第十八章 分式 暑假预习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十八章 分式 七升八暑假预习讲义 学习目标 1.理解分式的概念，能准确区分分式与整式，掌握分式有意义、无意义、值为零的条件. 2.掌握分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分. 3.掌握分式的乘除法、加减法运算法则，能熟练进行分式的混合运算. 4.理解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质，会用科学记数法表示小于1的正数. 5.理解分式方程的概念，掌握解分式方程的方法（含检验），能列分式方程解决实际问题. 知识点一、分式的概念 一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式.其中叫做分子，叫做分母. 注意： （1）分式的分母中必须含有字母，分子中可以含字母，也可以不含字母. （2）分式的分母不能为，即时分式有意义；时分式无意义. （3）分式的值为的条件：且. （4）判断一个代数式是否为分式，只看初始形式，不要约分后再判断. 【例1】下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，，. 【例2】当取何值时，下列分式有意义？ （1）；　　（2）；　　（3）. 【例3】当取何值时，下列分式的值为？ （1）；　　（2）；　　（3）. 【变式1】在代数式，，，，，中，分式的个数为（　　） A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【变式2】当满足什么条件时，分式无意义？ 【变式3】若分式的值为，求的值. 知识点二、分式的基本性质 1.分式的基本性质 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变. 用式子表示为： ，（） 2.约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.约分后的分式称为最简分式（分子与分母没有公因式的分式）. 3.通分 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.通分的关键是确定最简公分母. 注意： （1）约分时，分子与分母都必须是乘积式；若是多项式，必须先因式分解. （2）通分时，最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数，字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积. （3）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变. 【例4】约分： （1）；　　（2）；　　（3）. 【例5】通分： （1）与；　　（2）与. 【变式4】约分： （1）；　　（2）；　　（3）. 【变式5】通分： （1），与；　　（2）与. 知识点三、分式的乘除法 1.乘法法则 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母： （，） 2.除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘： （，，） 3.乘方法则 分式乘方，把分子、分母分别乘方： （，为正整数） 注意： 运算前若能因式分解的，先因式分解；运算结果必须化为最简分式或整式. 【例6】计算： （1）；　　（2）；　　（3）. 【例7】先化简，再求值：，其中. 【变式6】计算： （1）；　　（2）；　　（3）. 【变式7】先化简，再从，，，中选一个合适的值代入求值. 知识点四、分式的加减法 1.同分母分式加减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减： 2.异分母分式加减法 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减： 注意： （1）分子是多项式时，加减时一定要加括号. （2）结果必须化为最简分式或整式. （3）分数线本身具有括号的作用. 【例8】计算： （1）；　　（2）；　　（3）. 【例9】计算：. 【变式8】计算： （1）；　　（2）；　　（3）. 【变式9】计算：. 知识点五、整数指数幂与科学记数法 1.负整数指数幂 当为正整数时，（）. 特别地，（）. 2.整数指数幂的运算性质（、均为整数） （1）；　　（2）；　　（3）； （4）（）；　　（5）（）. 3.科学记数法表示小于1的正数 一般地，一个小于的正数可以表示为的形式，其中，为正整数. 【例10】计算： （1）；　　（2）；　　（3）. 【例11】用科学记数法表示下列各数： （1）；　　（2）；　　（3）. 【变式10】计算： （1）；　　（2）. 【变式11】已知，，求的值. 知识点六、分式方程 1.分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般步骤 （1）去分母：在方程两边同乘最简公分母，化为整式方程； （2）解整式方程； （3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为，则是原方程的解；若为，则是增根，应舍去. 注意： 解分式方程必须检验，这是与解整式方程最大的区别. 3.增根 在分式方程变形时，有可能产生使原方程分母为的根，叫做原方程的增根.增根产生的原因是去分母时未知数的取值范围被扩大了. 【例12】解下列分式方程： （1）；　　（2）. 【例13】若关于的分式方程有增根，求的值. 【变式12】解下列分式方程： （1）；　　（2）. 【变式13】若关于的分式方程无解，求的值. 知识点七、列分式方程解决实际问题 列分式方程解应用题的一般步骤： 1.审题：弄清题意，找出已知量和未知量； 2.设未知数：用字母表示未知量（带单位）； 3.列方程：找出等量关系，列出分式方程； 4.解方程：按解分式方程的步骤求解； 5.检验：既要检验是否为原方程的解，又要检验是否符合实际意义； 6.作答：写出答案（带单位）. 【例14】一艘轮船在静水中的速度为千米/时，它沿江顺流航行千米所用时间与逆流航行千米所用时间相等，求江水的流速. 【变式14】某工厂生产一批零件，原计划每天生产个，实际每天比原计划多生产个，结果提前天完成任务.求这批零件的总数. 【变式15】甲、乙两同学的家与学校的距离均为米.甲同学先步行米后改乘公交车，共用了分钟到达学校；乙同学骑自行车从家到学校用了分钟.已知公交车的速度是乙同学骑车速度的倍，求甲同学步行的速度. 综合测评 1.下列代数式中，属于分式的是（　　） A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 2.若分式的值为，则的值为（　　） A.　　　　 B.　　　　 C.或　　　　 D.不存在 3.下列分式中，是最简分式的是（　　） A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 4.下列运算中，正确的是（　　） A. B. C.　　　　 D. 5.化简的结果是（　　） A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 6.关于的分式方程有增根，则的值为（　　） A. B.　　　　 C.　　　　 D.无法确定 7.若，，则的值为（　　） A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 8.已知，则的值为（　　） A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 9.当________时，分式无意义. 10.化简：__________. 11.计算：________. 12.用科学记数法表示为________. 13.若关于的分式方程无解，则的值为________. 14.观察下列等式：，，，……，根据此规律，计算：___________. 15.计算： （1）； （2）； （3）；　　 （4）. 16.先化简，再从，，，中选一个合适的数代入求值. 17.解下列分式方程： （1）；　　 （2）. 18.已知，，求的值. 19.甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程.甲队单独施工个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.问：哪个队的施工速度快？ 20.在化简时，两位同学分别写出如下第一步运算步骤： 小深：原式＝… 小圳：原式＝… （1）小深解法第一步的依据是　 　 ，小圳解法第一步的依据是　 　 ． A．等式的基本性质 B．分式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律 （2）请你从小深和小圳的两种解法中选择一种解法，接着写出完整的解答过程，并从“3，﹣3，1，﹣1”中选一个合适的数作为x的值，代入求该分式的值． 21.列方程解下列问题： 某企业承担了一款智能机器人的A，B两种型号配件的生产任务．已知该企业每天生产A型配件的数量比每天生产B型配件的数量少30个，且3天生产的A型配件的数量与1天生产的B型配件的数量相等． （1）求该企业每天生产A，B型配件的数量分别是多少个？ （2）如果该企业每天生产A，B型配件的数量分别减少a个和2a个，那么生产200个A型配件的天数与生产700个B型配件的天数相同，求a的值． 22.阅读下面的解题过程，回答问题. 已知，求的值. 解：由，得，即. 两边平方得， 所以. （1）上述解题过程运用了________思想方法（填“整体代入”或“分类讨论”）； （2）若，求的值. 23.通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如， ． 解决下列问题： （1）分式是　 　 分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $答案与解析 知识点一、分式的概念 【例1】 整式： X +1,2:分式： 13 a-b 2’ π x'x+y'a+b 【例2】 (1)x-3≠0，即x≠3； (2)x2-4≠0，即x≠±2： (3)|x|-5≠0，即x≠±5. 【例3】 (1) 由x~2=0 x+3≠0' 解得x=2; (2) 由r-1=0 x+1≠0' 解得x=1: (3) 由”0 解得x=-3. 【变式1】 23x2-y B(分式有axX-y ,共3个) 【变式2】 令x2-2x-15=0,即(x-5)(x+3)=0,解得x=5或x= 无意义 【变式3】 第1页共13页 -3.当x=5或x=-3时，分式 x2-9=0 X=±3 由x-4x+3≠0 得(x-1(x-3≠0' .X=-3 知识点二、分式的基本性质 【例4】 12a2b3 2b (1) -18a3b2= 3a (2) x2-4-(x+2x-2-x-2 x2+4x+4 (x+2)}2 X+2: m3-4m_m(m+2(m-2）_m(m+2) (3) m2-4m+4 (m-22 m-2, 【例5】 (1)最简公分母为6a2b2c, 3 9bc 5a 2ab 6a'b'c'6ab'c 6abci (2)最简公分母为2(x+2)(x-2), 1 X X x(x+2) x2-42(x+2x-2)’4-2x2x-22x+2x-2) 【变式4】 (1) -16xy=-4x 20xy4 5y; (2) a2-6a+9-(a-32=a-3 a2-9(a+3j(a-3)a+3 (3)2x-2y=2xx-y-2x x2-2xy+y2 (x-y)2 x-y 第2页共13页 【变式5】 (1)最简公分母为12x3y2, 2=8xy16x2 515y 3xy 12xy 2xy-12xy'4xy 12xyi (2)最简公分母为a+1)(a-1)(a-2), a(a-2) 2 2(a+1) a2-1(a+1a-1)a-2'a2-3a+2(a-1(a-2j(a+1) 知识点三、分式的乘除法 【例6】 (1) 4a.9b-4a9b2_36ab2_6b 3b 2a3 3b2a3 6ab a2i (281=x+X-山.x+2=x+10x+2= X+2x2+4x+4 x+2x-1 3-2gh=8g 3c 7c3· 【例7】 原式x-x+D=x+1=x, （x+1)(x-1)x-1x+1x-1 当x=2026时，原式=2026. 【变式6】 (1) 5ab.6c5ab6c30abc1 3c2 10a2b 3c2.10a2b 30a2bc2 aci (2) a2-4÷a+2=（a+2(a-2.a-1-a-2 a2-2a+1a-1(a-12a+2a-19 第3页共13页 x2+3x+2; (3)（-3y 29x4y2 222 424 【变式7】 原式-a+3a3a-3_g-3.。=。 (a+32 aa+3a-3a+3 .'a≠-3且a≠0且a≠3， a=1,原式=1+34 11 知识点四、分式的加减法 【例8】 是 (2) 2a1」 2a a+2 2a-a+2) a-2 1 a2-4a-2(a+2)(a-2)（a+2)(a-2)(a+2)a-2)（a+2)(a-2)a+2 (3》×+y=x-y=x-y=1. X-y y-x X-y x-yx-y 【例9】 1-2-+x= x+1 2 x(x-1=x+1-2+x2-x=X-1 x-X-1x+1(x+1(x-1(x+1x-可+x+1x-面x+1x-1x+1x-D1 【变式8】 县员员安 (2)0+109-=1 a-11-aa-1a-1a-1 第4页共13页 (3)2+X12+-1=2+13 x-1x2-2x+1x-1(x-12x-1x-1x-1: 【变式9】 a+2-a-2+8a=(a+2} (a-22 8a a2+4a+4-(a2-4a+4)+8a_a2+ a-2a+2a2-4(a-2)(a+2）(a-2)(a+2）'(a-2)(a+2) (a-2)(a+2 知识点五、整数指数幂与科学记数法 【例10】 23‘(-3=9 (3)(-0.5)°+22=1 21*1、5 44 【例11】 (1)0.000025=2.5×105: (2)-0.000000708=-7.08×107: (3)0.0000000001=1×1010. 【变式10】 9 (2)(a2b)3÷(ab12=ab3÷(a2b2)=a6b3.a7b2=a4b=b 【变式11】 .0.0000003=3×107, 第5页共13页 .∴.n=7:.0.00005=5×105, .m=5.∴.m+n=12. 知识点六、分式方程 【例12】 (1)去分母得2(x+1)=3x,解得x=2. 检验：当x=2时，xx+1)=6≠0， .x=2是原方程的解. (2)去分母得1=(1-x)-3(x-2),即1=1-x-3x+6, 3 检验： 当x=2时，X-20, .X= 是原方程的解 【例13】 去分母得2(x+2)+m=3(x-2), 整理得2x+4+m=3X-6, .x=m+10.原方程有增根，则x2-4=0,即x=±2. 当x=2时，m+10=2,m=-8: 当x=-2时，m+10=-2,m=-12.∴.m=-8或m=-12. 【变式12】 (1)去分母得5(x+1)=3(x-1),解得x=-4. 检验：当x=-4时，（x-1)(x+1)≠0， .x=-4是原方程的解. 第6页共13页 夏 (2)去分母得xx+1)-（x2-1)=3,即x+x-x2+1=3, 检验：当x=2时，x2-1≠0， ∴.x=2是原方程的解. 【变式13】 去分母得x-2(x-3)=m,整理得x-2x+6=m, .x=6-m.原方程无解，则x=3为增根， ∴.6-m=3,m=3.另当整式方程无解时，即x的系数为0， 系数不为0，故只有增根一种情况. .∴.m=3. 知识点七、列分式方程解决实际问题 【例14】 设原计划每天修路x米，则实际每天修(x+20)米， 1200-1200=2, X X+20 去分母得1200(x+20)-1200x=2x(x+20), 整理得x2+20x-12000=0, 解得x=100或x=-120(舍). 经检验，x=100是原方程的解. 答：原计划每天修路100米. 【例15】 设江水的流速为v千米时. 第7页共13页 解得x=2. 但本题整理后x=6-m, 100-60 20+v20-v' 去分母得100(20-v)=60(20+v), 解得v=5. 经检验，v=5是原方程的解。 答：江水的流速为5千米时. 【变式14】 设这批零件的总数为x个. X-义=3， 4050 去分母得5x-4x=600, 解得x=600. 经检验，x=600是原方程的解. 答：这批零件的总数为600个. 【变式15】 设甲同学步行的速度为x米/分，则公交车的速度为2x米分， 2x÷2=x米/分 600,3000-600 2x 二20， X 即600+2400=20， 2x 600,1200 X X ≥20， 1800=20, 第8页共13页 乙同学骑车的速度为 解得x=90. 经检验，x=90是原方程的解. 答：甲同学步行的速度为90米分. 综合测评答案 题号 2 3 4 5 答案 C A B A 1C(a1分母含字母，是分式) 2.A(x-2=0且x+3≠0，得x=2) 3.B+1分子分母无公因式) X+1 4c(号分器上确) 5.A(原式a+2a2.a=) aa-2)a+2 6.B（增根x=3,代入2=m,m=2) 7.c(+b-a+b_a+b-2b_9=2=7) b a ab ab 1 8C(时2得号=2，yX=2w,Xy =2(x=y+3Y==4y+3Y==y=1) (x-y)-2y-2y-2xy-4xy4 9.x=-2（由x2-4=0得x=±2，但x=2时分母为0， 10.X+8(-9=x+3x-3=X+3 0x-3x2-6x+9(x-32x-3 1-1=a+1-(a-1=2 12名1a六7a-1ad 12.1.08×105 第9页共13页 7 8 B C 2y.原式 故x=-2) 13.m=5(去分母得x=m+2(x-5),整理得x=m+2x-10,x=10-m.无解则 x=5为增根，10-m=5,m=5) 2025 14.2026 (原式1分* 11 -=1- 1-2025 20252026 20262026 -+(29+6-202-6=-1+4+1-9=-5 15.(1) -1+6e-3149-（2-5-=-1+1-(2)-5-3-5 (2) (3) 2a-1 2a a+2-2a-(a+2）-a-2 1 a2-4a-2(a+2j(a-2)(a+2a-2(a+2a-2(a+2(a-2a+2 (④-2x+1x1X-1x+1-x=xx+山- x2-1x2+x(x+1)(x-1)x-1x+1x-1 受号22号 .x≠±2且x≠1， 取x-0,原式-8名-2 17.(1)去分母得3(x+1)=5(x-2), 解得x=13 1 检验：当x=号时，(x-2x+120, X号是原方积的解 (2)去分母得2x(x-1)+(x+1)=2(x+1)(x-1), 整理得2x2-2x+x+1=2x2-2,-X+1=-2,x=3. 检验：当x=3时，（x+1)(x-1)≠0， 第10页共13页 ∴.x=3是原方程的解 a+b-a2+b2_(a+b}-2ab_52-2x3_19 18.6a ab ab 3 3 19.设乙队单独完成需要x个月. 甲队施工1个月完成好甲队半个月完成后， 11+1+1=1, 乙队半个月完成2x362x 解得x=1. 检验：x=1是原方程的解. 甲队单独完成需要3个月，乙队单独完成需要1个月.答：乙队的施工速度快. 20解：(1)由题意得，小深解法第一步的依据是分式的基本性质；小圳解法第 一步的依据是乘法分配律， 故答案为：B,D: X-3 x+3 2)小深：原式=5x+3)(x3)(x+3》x1. x+1 x-3+x+3(x+3)(x-3) =(x+3)(x-3)· x+1 2x (x+3)(x-3) =(x+3)（x-3)· x+1 2x =x+1; 1.x2-9,1.x2-9 小圳：原式=x+3x+1'x-3x+1 1（x+3)(x-3)1（x+3)(x-3) =x+3· x+1+x-3·x+1 x-3x+3 =x+1+x+1 x-3+x+3 =x+1 第11页共13页 2x =x+1, x-3≠0，x+3≠0，xH1≠0， .x≠3，-3，-1， 2×1 .当x=1时，原式=1+1=1. 21.解：（1)设该企业每天生产A型配件的数量是x个，每天生产B型配件的数 量是y个， x=y-30 由题意得： 3x=y, x=15 解得： y=45, 答：该企业每天生产A型配件的数量是15个，每天生产B型配件的数量是45 个： 200700 (2)由题意得：15-a=45-2a, 解得：a=5, 经检验，α=5是原方程的解，且符合题意， 答：a的值为5， 22.(1)整体代入 义=1，得y-3y+1-1, (2)由y-3y+1 y 即y-3+=1,y+=4 y 两边平方得y2+=14 y2 1 11 y+y+1y2+1+马14+15. 第12页共13页 2026 23.解：(1)分式x+1是真分式： 故答案为：真； x+1X=23-1+3 (2)原式=x-2x-2 x-2: (x-3)2+5(x-3)-2=x+2-2 (3)原式= x-3 -3, 当x=1时，原式=1+2+1=4， 当x=2时，原式=4+2=6， 当x=4时，原式=4， 当x=5时，原式=6. 第13页共13页