精品解析：吉林长春市吉林大学附属中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

吉林大学附属中学八年级下学期期末试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 2. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年6月，复旦大学科研团队研制出的半导体电荷存储器“破晓”实现在线运行．其擦写速度提升至秒实现一次擦或者写．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，一定是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点，要通过一次变换使与完全重合，下列说法正确的是（ ） A. 通过一次平移变换即可实现 B. 通过一次轴对称变换即可实现 C. 通过一次中心对称变换即可实现 D. 上述单一变换都无法实现 7. 某厂今年前五个月生产某种产品的总产量Q（件）与时间t（月）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产 B. 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月停止生产 C. 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少 D. 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3月持平 8. 如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 化简________． 10. 已知直线的图象与直线平行，且经过点，则该直线的函数表达式为________________． 11. 已知正比例函数与反比例函数的图象没有交点，写出一个符合条件的k的值为______________． 12. 如图，在平行四边形中，，，平分交边于点，则线段的长度为_________． 13. 若关于的分式方程有增根，则_______． 14. 如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中一定成立的是_________． ①四边形的面积随着转动而变化；②；③四边形是菱形；④当纸条宽度是时，四边形周长的最小值为． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，再从，，，之中选择合适的数作为的值代入求值． 17. 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．求乙程序员每小时输入多少名学生的成绩？ 18. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点E，F，连接，与相交于点，与相交于点，与交于点，连接、． （1）通过尺规作图可知直线是线段的______； （2）求证：四边形是菱形． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点均在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹． （1）在图①中以为边画一个面积为8的； （2）在图②中以为边画一个面积为4的菱形； （3）在图③中以为边画一个面积最大的矩形． 20. 为让学生了解吉林乡土文化，立德中学拟举办主题为“吉林乡土文化”的知识竞赛活动．九年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图所示的统计图． 一班预赛成绩统计图 二班预赛成绩统计图 （1）这次预赛中，一班有_____人参加比赛，二班成绩是A等和B等的共有____人； （2）这次预赛中一班成绩的平均数为_____分，二班成绩的中位数为_____分，二班成绩的众数为_____分； （3）已知两个班参加预赛学生成绩的方差分别为，，从平均数、众数、方差中任选一个量，结合九年级一班和二班预赛成绩，解释其在本题中的意义． 21. 小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，如图1．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足函数关系，小泉通过测量，得到如下6组数据： 单层部分的长度 … 20 30 40 50 60 70 … 双层部分的长度 … 55 50 45 40 35 30 … （1）请在图2的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式及自变量取值范围，并画出这个函数的图象； （2）根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度为____________． （3）结合人体工学与前两问的结论，小泉计划为身高的同学设计一款适配挎包．已知人体工学建议：挎带总长度与使用者身高比值为时，佩戴舒适度最佳．请根据以上信息，计算此时挎包单层部分的长度． 22. 本学期我们研究了三角形的中位线的性质：三角形中位线定理是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （1）【方法迁移】梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路： 如图②，连接并延长，交的延长线于点G． ①探究中位线和两底、之间的数量关系，并说明理由． ②直接写出中位线和两底、之间的位置关系是___________． （2）【理解内化】已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是_____． 23. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题的关键．如图1，在矩形中，，，F为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点B的对应点为E． （1）当点E落在边上时，四边形的形状为__________． （2）如图2当点E落在对角线上时，求线段的长． （3）当平分时，过点E作于G，则_______． （4）在点F运动的过程中，当F，E，D三点共线时，请直接写出线段的长_______． 24. 若一次函数的图象经过点、，点的坐标为，点的横坐标为． （1）的值为_________； （2）若线段的最高点与最低点的纵坐标差为，求的值； （3）已知点，以坐标原点为中心构造矩形，且轴． ①若矩形的周长是，求此时点的坐标； ②若线段与矩形的边有且只有两个公共点，的取值范围是___________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林大学附属中学八年级下学期期末试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 【答案】A 【解析】 【分析】将a，b扩大为原来的3倍后代入原分式，利用分式的基本性质化简，将化简结果和原分式比较，即可得到分式值的变化． 【详解】解：把中a、b都扩大为原来的3倍，得到新分式，与原分式相等， 因此分式的值不变． 2. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正比例函数的形式为（是常数，），据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项不符合的形式，不符合正比例函数定义； B选项含有常数项，不符合正比例函数定义； C选项不符合的形式，不符合正比例函数定义； D选项中，符合正比例函数定义． 3. 2026年6月，复旦大学科研团队研制出的半导体电荷存储器“破晓”实现在线运行．其擦写速度提升至秒实现一次擦或者写．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法表示形式为，，确定和即可求解． 【详解】解：． 4. 如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半和正方形面积公式求解即可． 【详解】解：在中，D是斜边的中点，， ， 正方形的面积为． 5. 下列各式中，一定是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、的被开方数，不含能开得尽方的因数，也不含分母，满足最简二次根式的定义，符合题意； B、的被开方数，无意义，不符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、的被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意． 6. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点，要通过一次变换使与完全重合，下列说法正确的是（ ） A. 通过一次平移变换即可实现 B. 通过一次轴对称变换即可实现 C. 通过一次中心对称变换即可实现 D. 上述单一变换都无法实现 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质确定两个三角形的位置关系，再依次判断平移、轴对称、中心对称三种变换能否一次完成重合，选出正确选项． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ 点与点、点与点关于点中心对称， ∴ 绕点旋转（一次中心对称变换）可与完全重合， 平移、一次轴对称变换无法使两个三角形重合， 故正确的是C项． 7. 某厂今年前五个月生产某种产品的总产量Q（件）与时间t（月）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产 B. 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月停止生产 C. 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少 D. 1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3月持平 【答案】A 【解析】 【分析】本题是一个分段函数1，2，3月该产品的总产量 Q(件)与时间t(月)的函数图象是正比例函数图象，4，5月总产量 Q(件)没有变化． 【详解】解∶根据图象得∶ 1月至3月，该产品的总产量 Q(件)与时间t(月) 的函数图象是正比例函数图象， 所以每月产量是一样的，4月至5月，产品的总产量 Q (件)没有变化，即4月， 5月停止了生产． 故A符合题意． 8. 如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】由于直线与双曲线都是关于原点的中心对称图形，根据对称性可得，，再由，即可判定四边形一定是平行四边形． 【详解】解：如图， ∵直线与双曲线是关于原点的中心对称图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形不可能是菱形或正方形， ∵只有当时，四边形是矩形， ∴四边形不一定是矩形， ∴四边形一定是平行四边形． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 化简________． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式完成化简． 【详解】解： ． 10. 已知直线的图象与直线平行，且经过点，则该直线的函数表达式为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象平行的性质，可得两直线平行时比例系数相等，先求出的值，再利用待定系数法将已知点代入解析式求解，即可得到该直线的函数表达式． 【详解】解：直线的图象与直线平行， ， ∴， 把点代入，得， 解得， ∴该直线的函数表达式为． 11. 已知正比例函数与反比例函数的图象没有交点，写出一个符合条件的k的值为______________． 【答案】（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】根据题意得到正比例函数的图象分布在第二，四象限，得到，写出一个符合范围的值即可． 【详解】解：∵对于反比例函数，比例系数， ∴反比例函数的图象分布在第一，三象限， ∵正比例函数与反比例函数的图象没有交点， ∴正比例函数的图象分布在第二，四象限， ∴， ∴符合条件的可以为（答案不唯一）． 12. 如图，在平行四边形中，，，平分交边于点，则线段的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行且相等得到、，结合角平分线推出，得到，进而求出线段的长度． 【详解】解：平分， ， 又四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 13. 若关于的分式方程有增根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程增根的定义得到使分母为的根，再将分式方程化为整式方程，进而求出参数的值． 【详解】解：令，得增根， 方程两边同乘最简公分母得：， 将代入，得， ， 验证：当时，原方程为， 去分母得， 解得， 让分母，是增根，符合题意． 14. 如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中一定成立的是_________． ①四边形的面积随着转动而变化；②；③四边形是菱形；④当纸条宽度是时，四边形周长的最小值为． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先根据纸条对边平行判定重合四边形为平行四边形，再结合纸条宽度相等证明邻边相等得到菱形，依次推导验证四条结论的正误，筛选成立的结论． 【详解】解：∵两张纸条对边互相平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵纸条宽度相同， ∴平行四边形两组对边上的高相等，设为两组对边上都为， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故③正确． ∵菱形面积底纸条宽度，转动时底边长改变，宽度不变， ∴四边形的面积随转动变化，故①正确． ∵菱形对角相等，， ∴，故②错误． ∵纸条宽度为，菱形边长，当边长取最小值时周长最小， ∴最小周长，故④正确． 综上，一定成立的结论为①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算零指数幂、二次根式乘法、有理数乘方及负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： ． 16. 先化简，再求值：，再从，，，之中选择合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内式子通分计算减法，再将分式除法转化为乘法，利用平方差公式分解因式后约分化简原式；再根据分式分母、除式不能为的条件排除、、，选取代入化简后的式子计算求值． 【详解】解：原式 ； ，，， ， 当时，原式． 17. 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．求乙程序员每小时输入多少名学生的成绩？ 【答案】乙每小时输660名学生成绩 【解析】 【分析】设乙每小时输x名学生成绩，根据“甲比乙少用2小时输完”列分式方程求解． 【详解】解：设乙每小时输x名学生成绩， 根据题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：乙每小时输660名学生成绩． 18. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点E，F，连接，与相交于点，与相交于点，与交于点，连接、． （1）通过尺规作图可知直线是线段的______； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）垂直平分线 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的作法、菱形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）由作法可知点E、F到线段的距离相等，故直线是线段的垂直平分线， （2）由作图可知垂直平分，得，，,再证明，进而可得四边形四边都相等，由此得出四边形是菱形. 【小问1详解】 解：点E、F到线段的距离相等，故直线是线段的垂直平分线， 【小问2详解】 由作图可知：垂直平分， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点均在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹． （1）在图①中以为边画一个面积为8的； （2）在图②中以为边画一个面积为4的菱形； （3）在图③中以为边画一个面积最大的矩形． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析； （3）图见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作一个底为4，高为2的平行四边形即可； （2）作一个对角线分别为的菱形即可； （3）作一个邻边分别为的矩形即可． 【小问1详解】 解：如图①中，平行四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图②中，菱形即为所求； 【小问3详解】 解：如图③中，矩形即为所求． 20. 为让学生了解吉林乡土文化，立德中学拟举办主题为“吉林乡土文化”的知识竞赛活动．九年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图所示的统计图． 一班预赛成绩统计图 二班预赛成绩统计图 （1）这次预赛中，一班有_____人参加比赛，二班成绩是A等和B等的共有____人； （2）这次预赛中一班成绩的平均数为_____分，二班成绩的中位数为_____分，二班成绩的众数为_____分； （3）已知两个班参加预赛学生成绩的方差分别为，，从平均数、众数、方差中任选一个量，结合九年级一班和二班预赛成绩，解释其在本题中的意义． 【答案】（1）20，9； （2），80，80； （3）①选择平均数：一班平均成绩是87.5分，二班平均成绩是84分，从平均水平看一班较好； ②选择方差，，二班方差小于一班方差，说明二班学生成绩波动较小； ③选择众数：一班集中在90分，二班集中在80分，高分段人数分布一班更突出． 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图求出一班参加比赛的人数，即可得到二班参加比赛的人数，再根据扇形统计图求出二班成绩在B等及以上的人数即可； （2）根据平均数、中位数和众数的定义进行解答即可； （3）比较方差的大小后即可得到答案． 【小问1详解】 解：一班参加比赛的人数为（人）， ∵两个班参加比赛的人数相同， ∴二班成绩在A等和B等的共有（人）； 【小问2详解】 解：一班成绩的平均数为：（分）， 二班成绩等的人数为：， 等的人数为：， 等的人数为：， 等的人数为：， ∴二班成绩的中位数是，众数是． 【小问3详解】 略 21. 小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，如图1．通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足函数关系，小泉通过测量，得到如下6组数据： 单层部分的长度 … 20 30 40 50 60 70 … 双层部分的长度 … 55 50 45 40 35 30 … （1）请在图2的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式及自变量取值范围，并画出这个函数的图象； （2）根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为时，背起来正合适，求此时双层部分的长度为____________． （3）结合人体工学与前两问的结论，小泉计划为身高的同学设计一款适配挎包．已知人体工学建议：挎带总长度与使用者身高比值为时，佩戴舒适度最佳．请根据以上信息，计算此时挎包单层部分的长度． 【答案】（1）， （2） （3）此时挎包单层部分的长度为． 【解析】 【分析】（1）描点并根据这些点的分布情况判断y与x之间的函数关系类型，根据待定系数法求其解析式并画出图象即可； （2）根据题意得，再结合（1）的函数关系，即可求出x的值，从而求出y的值即可； （3）先根据题意求出挎带总长度，再根据（2）的方法求出对应的x，y的值即可． 【小问1详解】 解：描点画图略： ∵这些点分布在同一条直线上， ∴y是x的一次函数， 设y与x的函数解析式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得，解得， ∴， 当时，， 当时，得， 解得， ∴y与x的函数解析式为，其图象如上图所示． 【小问2详解】 解：根据题意，得，即， 解得， 当时，得， 解得， ∴此时双层部分的长度为； 【小问3详解】 解：根据题意，挎带总长度为：， 则，即， 解得， 此时挎包单层部分的长度为． 22. 本学期我们研究了三角形的中位线的性质：三角形中位线定理是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （1）【方法迁移】梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路： 如图②，连接并延长，交的延长线于点G． ①探究中位线和两底、之间的数量关系，并说明理由． ②直接写出中位线和两底、之间的位置关系是___________． （2）【理解内化】已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是_____． 【答案】（1）①，理由如下： 如图②，连接并延长，交的延长线于点， ， ∴，， 点是的中点， ， 在和中，， ， ∴，， 是的中位线， ； ， ； ②． （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，交的延长线于点，根据平行线的性质得出，，即可证明，得出，，根据线段的和差关系即可得出； ②利用（1）中结论，结合梯形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知梯形中位线， ∵梯形的中位线长为， ∴， ∵梯形的高为， ∴梯形面积是． 23. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题的关键．如图1，在矩形中，，，F为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点B的对应点为E． （1）当点E落在边上时，四边形的形状为__________． （2）如图2当点E落在对角线上时，求线段的长． （3）当平分时，过点E作于G，则_______． （4）在点F运动的过程中，当F，E，D三点共线时，请直接写出线段的长_______． 【答案】（1）正方形 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由折叠性质得：，，由四边形为矩形且点E落在边上，得，即可得证； （2）先由勾股定理得，再由折叠知，，，设，则，在Rt中，，即可得； （3）由平分，得，可证，从而有，即可； （4）分点F在线段上时和点F在射线上时2种情况，用勾股定理构造方程求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠性质得：，， 又四边形为矩形且点E落在边上， ， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形； 【小问2详解】 解：∵在矩形中，，， 在中，由勾股定理得， 由折叠知，，， ，且， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ； 【小问3详解】 解：如图， 四边形为矩形， ， 又平分， ， 由折叠知，， 在中，， ， 在中，，即， ； 【小问4详解】 解：①当点F在线段上时，如图， 在矩形中，，， 由折叠得，， ∴， 在中，， 设，则， 在中，，即， 解得， ； ②当点F在射线上时，如图， 同理可得， ， 在中，，即， 解得， ， 综上所述，的长为或． 24. 若一次函数的图象经过点、，点的坐标为，点的横坐标为． （1）的值为_________； （2）若线段的最高点与最低点的纵坐标差为，求的值； （3）已知点，以坐标原点为中心构造矩形，且轴． ①若矩形的周长是，求此时点的坐标； ②若线段与矩形的边有且只有两个公共点，的取值范围是___________________． 【答案】（1） （2）当时，；当时，； （3）①或；②或 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数解析式，解方程求出的值． （2）先得到完整一次函数解析式，根据一次函数得出函数单调递增，分、两种情况，利用纵坐标差为列方程求解 （3）①根据原点中心对称、轴写出矩形顶点坐标，设边长列周长方程，求出后得到点坐标；②先写出矩形各边对应的直线，结合图象分类讨论线段与矩形边仅有两个公共点的边界条件，解不等式得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵过， ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得一次函数的解析式， ∵， ∴随增大而增大， 点横坐标为，纵坐标为， ①当时，最高点为，最低点为， ， 解得； ②当时，最高点为，最低点为， ， 解得； 综上，当时，；当时，； 【小问3详解】 解：①如图， ∵，矩形以原点为中心，轴， ∴矩形对角顶点：，，， ∴，， ∵矩形周长为， ∴， ∴， ∴或， 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 故点坐标为或 ②由①可得矩形的各顶点：，，， ∴直线为， 如图，当不在点左侧时，且与轴不重合时，线段与矩形的边有且只有两个公共点， ∵点横坐标为， ∴， 解得， ∵与轴不重合时， ∴， ∴， ∴的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $