第3章 勾股定理提优卷2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第3章 勾股定理提优卷2025-2026学年苏科版八年级数学上册 一．选择题（共8小题,每题3分，共24分） 1．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3图形的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为（　　） A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+1 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 4．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A．13 B．13或 C．13或15 D．15 5．下列说法中正确的是（　　） A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2 6．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 8．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为 　 　 cm2． 10．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需　 　 米． 11．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 　 　 cm． 12．矩形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝　 　 cm． 13．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　 　 米． 14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，O是AB上一点，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为　 　 ． 15．等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为 　 　 秒． 16．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为 　 　 ． 17．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，有下列四个结论：①∠CBE＝15°；②AE＝+1；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．则其中正确的结论有 　 　 ．（填序号） 18．如图，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，CD为AB边上的高，CD＝6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P2，则线段P1P2长度的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共7小题，共96分） 19．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 20．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 21．已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC＝8m，BC＝6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长． （1）在图1中，当AB＝AD＝10m时，△ABD的周长为 　 　 ； （2）在图2中，当BA＝BD＝10m时，△ABD的周长为 　 　 ； （3）在图3中，当DA＝DB时，求△ABD的周长． 22．如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． 23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）． （1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为　 　 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为　 　 三角形． （2）猜想，当a2+b2　 　 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2　 　 c2时，△ABC为钝角三角形． （3）判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围． 24．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度． 25．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求PQ的长； （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3图形的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：（1）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2， ∵a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝c2， ∴S1+S2＝S3． （2）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2， ∵a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝c2， ∴S1+S2＝S3． （3）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2， ∵a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝c2， ∴S1+S2＝S3． （4）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2， ∵a2+b2＝c2， ∴S1+S2＝S3． 综上，可得 面积关系满足S1+S2＝S3的图形有4个． 故选：D． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为（　　） A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+1 【解答】解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD， ∴∠B＝∠DAB， ∴DB＝DA＝， 在Rt△ADC中， DC＝＝＝1； ∴BC＝+1． 故选：D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】方法一： 解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， ∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠FAD， ∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF， ∴CE＝CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°， ∴FC＝FG， ∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴＝， ∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°， ∴BC＝4， ∴＝， ∵FC＝FG， ∴＝， 解得：FC＝， 即CE的长为． 故选：A． 方法二： 过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， ∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠FAD， ∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF， ∴CE＝CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°， ∴FC＝FG， ∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°， ∴BC＝4， 在Rt△AFC和Rt△AFG中， ， ∴Rt△AFC≌Rt△AFG（HL）， ∴AC＝AG＝3， ∴设FG＝x，则BF＝4﹣x，BG＝AB﹣AG＝5﹣3＝2， ∴FG2+BG2＝BF2， 则x2+22＝（4﹣x）2， 解得：x＝， 即CE的长为． 故选：A． 4．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A．13 B．13或 C．13或15 D．15 【解答】解：当12是斜边时，第三边是＝； 当12是直角边时，第三边是＝13． 故选：B． 5．下列说法中正确的是（　　） A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2 【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角． A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误； B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误； C、∠C＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确； D、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2+c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误； 故选：C． 6．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0， ∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0， 解得：a＝b，a2+b2＝c2， ∴△ABC的形状为等腰直角三角形； 故选：C． 7．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【解答】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选：D． 8．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 【解答】解：连接QG． ∵DG：GE＝1：3， ∴可以假设DG＝k，EG＝3k， ∵GF＝EG，∠D＝90°， ∴FG＝3k，DF＝＝2k， ∵EF＝4，EF2＝DE2+DF2， ∴48＝16k2+8k2， ∴k＝或﹣（舍弃）， ∴DF＝4， ∵S△EFG＝•EG•DF＝•EG•QM+•GF•QN， ∴QM+QN＝DF＝4， 故选：C． 二．填空题（共10小题） 9．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为 　126或66　 cm2． 【解答】解：当∠B为锐角时（如图1）， 在Rt△ABD中， BD＝＝＝5（cm）， 在Rt△ADC中， CD＝＝＝16（cm）， ∴BC＝21， ∴S△ABC＝＝×21×12＝126（cm2）； 当∠ABC为钝角时（如图2）， 在Rt△ABD中， BD＝＝＝5（cm）， 在Rt△ADC中， CD＝＝＝16（cm）， ∴BC＝CD﹣BD＝16﹣5＝11（cm）， ∴S△ABC＝＝×11×12＝66（cm2）， 故答案为：126或66． 10．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需　7　 米． 【解答】解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长＝两直角边的和， 已知AB＝5米，AC＝3米， 且在直角△ABC中，AB为斜边， 则BC＝＝4米， 则AC+BC＝3+4＝7米． 故答案为：7． 11．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 　2　 cm． 【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm； 根据勾股定理，得：AD＝＝5cm； ∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm； 故橡皮筋被拉长了2cm． 12．矩形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝　　 cm． 【解答】解：设DE＝x，则BE＝DE＝x，AE＝10﹣x， 又∵在Rt△ABE中AB2+AE2＝BE2， 即42+（10﹣x）2＝x2， 解得x＝． 故答案为：． 13．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　9　 米． 【解答】解：在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB＝＝＝15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD＝＝6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，O是AB上一点，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为　4或4或4　 ． 【解答】解：如图1，当∠AMB＝90°时， ∵O是AB的中点，AB＝8， ∴OM＝OB＝4， 又∵∠AOC＝∠BOM＝60°， ∴△BOM是等边三角形， ∴BM＝BO＝4， ∴Rt△ABM中，AM＝＝4； 如图2，当∠AMB＝90°时， ∵O是AB的中点，AB＝8， ∴OM＝OA＝4， 又∵∠AOC＝60°， ∴△AOM是等边三角形， ∴AM＝AO＝4； 如图3，当∠ABM＝90°时， ∵∠BOM＝∠AOC＝60°， ∴∠BMO＝30°， ∴MO＝2BO＝2×4＝8， ∴Rt△BOM中，BM＝＝4， ∴Rt△ABM中，AM＝＝4， 综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4． 故答案为：4或4或4． 15．等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为 　7或25　 秒． 【解答】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D， ∵BC＝8cm， ∴BD＝CD＝BC＝4cm， ∴AD＝＝3， 分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时， ∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2， ∴PD2+32＝（PD+4）2﹣52∴PD＝2.25， ∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t， ∴t＝7秒， 当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD＝2.25， ∴BP＝4+2.25＝6.25＝0.25t， ∴t＝25秒， ∴点P运动的时间为7秒或25秒． 16．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为 x2+32＝（10﹣x）2 ． 【解答】解：设AC＝x， ∵AC+AB＝10， ∴AB＝10﹣x． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2． 故答案为：x2+32＝（10﹣x）2． 17．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，有下列四个结论：①∠CBE＝15°；②AE＝+1；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．则其中正确的结论有 　①②④　 ．（填序号） 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°． 在△BCE和△DCE中，， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴∠CBE＝∠CDE＝15°，故①正确； ②过D作DM⊥AC于M， ∵∠CDE＝15°，∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝75°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠AED＝60°， ∵AD＝AB＝， ∴AM＝DM＝×＝， ∴ME＝DM＝×＝1， ∴AE＝+1，故②正确； ③根据勾股定理求出AC＝2， ∵DM＝，EM＝1， ∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°， ∴CM＝， ∴CE＝CM﹣EM＝﹣1， ∴S△DEC＝×（﹣1）×＝，故③错误； ④在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG， ∵BC＝CF， ∴∠CBE＝∠F， ∴∠CBE＝∠CDE＝∠F＝15°． ∴∠CEG＝60°． ∵CE＝GE， ∴△CEG是等边三角形． ∴∠CGE＝60°，CE＝GC， ∴∠GCF＝45°， ∴∠ECD＝GCF． 在△DEC和△FGC中，， ∴△DEC≌△FGC（SAS）， ∴DE＝GF． ∵EF＝EG+GF， ∴EF＝CE+ED，故④正确； 故答案为：①②④． 18．如图，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝8，CD为AB边上的高，CD＝6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P2，则线段P1P2长度的取值范围是　≤P1P2≤12　 ． 【解答】解：如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H． ∵P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点， ∴AP＝AP1＝AP2，∠PAB＝∠BAP1，∠PAC＝∠CAP2， ∵∠BAC＝45°， ∴∠P1AP2是等腰直角三角形， ∴P1P2＝AP2＝PA． ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°， ∴AD＝DC＝6， ∴AC＝6＞AB， ∵AB＝8， ∴BD＝2，BC＝＝＝2， ∵S△ABC＝•BC•AH＝•AB•CD， ∴AH＝＝， ∵≤PA≤6， ∴≤P1P2≤12． 故答案为≤P1P2≤12． 三．解答题（共7小题） 19．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13， ∴BC＝＝＝5； （2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5， ∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2， ∴△BCD是直角三角形． 20．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【解答】解：（1）根据勾股定理： 梯子距离地面的高度为：＝24（米）； （2）梯子下滑了4米， 即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米）， 根据勾股定理得：25＝， 解得CC′＝8． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 21．已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC＝8m，BC＝6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长． （1）在图1中，当AB＝AD＝10m时，△ABD的周长为 　32m ； （2）在图2中，当BA＝BD＝10m时，△ABD的周长为 　（20+4）m ； （3）在图3中，当DA＝DB时，求△ABD的周长． 【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AD＝10m，AC⊥BD，AC＝8m， ∴DC＝＝6（m）， 则△ABD的周长为：10+10+6+6＝32（m）． 故答案为：32m； （2）如图2，当BA＝BD＝10m时， 则DC＝BD﹣BC＝10﹣6＝4（m）， 故AD＝＝4（m）， 则△ABD的周长为：AD+AB+BD＝10+4+10＝（20+4）m； 故答案为：（20+4）m； （3）如图3，∵DA＝DB， ∴设DC＝xm，则AD＝（6+x）m， ∴DC2+AC2＝AD2， 即x2+82＝（6+x）2， 解得；x＝， ∵AC＝8m，BC＝6m， ∴AB＝10m， 故△ABD的周长为：AD+BD+AB＝2×（+6）+10＝（m）． 22．如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． 【解答】解：设AB＝x，则AC＝x+1， 由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5， ∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， 即x2+52＝（x+1）2， 解得x＝12， 答：风筝距离地面的高度AB为12米． 23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）． （1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为　锐角　 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为　钝角　 三角形． （2）猜想，当a2+b2　＞　 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2　＜　 c2时，△ABC为钝角三角形． （3）判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围． 【解答】解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边＝＝10， ∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形； 当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形； 故答案为：锐角；钝角； （2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形； 当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形； 故答案为：＞；＜； （3）∵c为最长边，2+4＝6， ∴4≤c＜6， a2+b2＝22+42＝20， ①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2， ∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形； ②a2+b2＝c2，即c2＝20，c＝2， ∴当c＝2时，这个三角形是直角三角形； ③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2， ∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形． 24．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度． 【解答】解：设OA＝OB＝x尺， ∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺， ∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺， 在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺， 根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102， 整理得：8x＝116，即2x＝29， 解得：x＝14.5． 则秋千绳索的长度为14.5尺． 25．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求PQ的长； （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 【解答】解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm ），∠B＝90°， ∴PQ＝＝＝（cm）； （2）BQ＝2t，BP＝16﹣t， 根据题意得：2t＝16﹣t， 解得：t＝， 即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形； （3）①当CQ＝BQ时，如图1所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10， ∴BC+CQ＝22， ∴t＝22÷2＝11秒． ②当CQ＝BC时，如图2所示， 则BC+CQ＝24， ∴t＝24÷2＝12秒． ③当BC＝BQ时，如图3所示， 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE＝＝， ∴CE＝， ∴CQ＝2CE＝14.4， ∴BC+CQ＝26.4， ∴t＝26.4÷2＝13.2秒． 综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/3 7:04:15；用户：沈晓伟；邮箱：orFmNt-72lbAHdKYUsSxwOObB6og@weixin.jyeoo.com；学号：23270586 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $