，即可得到的长度； （3）因为高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，根据抛物线的对称性可知，解方程即可求出的值，把的值代入二次函数的解析式即可求出此时高尔夫球的高度． 【详解】（1）解：高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 当时，， 可得：， 解得：， 抛物线解析式为， 整理可得：， ，； （2）解：点的纵坐标为， ， 解得：（舍去），， ； （3）解：由（1）得：． 抛物线的对称轴为：， 秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同， ， 解得：， 当时，， 答：或时高尔夫球的高度相同，且此时高度为． 题型3 利用二次函数解最大利润问题 【例5】慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可查了根据实际问题列二次函数关系式，由“利润销售额成本”则可列出（元）与实际销售价（件）的函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数关系式． 【详解】解：由题意得：， 故选：． 【例6】某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可售出210件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少售10件，设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？ (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? 【答案】(1)当售价定为每件51或60元，每个月的利润恰为2200元； (2)当售价定为55或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据销售量乘以每件商品的利润即可得到，再求得当时，的值即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 当时，， 解得：，， 当时，，当时，， 答：当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∵x为正整数， ∴当时，，； 当时，，； ∴当售价定为55或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元． 【易错提醒】 （1）利润问题中常用公式 ①每件的利润=销售单价-成本单价； ②总利润=总销售价-总成本价=每件利润×销售量。 （2）利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤： ①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入； ②用含自变量的代数式表示销售商品的成本； ③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式； ④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。 【变式3-1】某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（ ）元． A．2048元 B．2040元 C．1759元 D．1751元 【答案】B 【分析】本题考查二次函数最值问题．设售价为x元（），则销售量为，每个利润为，总利润，化为二次函数，因顶点不在范围内，且函数在上递增，故最大值在处． 【详解】解：设售价x元（）， ∴销售量， 每个利润， ∴总利润． ∵，抛物线开口向下，顶点横坐标， 但，不在范围内， 又∵当时，函数递增， ∴在时P最大， （元）． 故选：B． 【变式3-2】中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第天（，且为整数）与该天销售量（件）之间满足函数关系如表所示： 第天 … 销售量（件） … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价（元）与第天（，且为整数）成一次函数关系且满足．已知该纪念品成本价为元/件． (1)求关于的函数表达式； (2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价元销售，销售第天与该天销售量（件）仍然满足原来的函数关系，问： ①当第天（，且为整数）的销售利润取到最大值，此时的值为多少？ ②若①中销售利润的最大值是元，求此时的值． 【答案】(1) (2)第天利润最大，最大利润为元 (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的最值求解以及分段函数的利润分析，熟练掌握一次函数解析式的求法、二次函数的性质及利润计算公式是解答本题的关键． （1）根据表格中销售量与天数的线性变化规律，设一次函数解析式，代入两组数据求出关于的函数表达式； （2）根据“销售利润销售量(单件售价单件成本)”，结合已知的单价函数与成本价，构建关于的二次函数，利用二次函数的顶点性质求解最大利润及对应的天数； （3）①分析第天起单价下调元后的利润函数，根据二次函数的开口方向与对称轴位置，判断在区间内利润随的变化趋势，确定利润最大值对应的； ②将①中求得的代入利润表达式，结合已知的最大利润值，建立关于的方程并求解． 【详解】（1）解：由表格信息可设，将表格中的数据代入得， ， 解得：， 关于的函数表达式为； （2）解：设总利润为元，则 ， 当时，取得最大值，最大值为25000， 答：第天利润最大，最大利润为元； （3）解：①由题意得，第天开始每件商品的单价为元， 每件商品的利润为：元， 设此时利润为元，则 ， ， 且， 随的增大而减小， 当时，利润取到最大值； ②当时，利润取到最大值， ， 解得：． 题型4 利用二次函数解最小运动距离问题 【例7】如图，船位于船正东处．现在，两船同时出发，船以的速度朝正北方向行驶，船以的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？ 【答案】出发3小时后相距最近，最近距离是40km 【分析】利用勾股定理表示出两船的距离，然后利用配方法求出两车的距离最小值即可． 【详解】解：设时两船相距为km，则km，， 由题意可知 ， 故当时，即时两船相距最近， km， 答：两船出发3小时后相距最近，最近距离是40km． 【例8】月日，“灿都”台风中心在新昌正南方向公里，以千米小时的速度向新昌移动此时小芳因家有急事，不得不外出，她开车从新昌以千米小时的速度向正西方向行驶． (1)当小芳出发小时时，请问小芳与台风中心相距多远？ (2)何时小芳离台风中心最近，最近距离为多少？ 【答案】(1)小芳与台风中心相距千米 (2)小时后小芳离台风中心最近，最近距离为千米 【分析】（1）先根据题意构造直角三角形，然后根据题意表示出两条直角边的长，最后根据勾股定理即可求出小芳出发小时时，与台风中心相距的路程； （2）设小时后小芳离台风中心最近，最近距离为千米，同（1）求法，利用二次函数的最值解答即可． 【详解】（1）解：设点表示新昌，点表示台风中心初始位置，点表示小芳出发小时的位置，点表示台风中心移动小时后的位置， 由题意得公里千米，千米，千米， 千米， 在中，由勾股定理得，千米， 答：小芳与台风中心相距千米； （2）解：设小时后小芳离台风中心最近，最近距离为千米， 由题意得 ， ， 当时，有最小值，最小值为千米， 答：小时后小芳离台风中心最近，最近距离为千米． 【易错提醒】 两点间距离动态问题（如两船航行）：利用勾股定理，建立距离平方的二次函数，求出最小值再开根号，得出实际最短距离。 【变式4-1】有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时刻观测到了一座灯塔，12分钟后测得灯塔位于船的北偏东方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里．经过持续测量船只与灯塔之间距离（海里），发现与船行路程（海里）之间满足二次函数的数量关系（如图2），其中最低点为点，以下说法正确的是（ ） A． B．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 C．船行速度为24海里/小时 D．点在函数图象上 【答案】D 【分析】由点A的坐标和点B的坐标可得这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，利用勾股定理即可判断A；当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里，利用勾股定理求出即可判断D；求出航行12分钟时这艘船的路程，即可判断C；根据对称性可求出这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，据此可判断B． 【详解】解：∵在该函数图象上， ∴当时，，即或（舍去）； ∴当时，这艘船与灯塔的距离为20海里，即这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里， ∵二次函数的最低点B的坐标为， ∴这艘船航行距离为m海里时，该船与灯塔的距离最近，且为海里， ∴当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里， 如图所示，设灯塔的位置用点E表示，船的初始位置用点O表示， 过点E作船行进路线所在的直线的垂线，垂足为H，则海里，海里， ∴由勾股定理得，即，故A说法错误； 当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里， ∴海里， ∴， ∴点在函数图象上，故D说法正确； 设12分钟后这艘船的位置用G点表示，连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∴海里， ∴船行速度为海里/小时，故C说法错误； 由点B的坐标可知，对称轴为直线， ∴由对称性可知点在函数图象上， ∴这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔， ∴船只可以观测到灯塔的持续时间可达小时，故B说法错误． 【变式4-2】如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是． (1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ (2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？ 【答案】(1)如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区 (2) 【分析】本题考查行程问题，方向角； （1）求出当台风中心移动到距 时，轮船是否通过点即可判断； （2）分别确定轮船停止和重新开始移动时台风中心的位置，根据台风中心移动的时间就是停止时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 方法一： 设小时后，当台风中心在点时，轮船在点，此时，则，， ∵， ∴， 整理得， 解得， 当时，，此时轮船还没有经过， ∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； 方法二：当台风中心移动到距 时，移动时间小时， 此时轮船航行距离，即还没有通过点，如果不改变航向，后续必定会进入台风影响区， ∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； （2）解：如图，取点、，使， 当轮船运动到警戒线的点时，此时台风中心移动到点处，运动时间，此时； 轮船从点运动到点用时（小时）， 设台风中心小时从移动到，则， ∴当轮船重新开始移动到点时，此时台风中心距离刚好，此后都不再受台风影响， ∴在轮船停止航行时间段，台风从移动到点，， ∴轮船停止航行时间为（小时）， ∴设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，它至少需要停止航行小时． A组 基础过关 1．如图，一矩形场地，两边长分别为、，现欲在矩形内修两条宽为的小路，剩余部分的面积是，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移、二次函数的应用等知识．把两条路进行平移，一条移动到上方，一条移动到左方，那么剩余部分就变成了边长为和的长方形，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：依题意得把两条路分别进行平移， 长为的路移动到上方，长为的路移动到左方， ∴草坪就变成了边长为和的长方形， ∴， 故选：C． 2．如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键． 本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数的表达式，结合选项的图象可得答案． 【详解】解：正方形边长为4，， ，， ， 是的二次函数，函数的顶点坐标为，开口向上， 从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意． 但是B的顶点在轴上，故B不符合题意，只有A符合题意． 故选：A． 3．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（ ） A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 【详解】解： ，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 4．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 5．如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（ ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练地解一元二次方程． 令，解方程求即可． 【详解】解：令，则， 解得（舍去），， 运动员从起跳到落地所需要的时间为秒． 故选：D． 6．如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 由待定系数法求出函数表达式，即可求解． 【详解】解：由题意得，抛物线顶点的坐标为：，点， 则抛物线的表达式为：， 将点C的坐标代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 故选：A． 7．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 8．伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线．如图所示，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨的交点为原点建立平面直角坐标系，为抛物线与轴的交点，点在抛物线上，关于轴对称．已知抛物线的表达式为，若点到轴的距离是，则两点之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意并结合二次函数对称性，将代入解析式中求出横坐标，即可解题． 【详解】解：点到轴的距离是，关于轴对称． 当时，有， 解得， 两点之间的距离． 9．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日--14日在哈尔滨举行，本届赛会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个． (1)写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式； (3)零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)，（，x为整数） (2) (3)定价56元，最大利润2112元 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数关系式，求一次函数关系式，求二次函数的最大值． （1）根据原来每天的销售量加上增加的个数可得关系式，并写出自变量的取值范围； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量可得关系式； （3）将二次函数关系式配方得出顶点式，再结合二次函数图象的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：，且； （2）解：， 所以函数关系式为； （3）解：， ∵，且x为整数， ∴当时，最大值为2112， 此时定价为. 所以当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润为2112元． 10．如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ 【答案】(1)， (2)； (3)的最大面积是． 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出、的长度是解题的关键． （1）根据题意表示出、的长即可； （2）根据三角形的面积公式列式整理即可得解； （3）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， 即； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，当时，随的增大而增大， 而， ∴当时，， 即的最大面积是． B组 综合提升 11．如图，用总长度为的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与平行，则矩形框架的最大面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值是解题的关键．用含的代数式表示横档的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积． 【详解】解：为米，则， ， 当时，取得最大值4； 长方形框架的面积最大为． 故选：A 12．如图1，中，，点P从A点出发沿折线运动，点Q从点A出发沿线段运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设P点运动时间为，的面积为．如图2是关于的函数图象，下列选项正确的是（ ） A． B． C．y的最大值为2.75 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】由题意可分当点P在线段上时，当点P在线段上时，然后得出y与x的函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：当点P在线段上时，则，，过点P作于点D，如图所示： ∵， ∴， ∴， 由图象可知：当时，则有，解得：（负根舍去），故A错误； 当时，，说明此时点P与点B重合， ∴，故B错误； 当点P在线段上时，分别过点C、P作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，面积最大，最大值为，故C错误； ∴， ∴当时，，故D正确． 13．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小树想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，设抛物线的解析式为，由题意可得，，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可求解，正确求出抛物线的解析式是解题的关键． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可得，，， 把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵当时，， ∴门高为， 故选：． 14．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　） A．180 B．220 C．190 D．200 【答案】D 【分析】由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式，然后根据每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答． 【详解】设y=kx+b，由图象可知，， 解得：， ∴y=﹣2x+60； 设销售利润为p，根据题意得，p=（x﹣10）y =（x﹣10）（﹣2x+60） =﹣2x2+80x﹣600， ∵a=﹣2＜0， ∴p有最大值， 当x=﹣=20时，p最大值=200． 即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用． 15．若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：）与小球运动的时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论： ①小球在空中经过的路程是40； ②与之间的函数关系式为； ③小球运动的时间为6； ④当小球的高度 时， ．以上结论中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点，读懂函数图象是解题的关键． 根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m； 故①错误； ②设函数解析式为：， 把代入得， 解得， 函数解析式为， 故②错误； ③令，， 解得：或6， 小球的运动时间为， 故③正确； ④把代入解析式得，， 解得：或， 小球的高度时，t为秒或秒， 故④错误； 综上，正确的只有一个， 故选A． 16．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论： (1)柱子OA的高度为m； (2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度； (3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m； (4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外. 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题． 【详解】解：当x=0时，y=，故柱子OA的高度为m；(1)正确； ∵y=﹣x2+2x+=﹣（x﹣1）2+2.25， ∴顶点是（1，2.25）， 故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故(2)正确，(3)错误； 解方程﹣x2+2x+=0， 得x1=﹣，x2=， 故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，(4)正确． 故选C． 【点睛】考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键． 17．共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（ ） A．1.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．如图1，是积水管道的圆形截面，水面为．排水过程中，设水面下降的高度为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最高点，且经过．下列选项正确的是（ ） A． B．点C的纵坐标为24 C．点在该函数图象上 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，二次函数的实际应用．设圆心为点E，过点E作于点F，交圆于点G，连接，根据题意得圆E的直径为，，可得到半径，从而得到，在中，利用勾股定理可得，从而得到，再求出抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：设圆心为点E，过点E作于点F，交圆于点G，连接， 根据题意得圆E的直径为，， ∴半径， ∴，即，故A选项错误； ∴ 在中，， ∴，即， ∴点C的纵坐标为20，故B选项错误； 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即点不在该函数图象上，故C选项错误； 当时，，即点在该函数图象上，故D选项正确； 故选：D 19．某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长，球网位于球台正中间，球网高，球网与原点O的水平距离为．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为，距离球台水平面的高度为． (1)求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； (2)请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网； (3)乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为．若最佳击球高度为，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离． 【答案】(1) (2)乒乓球此次飞行能够顺利越过球网 (3)击球点与原点O的水平距离为 【分析】（1）根据题意设函数表达式为，将点代入即可求得结果； （2）将代入函数表达式进行判断即可； （3）先求出乒乓球在桌上的落球点坐标，再根据题意设平移后的，代入求出a的值，最后将代入即可求得结果． 【详解】（1）解：由题意知，设函数表达式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：当时，, ∴乒乓球此次飞行能够顺利越过球网． （3）解：对于函数， 当时，，， ∴乒乓球在桌上落球点坐标为， 由题意，弹起后的图象是由y向右平移a个单位，再向下平移0.25个单位得到， ∴， ∵过点， ∴，解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 当时， 解得，（球在桌外，不合题意舍去）， ∴击球点与原点O的水平距离为． 20．如图，中，，P在边上，于D，点E在P的右侧． (1)若设为x，则的面积是多少． (2)若P是边上的动点，P从点A出发，沿方向运动，始终有，当E到达点B时，P停止运动，求整个运动过程中，阴影部分面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据勾股定理求出，设边上的高为h，，用三角形面积法求出h，然后证明，对应边成比例可以求出，进而用三角形面积公式即可解决问题； （2）结合（1）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：由题意得：； 设边上的高为h， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴,即 ∴， ∴的面积； （2）解：由（1）可知：； ∴， ∵， ∴当时，阴影部分面积有最小值，且最小值为； C组 挑战突破 21．已知直角三角形两条直角边之和为5，则这个直角三角形的面积的最大值为__________ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，设一条直角边为，则另一条直角边为，则，变形为顶点式，即可求出最值． 【详解】解：设一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，S取最大值， 即这个直角三角形的面积的最大值为． 故答案为：． 22．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的顶点式应用，待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的求解，将实际问题转化为二次函数模型是解题关键． 先将已知点代入抛物线顶点式，求出系数的值，得到完整的函数表达式，再令，解关于的一元二次方程，取正根即为铅球掷出的水平距离． 【详解】解： ， 点坐标为， 将代入抛物线中， 可得，解得， 抛物线为， 令，则， 移项、化简：， 解得，（不符合题意，舍去）， 故． 故答案为：． 23．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立平面直角坐标系求出函数式子是解题的关键． 建立平面直角坐标系求出函数式子，再代入数据运算求解即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过水面，纵轴通过中点且通过点， 如图所示： 则通过画图可得知为原点，则抛物线以轴为对称轴，且经过，两点,可知， ∴，， 由图可得：抛物线顶点坐标为， ∴设二次函数的顶点式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴此时水面宽度为， ∴比原先的宽度增加了， 故答案为：． 24．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 25．苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为_________米． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．将代入二次函数的解析式可得或，再根据二次函数的对称轴为直线，然后根据篮球框在抛物线的对称轴的右侧即可得． 【详解】解：由题意，将代入抛物线得：， 解得或， 抛物线的对称轴为直线， ∵篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且， ∴篮球出手至入筐过程中的水平距离长为4米， 故答案为：4． 26．已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间． 【答案】(1)当或时，的长度等于 (2)当时，的面积等于 (3)不能等于，面积的最大值为，理由见详解 【分析】（1）根据题意得到点P移动的时间为，点Q移动的时间为，设运动时间为，则，，由勾股定理列式求解即可； （2）根据三角形面积，结合（1）中，列式求解即可； （3）根据面积公式列式，运用一元二次方程的判别式得到原方程无解，再根据非负性，不等式的性质得到面积的最大值． 【详解】（1）解：点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动， ∴点P移动的时间为，点Q移动的时间为， ∵其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动，设运动时间为， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，， ∴当或时，的长度等于； （2）解：， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴当时，的面积等于； （3）解：不能等于，面积的最大值为，理由如下， 根据题意，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴面积的最大值不能等于， ， ∴当时，面积的最值，最大值为， ∴面积的最大值不能等于，面积的最大值为． 27．如图斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B 处喷出的水流恰好落在 A 处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系， 得到点 ， 点．已知喷水管及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ． (1)求该抛物线解析式，并写出y的最大值； (2)若， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点，当 时，求两棵树间的水平距离． 【答案】(1)，最大值为 (2)米 【分析】本题考查了二次函数应用，待定系数法求函数解析式，函数的最大值，二次函数与一元二次方程的关系，理解二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式，根据顶点式求函数的最大值； 由，列方程求出点N，E的横坐标，进而求出两棵树间的距离． （2）先求直线的解析式，设点，根据结合， 为两棵等高小树列方程求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线解析式为， ， 当时，的最大值为； （2）点,点在轴上， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 故直线的解析式为， 轴， 设点， , ， 解得， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点， ， ， 两棵树间的水平距离为米． 28．某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【答案】(1) (2)喷泉跨度的最小值为3 (3)能够进入该安全通道的人的最大身高为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数图象的不同特点设出相关函数解析式是解题的关键． （1）抛物线过原点，可设抛物线解析式为：，易得抛物线的顶点坐标为，抛物线经过（，把这两点代入可得抛物线的解析式； （2）两个抛物线的形状相同，则二次项的系数相同，抛物线的最高高度相同，那么两个抛物线顶点的纵坐标也相等，设抛物线解析式为顶点式，当喷水管最高时，的值最小，把代入抛物线解析式可得抛物线的解析式，进而求解； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，根据点在过点的抛物线上，点在过点的抛物线上，求得纵坐标相等时的值，代入过点的抛物线可得纵坐标的值，即为能够进入该安全通道的人的最大身高． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，如图， ∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵水柱最高点离地面， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ∵不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同， ∴图3中抛物线的顶点的坐标可设为：， ∴抛物线解析式为：， ∵喷水管最高时，的值最小， ∴抛物线经过点，即， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 当时，， 解得：（负值舍去）， ∴； 答：喷泉跨度的最小值为3； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， 由题意可知：点在抛物线上，点在抛物线上， 则， ∴， ， ， ， 解得：， ∴ ． 答：能够进入该安全通道的人的最大身高为米． 29．如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽米，矩形部分高米，抛物线的最高点离地面米，按如图建立以所在直线为轴，所在直线为轴的直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高米、宽米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由． (3)在（）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，为弧的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能顺利通过隧道，理由见解析 (3)能顺利通过隧道，理由见解析 【分析】（）设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）把代入（）所得函数解析式求出，与卡车高比较即可判断求解； （）设圆弧所在圆的圆心为点，则点在上，连接，在圆上取点，作于点，使得，设与相交于点，圆弧所在圆的半径为，利用勾股定理求得r的长，进而求出和的长度，得到的长度，再与卡车高比较即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，根据题意正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题意得，点坐标为，点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由如下： 当时，， ∴这辆货运卡车能顺利通过隧道； （3）解：这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由如下： 如图，设圆弧所在圆的圆心为点，则点在上，连接，在圆上取点，作于点，使得，设与相交于点，圆弧所在圆的半径为，连接， ∵为弧的中点， ∴，， 又由题意可得，， ∴， ∵， ，解得， ∴， ，， ， ∴这辆货运卡车能顺利通过隧道． 30．如图，在矩形中，四点依次是边，，，上一点（不与各顶点重合），且，记四边形面积为S（图中阴影），． (1)求S关于x的函数表达式． (2)求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值． 【答案】(1)S关于x的函数表达式为，自变量的取值范围是； (2)当时，S的值最大，S的最大值为． 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关键． （1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到S与x的函数关系，并写出x的取值范围． （2）通过对函数关系式配方，化为顶点式，求出函数的对称轴，对称轴在自变量的取值范围内，在对称轴处取得最值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴ ． ∴S关于x的函数表达式为，自变量的取值范围是； （2）∵，，抛物线开口向下， ∴当时，． ∴当时，S的值最大，S的最大值为． 2 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $