第二章对称图形--圆章节提优卷2025-2026学年苏科版九年级数学上册

第二章对称图形--圆章节提优卷苏科版九年级上 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　） A．45° B．50° C．60° D．75° 2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 3．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　） A． cm B．9 cm C．cm D．cm 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（　　） A． B．2 C．2 D．8 5．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A．4 B． C． D． 6．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 7．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 8．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 二．填空题（共9小题，每题3分，共27分） 9．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 　 　 ． 10．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是　 　 ． 11．如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 　 （结果保留π）． 12．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　 　 ． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是　 　 ． 14．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为　 　 ． 16．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为　 　 ． 17.如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共8小题，共99分） 18.如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 19.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E． （1）求证：AE＝AB； （2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长． 20．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD＝5：24 （1）求CD的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 21．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD． （1）求证：BE＝CE； （2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由； 22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC． （1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数； （2）求证：∠1＝∠2． 23．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC的形状：　 　 ； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 24．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． 25．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E （1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由； （2）如果∠BED＝60°，，求PA的长． （3）在（2）的条件下，将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形． 参考答案 一．选择题 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　） A．45° B．50° C．60° D．75° 【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β； ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠ABC＝∠AOC； ∵∠ADC＝β，∠ADC＝α；而α+β＝180°， ∴， 解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°， 故选：C． 2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 【解答】解：∵∠A＝22.5°， ∴∠BOC＝2∠A＝45°， ∵⊙O的直径AB垂直于弦CD， ∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形， ∴CE＝OC＝2， ∴CD＝2CE＝4． 故选：C． 3．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　） A． cm B．9 cm C．cm D．cm 【解答】解： 连接OA、OB、OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠ADO＝∠BCO＝90°， ∵在Rt△ADO和Rt△BCO中 ∵， ∴Rt△ADO≌Rt△BCO（HL）， ∴OD＝OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC， 设AD＝acm，则OD＝OC＝DC＝AD＝acm， 在△AOD中，由勾股定理得：OA＝OB＝OE＝acm， ∵小正方形EFCG的面积为16cm2， ∴EF＝FC＝4cm， 在△OFE中，由勾股定理得：＝42+， 解得：a＝﹣4（舍去），a＝8， a＝4（cm）， 故选：C． 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（　　） A． B．2 C．2 D．8 【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图， ∵OH⊥CD， ∴HC＝HD， ∵AP＝2，BP＝6， ∴AB＝8， ∴OA＝4， ∴OP＝OA﹣AP＝2， 在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°， ∴∠POH＝60°， ∴OH＝OP＝1， 在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1， ∴CH＝＝， ∴CD＝2CH＝2． 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A．4 B． C． D． 【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图， ∵⊙P的圆心坐标是（3，a）， ∴OC＝3，PC＝a， 把x＝3代入y＝x得y＝3， ∴D点坐标为（3，3）， ∴CD＝3， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴△PED也为等腰直角三角形， ∵PE⊥AB， ∴AE＝BE＝AB＝×4＝2， 在Rt△PBE中，PB＝3， ∴PE＝， ∴PD＝PE＝， ∴a＝3+． 故选：B． 6．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示： 则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3， ∴EG＝AG﹣AE＝2， 在Rt△BOG中，OG＝＝＝2， ∴EG＝OG， ∴△EOG是等腰直角三角形， ∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2， ∵∠DEB＝75°， ∴∠OEF＝30°， ∴OF＝OE＝， 在Rt△ODF中，DF＝＝＝， ∴CD＝2DF＝2； 故选：C． 7．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝2+1， ∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+； 故选：B． 8．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， 在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3， ∴OC＝＝5， ∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴PC最小值为2． 故选：B． 二．填空题 9．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 　4　 ． 【解答】解：∵OD⊥BC， ∴BD＝CD＝BC＝3， ∵OB＝AB＝5， ∴OD＝＝4． 故答案为4． 10．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是　　 ． 【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA． ∵AB＝2， ∴AE＝，PA＝2， ∴PE＝1． ∵点D在直线y＝x上， ∴∠AOC＝45°， ∵∠DCO＝90°， ∴∠ODC＝45°， ∴∠PDE＝∠ODC＝45°， ∴∠DPE＝∠PDE＝45°， ∴DE＝PE＝1， ∴PD＝． ∵⊙P的圆心是（2，a）， ∴点D的横坐标为2， ∴OC＝2， ∴DC＝OC＝2， ∴a＝PD+DC＝2+． 故答案为：2+． 11．如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　3﹣π　 （结果保留π）． 【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F． ∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°， ∴DF＝AD•sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝2， ∴阴影部分的面积： 4×1﹣﹣2×1÷2 ＝4﹣π﹣1 ＝3﹣π． 故答案为：3﹣π． 12．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　　 ． 【解答】解：连接OD，如图， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ∴CD＝＝， 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合， ∴CD＝CB＝AB＝×1＝， 即CD的最大值为， 故答案为：． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是　3＜r＜5　 ． 【解答】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝4，AD＝3， 则BD＝＝5． 由图可知3＜r＜5． 故答案为：3＜r＜5． 14．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 　3或4　 ． 【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x． 在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2， ∴x2＝42+（8﹣x）2， ∴x＝5， ∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3． 如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形． ∴PM＝PK＝CD＝2BM， ∴BM＝4，PM＝8， 在Rt△PBM中，PB＝＝4． 综上所述，BP的长为3或4． 15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为　（3，2）　 ． 【解答】解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP， ∵A（6，0），PD⊥OA， ∴OD＝OA＝3， 在Rt△OPD中， ∵OP＝，OD＝3， ∴PD＝＝＝2， ∴P（3，2）． 故答案为：（3，2）． 16．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为　2﹣2　 ． 【解答】解：如图，连接BE，BD． 由题意BD＝＝2， ∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE， ∴BE＝MN＝2， ∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧， ∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小， ∴DE的最小值为2﹣2．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥2﹣2确定最小值） 故答案为2﹣2． 17．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是 　14﹣4　 ． 【解答】解：设P（x，y）， ∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2， ∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2， ∵OP2＝x2+y2， ∴PA2+PB2＝2OP2+2， 当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值， ∴OP的最小值为CO﹣CP＝﹣1， ∴PA2+PB2最小值为14﹣4． 故答案为：14﹣4． 三．解答题 18．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 【解答】解：（1）证明：如图，连接OE， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵DF＝FE， ∴∠FED＝∠FDE， ∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°， ∴∠FED+∠OEC＝90°， 即∠FEO＝90°， ∴OE⊥FE， ∵OE是半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1， ∴FE＝2BD＝2（r﹣1）， 在Rt△FEO中，由勾股定理得， FE2+OE2＝OF2， ∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2， 解得r＝3，或r＝1（舍去）， ∴⊙O的半径为3． 19．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E． （1）求证：AE＝AB； （2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长． 【解答】（1）证明：连接AC、OC，如图， ∵CD为切线， ∴OC⊥CD， ∵CD⊥AD， ∴OC∥AD， ∴∠OCB＝∠E， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B， ∴∠B＝∠E， ∴AE＝AB； （2）解：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝＝8， ∵AB＝AE＝10，AC⊥BE， ∴CE＝BC＝6， ∵CD•AE＝AC•CE， ∴CD＝＝． 20．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD＝5：24 （1）求CD的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 【解答】解：（1）∵直径AB＝26m， ∴OD＝， ∵OE⊥CD， ∴， ∵OE：CD＝5：24， ∴OE：ED＝5：12， ∴设OE＝5x，ED＝12x， ∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2＝132， 解得x＝1， ∴CD＝2DE＝2×12×1＝24m； （2）由（1）得OE＝1×5＝5m， 延长OE交圆O于点F， ∴EF＝OF﹣OE＝13﹣5＝8m， ∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满． 21．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD． （1）求证：BE＝CE； （2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由； 【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝∠ACD＝90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE； （2）四边形BFCD是菱形． 证明：∵AD是直径，AB＝AC， ∴AD⊥BC，BE＝CE， ∵CF∥BD， ∴∠FCE＝∠DBE， 在△BED和△CEF中， ， ∴△BED≌△CEF（ASA）， ∴CF＝BD， ∴四边形BFCD是平行四边形， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴BD＝CD， ∴四边形BFCD是菱形； 22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC． （1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数； （2）求证：∠1＝∠2． 【解答】（1）解：∵BC＝DC， ∴∠CBD＝∠CDB＝39°， ∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝39°+39°＝78°； （2）证明：∵EC＝BC， ∴∠CEB＝∠CBE， 而∠CEB＝∠2+∠BAE，∠CBE＝∠1+∠CBD， ∴∠2+∠BAE＝∠1+∠CBD， ∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD， ∴∠1＝∠2． 23．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC的形状：　等边三角形　 ； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形． 证明如下：在⊙O中 ∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC， 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）在PC上截取PD＝AP，连接AD，如图1， 又∵∠APC＝60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°． 又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°， ∴∠ADC＝∠APB， 在△APB和△ADC中， ， ∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP＝CD， 又∵PD＝AP， ∴CP＝BP+AP； （3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大． 理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E． 过点C作CF⊥AB，垂足为F． ∵S△APB＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF， ∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF）， 当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径， ∴此时四边形APBC的面积最大． 又∵⊙O的半径为1， ∴其内接正三角形的边长AB＝， ∴S四边形APBC＝×2×＝． 24．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴BD平分∠ADC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°， ∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°； （2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE， ∴∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠AED＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴BD是圆的直径， ∴BD垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∵AC＝AD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60° ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠ADC＝30°， ∵CF∥AD， ∴∠F+∠BAD＝180°， ∴∠F＝90°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠FBC+∠ABC＝180°， ∴∠FBC＝∠ADC＝60°， ∴BC＝2BF＝4， ∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°， ∴BC＝BD， ∵BD是圆的直径， ∴圆的半径长是4． 25．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E （1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由； （2）如果∠BED＝60°，，求PA的长． （3）在（2）的条件下，将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形． 【解答】（1）解：直线PD为⊙O的切线 证明：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90° ∴∠ADO+∠BDO＝90°， 又∵DO＝BO，∴∠BDO＝∠PBD ∵∠PDA＝∠PBD，∴∠BDO＝∠PDA ∴∠ADO+∠PDA＝90°，即PD⊥OD ∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线． （2）解：∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA＝90° ∵∠BED＝60°，∴∠P＝30° ∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO＝90° 在Rt△PDO中，∠P＝30°， ∴，解得OD＝1 ∴ ∴PA＝PO﹣AO＝2﹣1＝1 （3）（方法一）证明：如图2，依题意得：∠ADF＝∠PDA，∠PAD＝∠DAF ∵∠PDA＝∠PBD∠ADF＝∠ABF ∴∠ADF＝∠PDA＝∠PBD＝∠ABF ∵AB是圆O的直径∴∠ADB＝90° 设∠PBD＝x°，则∠DAF＝∠PAD＝90°+x°，∠DBF＝2x° ∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF＝180° 即90°+x+2x＝180°，解得x＝30° ∴∠ADF＝∠PDA＝∠PBD＝∠ABF＝30° ∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE＝BE，∠EBA＝90° ∴∠DBE＝60°，∴△BDE是等边三角形． ∴BD＝DE＝BE 又∵∠FDB＝∠ADB﹣∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∠DBF＝2x°＝60° ∴△BDF是等边三角形．∴BD＝DF＝BF ∴DE＝BE＝DF＝BF，∴四边形DFBE为菱形 （方法二）证明：如图3，依题意得：∠ADF＝∠PDA，∠APD＝∠AFD， ∵∠PDA＝∠PBD，∠ADF＝∠ABF，∠PAD＝∠DAF， ∴∠ADF＝∠AFD＝∠BPD＝∠ABF ∴AD＝AF，BF∥PD ∴DF⊥PB∵BE为切线∴BE⊥PB ∴DF∥BE ∴四边形DFBE为平行四边形 ∵PE、BE为切线∴BE＝DE ∴四边形DFBE为菱形 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/3 12:41:27；用户：名思；邮箱：cskw06@xyh.com；学号：32366772 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $