第十三章 三角形 七升八暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

暑假作业7 预习三角形 【变式1】解析：根据三角形的概念可知答案选C. 【变式2】解析：以点B为顶点的三角形有△ABC，△ABD，△ABE；以AC为边的三角形有 △ACB，△ACE，△ACD；在△ADE中，∠ADE的对边是AE；在△ACD中，边AC的对 角是∠ADC. 【变式3】解析：根据三角形按边分类: 可知答案选B. 【变式4】解析：设第三根木料的长度为x， 根据三角形的三边关系，得5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9， 观察四个选项，选项B符合题意． 【变式5】解析：由三边关系得 ，即 。 答案： 【变式6】解析：根据三角形中线的性质可知，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的 三角形.故答案选A. 【变式7】解析：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线． 故答案选C． 【变式8】解析：∵∠C＝∠ABC＝2∠A， ∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°， ∴∠A＝36°． 则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°． 又BD是AC边上的高， 则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°． 【变式9】解析：∵∠BAD是△ABC的外角， ∴∠BAD＝∠B+∠C， ∵∠B＝70°，∠C＝80°， ∴∠BAD＝70°+80°＝150°， 故选：D． 【变式10】解：∵∠ACB＝90°，∠D＝35°， ∴∠CBD＝55°， ∵BD平分∠CBE， ∴∠DBE＝∠DBC＝55°， ∴∠A＝∠DBE﹣∠D＝55°﹣35°＝20°． 综合测评 1．【解答】解：从四根木棒中任取三根，所有等可能的结果共有4种，分别为 （12cm，8cm，5cm），（12cm，8cm，6cm），（12cm，5cm，6cm）， （8cm，5cm，6cm），其中能组成三角形的结果有3种，分别为（12cm，8cm，6cm），（8cm，5cm，6cm），（12cm，8cm，5cm）． 故选：C． 2．【解答】解：AB＝AC＝25cm， ∴0cm＜BC＜50cm． 故选：A． 3．【解答】解：由图可得，以AB为边的三角形有△ABC，△ABD，△ABF，△ABE，一 共有4个． 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 4．【解答】解：由题意可得，这个三角形的第三个内角的度数为180°﹣50°﹣80°＝50°， ∴这个三角形形状是锐角三角形． 故选：C． 5．【解答】解：∵∠1是△ABC的外角，∠B＝40°，∠C＝25°， ∴∠1＝40°+25°＝65°， 故选：C． 6．【解答】解：设三角形的三角的度数是x°，x°，2x°， 则x°+x°+2x°＝180°， 解得x＝45°， ∴2x°＝90°，即这个三角形有一个角是90°， ∴这个三角形是直角三角形． 故选：B． 7．【解答】解：∵∠BAC＝60°，AD是△ABC的角平分线， ∴（角平分线的定义）， 又∠C＝45°， ∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝30°+45°＝75°， 那么∠ADB的度数是75°， 故选：D． 8．【解答】解：将一副三角板按图中方式叠放，如图，∠α为△BCF的外角，由题可知， ∠EBD＝30°，∠ACB＝45°， ∴∠α＝∠EBD+∠ACB＝75°． 故选：C． 9．【解答】解：∵∠D＝35°，AB∥CD， ∴∠D＝∠BAD＝35°， ∵AB平分∠EAD， ∴∠EAB＝∠BAD＝35°， ∵AB∥CD， ∴若∠D＝35°，则∠C＝∠EAB＝35°， 故选：D． 10．【解答】解：∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°， ∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°． 故选：A． 11．【解答】解：太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 12．【解答】解：由三角形三边关系定理得到：7﹣4＜x＜7+4， ∴3＜x＜11， ∴x的值可以为6（答案不唯一）． 故答案为：6（答案不唯一）． 13．【解答】解：第三个角：180°﹣36°﹣54°＝90°， 因此另一个角的度数为90°，按角分类这是一个直角三角形， 故答案为：直角． 14．【解答】解：∵|m﹣25|+（12﹣n）2＝0， ∴m﹣25＝0，12﹣n＝0， ∴m＝25，n＝12， 如果等腰三角形的腰长是25， ∵12+25＞25，满足三角形三边关系定理， ∴此时等腰三角形的周长＝25+25+12＝62； 如果等腰三角形的腰长是12， ∵12+12＜25，不满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的腰长不能是12， ∴△ABC的周长是62． 故答案为：62． 15．【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD， ∵△ADC的周长比△ABD的周长多5cm， ∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝AC﹣AB＝5cm， ∵AB＝13cm， ∴AC＝18cm， 故答案为：18． 16．【解答】解：∵∠B+∠BAD＝∠ADC＝70°，∠B＝∠BAD， ∴∠B＝∠ADC＝35°， ∵∠BAC＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝65°． 故答案为：65． 17．【解答】解：∵a∥b， ∴∠1+∠BAC＝∠2， ∵∠BAC＝∠2﹣∠1＝80°﹣28°＝52°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴∠B＝90°﹣52°＝38°． 故答案为：38°． 18．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABC＝2∠ABP，∠ACM＝2∠ACP， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2×20°＝40°，∠ACM＝2×50°＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， 故选：D． 19．【解答】解：（1）x＝180﹣90﹣50＝40； （2）x+x+40＝180，解得x＝70； （3）x+70＝x+x+10，解得x＝60． 20．【解答】解：（1）∵△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝7，b＝2， ∴根据三角形的三边关系得，a﹣b＜c＜a+b， ∴7﹣2＜c＜7+2， 解得5＜c＜9， 则c的取值范围是5＜c＜9； （2）由（1）可得5＜c＜9， ∵c的长为奇数， ∴c＝7， ∴c＝a， ∴△ABC的形状为等腰三角形． 21．【解答】解：CD是△ABC中AB边上的高线， 因为CD⊥AB，∠B＝50°， 所以∠BCD＝40°． 因为∠ACB＝70°， 所以∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝70°﹣40°＝30°． 答：∠ACD的度数为30°． 22．【解答】解：∵＝0， ∴， 解得， ∵a为方程|a﹣3|＝2的解， ∴a＝5或1， 当a＝1，b＝5，c＝7时，1+5＜7， 不能组成三角形，故a＝1不合题意； ∴a＝5， ∴△ABC的周长＝5+5+7＝17， ∵a＝b＝5， ∴△ABC是等腰三角形． 23．【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式＝b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c＝a+b+c； （2）若a是底边，则b＝c，则2b+4＝18， 解得：b＝7，即b＝c＝7， 若a是腰，a＝b，则2×4+c＝18，解得：c＝10， 而4+4＜10，不能构成三角形，舍去， 所以b＝c＝7． 24．【解答】解：（1）∵∠A＝25°，∠B＝40°， ∴∠FCE＝∠A+∠B＝65°， ∵DF⊥AC， ∴∠FEC＝90°， ∴∠F＝90°﹣∠FCE＝90°﹣65°＝25°． 故答案为：65，25； （2）∠A+∠B+∠F＝90°． 理由如下： ∵DF⊥AC， ∴∠FEC＝90°， ∴∠F+∠FCE＝90°， ∵∠FCE＝∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F＝90°． 25．【解答】解：（1）； 理由：∵∠ADE是△ABD的外角， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD， ∵AE⊥BC， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADE， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴， 又∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∴， ∴； （2）， 理由：∵∠FDE是△ABD的外角， ∴∠FDE＝∠B+∠BAD， ∵FE⊥BC， ∴∠F＝90°﹣∠FDE， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴， 又∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∴， ∴； （3）∠ECD＝（∠ACB﹣∠B）． 理由：∵∠ADE是△ABD的外角， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD， ∵CE⊥AD， ∴∠ADE＝90°﹣∠ECD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝， ∴∠B+∠BAD＝90°﹣∠ECD，即∠B+＝90°﹣∠ECD， ∴∠BAC+2∠B+2∠ECD＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB， ∴180°﹣∠B﹣∠ACB+2∠B+2∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝（∠ACB﹣∠B）． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假作业7 三角形章节预习 学习目标 1.理解三角形的定义及相关概念（顶点、边、内角），掌握三角形的表示方法. 2.掌握三角形按角、按边的分类标准. 3.掌握三角形三边关系定理及其推论，能判断三条线段能否构成三角形. 4.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，掌握它们的画法及性质. 5.掌握三角形内角和定理及外角性质，能进行相关计算与推理. 知识点一、三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角.如图，线段AB，BC，CA是三角形的边；点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.△ABC的三边有时也用a，b，c来表示.如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 【例1】如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，线段AD，BE相交于点F. （1）写成以点C为顶点的三角形； （2）写成以AB为边的三角形； （3）写出以∠1为角的三角形. 【解析】根据三角形的概念，并结合图形可知： （1）以点C为顶点的三角形有△CAB，△CAD，△CBE； （2）以AB为边的三角形有△ABF，△ABC； （3）以∠1为角的三角形有△ABF，△ABE. 【变式1】下列说法中，正确的是（ ） A.由三条线段组成的图形叫做三角形 B.由三条直线组成的图形叫做三角形 C.由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形 D.由三条射线组成的图形叫做三角形 【变式2】如图，在△ABC中，点D，E在BC上.则以点B为顶点的三角形有________________________；以AC为边的三角形有___________________；在△ADE中，∠ADE的对边是_______；在△ACD中，边AC的对角是_______. 知识点二 三角形的分类： 分类标准 类型 特征 按角分 锐角三角形 三个角都是锐角（小于90°） 直角三角形 有一个角是直角（等于90°） 钝角三角形 有一个角是钝角（大于90°） 按边分 不等边三角形 三边都不相等 等腰三角形 至少有两边相等（腰） 等边三角形 三边都相等（正三角形） 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形. 例2 三角形按边分类可以用下面的图形来表示，小椭圆里的A表示（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【解析】根据三角形按边分类: 可知椭圆里的A表示等边三角形，故选D. 【变式3】三角形按边分类可分为（ ） A.不等边三角形、等边三角形 B.等腰三角形、等边三角形 C.不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 D.不等边三角形、等腰三角形 知识点三 三角形三边关系定理 定理：三角形两边的和大于第三边. 推论：三角形两边的差小于第三边. 判断方法：已知三条线段长分别为、、（设），若，则能构成三角形；否则不能. 【例3】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A.　　　B.　　　C.　　　D. 【解析】：根据三角形三边关系，只需验证“较小两边之和>最大边”： A.，不大于，不能组成三角形； B.，能组成三角形； C.，不能组成三角形； D.，不能组成三角形. 故选B. 【例4】用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少? （2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗?为什么? 【解析】（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm，则 x+3x+3x=21, 解得x=3. 所以，三角形三边的长分别为3cm，9cm，9cm. （2）因为长为5cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. ①当5cm长的边为底边时，设腰长为xcm，则5+2x=21. 解得x=8. ②当5cm长的边为腰时，设底边长为ycm，则 2×5+y=21. 解得y=11. 因为5十5≤11，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长是5cm的等腰三角形. 综上所述，可以围成底边长是5cm的等腰三角形. 【变式4】已知三角形两边长分别为和，则第三边长可能是（ ） A.　　　B.　　　C.　　　D. 【变式5】现有两根木条，长分别为和，要选择第三根木条钉成一个三角形木架，第三根木条的取值范围是____________. 知识点四 三角形的高、中线与角平分线 如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线.一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. 几何语言： ∵AD是△ABC的中线 ∴BD=CD（或BC=2BD或BD=BC） 结论：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形.即如果AD是△ABC的中线，那么. 如图，画ABC的∠BAC的平分线AD，交∠BAC所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线.三角形的三条角平分线相交于一点. 几何语言： ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠1=∠2 （或∠BAC=2∠1或∠1=∠BAC） 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高. 几何语言： ∵AD是△ABC的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 锐角三角形的三条高都在三角形的内部(图1)；直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边(图2)；钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上(图3). 图1 图2 图3 注意：三角形的三条重要线段（高、中线、角平分线）都是线段，不是直线或射线.钝角三角形的两条高在三角形外部，画高时需注意延长对边. 【例5】如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高.填空: （1）BD=_______=________； （2）∠CAE=________； （3）∠AFC=________=90°； （4）若BC=6,AF=3,则_____；_____. 【解析】根据三角形的中线、角平分线即高线的定义可知： （1）BD=CD=BC；（2）∠CAE=∠BAC；（3）∠AFC=∠AFB=90°； （4）若BC=6,AF=3,则；. 【变式6】在三角形中，一定能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ） A.中线　　　B.高线　　　C.角平分线　　　D.某一边的垂线 【变式7】画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点五 三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于. 表示为：. 推论：直角三角形的两个锐角互余. 在△ABC中，若，则. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，若，则，即△ABC是直角三角形. 【例6】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，若∠CAD＝20°，∠B＝50°． （1）求∠ACB的度数； （2）∠AEC的度数． 【解析】（1）∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠CAD＝20°， ∴∠ACB＝90°﹣∠CAD＝70°， （2）∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°， ∵CE平分∠ACB， ∴， ∴∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACE＝85°． 【变式8】如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数． 知识点六 三角形的外角 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角. 如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和. 几何语言： ∵∠ACD是△ABC的一个外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 【例7】如图,∠4，∠5，∠6是△ABC的三个外角，它们的和是多少? 【解析】根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，得 ∠4=∠2+∠3； ∠5=∠1+∠3； ∠6=∠1+∠2； ∴∠4+∠5+∠6=2（∠1+∠2+∠3）, ∵∠1+∠2+∠3=180°, ∴∠4+∠5+∠6=360°. 【变式9】如图，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝80°，延长CA到点D，则∠BAD的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【变式10】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的延长线上一点，BD平分∠CBE，交AC的延长线于点D，若∠D＝35°，求∠A的度数． 综合测评 1．四根木棒的长度分别为12cm，8cm，5cm，6cm．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，能够组成三角形的结果有几种（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．一个衣架的示意图如图所示，若AB＝AC＝25cm，则衣架底部横杆BC的长可能为（　　） A．40cm B．50cm C．60cm D．70cm 3．已知，如图，以AB为边的三角形的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 5．如图，∠1是△ABC的外角，则∠1的度数为（　　） A．115° B．75° C．65° D．60° 6．如果一个三角形的三个内角度数之比是1：1：2，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 7．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝45°，AD是△ABC的角平分线，那么∠ADB的度数是（　　） A．80° B．60° C．65° D．75° 8．将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（　　） A．45° B．60° C．75° D．90° 9．如图，已知AB∥CD，且AB平分∠EAD，若∠D＝35°，则∠C的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 10．如图，在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．130° 11．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是　 　． 12．若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为 　 　．（只需写出满足要求的一种情况即可） 13．一个三角形的两个内角的度数分别为36°和54°，按角分类它是　 　 三角形． 14．若实数m，n满足|m﹣25|+（12﹣n）2＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是　 　 ． 15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，若AB＝13cm，则AC的长为 　 　 cm． 16．如图，D是△ABC的边BC上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝70°，∠BAC＝80°，则∠C＝ 　 　 °． 17．如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为　 　． 18．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A等于　 　． 19．求出下列各图形中x的值． 20．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝7，b＝2． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为奇数，请判断△ABC的形状． 21．如图，CD是△ABC中AB边上的高线，若∠B＝50°，∠ACB＝70°，求∠ACD的度数． 22．已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 23．已知a，b，c是△ABC的三边长． （1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|； （2）若△ABC为等腰三角形，且周长为18，a＝4，求b，c的值； 24．如图，在△ABC中，D是AB边上的动点，过点D作DF⊥AC交AC于E，交BC的延长线于点F． （1）若∠A＝25°，∠B＝40°，则∠FCE＝ 　 　°，∠F＝ 　 　°； （2）在D点运动的过程中，探究∠A+∠B+∠F是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 25．（1）如图①，在△ABC中，∠B＜∠C，AE⊥BC，AD是∠BAC的平分线．试写出∠DAE，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图②，若点F在AD的延长线或反向延长线上，作FE⊥BC，其他条件不变，试写出∠F与∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图③，若把（1）中的“AE⊥BC”改为“CE⊥AD”，其他条件不变，试写出∠ECD与∠B，∠ACB之间的数量关系，并证明你的结论． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $