暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练-2026年七升八暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦平行线性质与角平分线、旋转的综合应用，通过分层例题与变式训练，构建静态几何推理与动态图形变换的逻辑体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行线与角平分线综合|3例+3变式|含辅助线构造、多图变式，涉及角平分线分类讨论|以平行线性质为基础，通过角平分线实现角的转化，构建"平行→角关系→角平分线→数量关系"的推理链条| |平行线与旋转综合|3例+3变式|动态旋转（含双旋转）、分类讨论、运动轨迹分析|结合旋转不变性，将动态问题转化为静态几何关系，体现"静态性质→动态变化→临界状态"的探究逻辑|

暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 考点目录 平行线的性质与角平分线综合 平行线的性质与旋转问题综合 例1.(2526七年级下安徽合肥期末)如图，AB‖CD,点E,F分别在直线AB,CD上，M是平面内任意一点， 考点一 平行线的性质与角平分线综合 连接EM,FM, 图1 图2 图3 探究： (I)如图1，当点M在直线EF的左侧时，试说明：∠EMF=∠AEM+∠CFM, 问题迁移： (2)如图2，当点M在AB的上方时，∠EMF,∠AEM,∠CFM之间有何数量关系？请说明理由. 联想拓展： (3)如图3，ME的延长线交CD于点H,若∠EMF=a,∠AEH的平分线和∠CFM的平分线交于点P,用含a的式 子表示∠EPF的度数， 【答案】(I)解：过点M作MG∥AB, :AB∥CD .AB II CDI MG ∴.∠AEM=∠EMG,∠CFM=∠FMG. 、∠EMF=LEMG+∠FMG=∠AEM+∠CFM: 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 B --G (2)解：∠AEM=∠EMF+∠CFM,理由如下： ABII CD ∴.∠AHM=∠CFM， ,∠AEM是△EHM的外角， .∠AEM=∠EMF+∠AHM=∠EMF+LCFM: M (3)∠EPF=90°- Γ2 【分析】(I)过点M作MG∥AB,可得ABCD‖MG,再根据平行线的性质得 ∠AEM=∠EMG,∠CFM=∠FMG,则此题可解； (2)先根据平行线的性质得∠AHM=∠CFM,再根据三角形的外角的性质得∠AEM=∠EMF+∠AHM,: (3根据角平分线的定义得∠4BP-4B,∠CFP-CPM,再白（山得 ∠BF=LAEP+∠CPP-AEC+∠CFM-AEC+∠CFM0,由(2②)得∠AEM-∠EMr+∠CFM,然后表 示出∠AEC+∠CFM=180°-&，最后根据上式可得答案. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：：∠AEH和∠CFM的角平分线交于点P, &∠ABP-3AEH,∠CFP-5∠CRM. 白(1)得∠EPF=∠AEP+∠CFn-∠AEH+5CFM-(2AEH+∠CFM), 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 由(2)得∠AEM=∠EMF+∠CFM. .180°-∠AEH=∠EMF+∠CFM, 即∠AEH+∠CFM=180°-∠EMF=180°-a, :∠BPF=x080-m=90-号. 例2.(2526七年级下北京期末)如图，CD∥AB,射线DE交AB于点P.点G在折线CD-DE上运动（不与 D,F重合)，点H在直线AB上运动（不与点F重合）， D B B 图1 备用图1 备用图2 (I)如图1，当点G在CD上，点H在点F右侧时，连接GH交DF于M,∠DGH与∠DFH的角平分线交于点P. 求证：P-D+∠GHP). (2)当点G在射线DE上运动时，连接GH,∠DFH与∠GHB的角平分线所在直线交于点P,画出所有符合题意的 图形，并用等式表示∠DGH和∠FPH的数量关系（直接写出结论）·注：本小题的每一种情况均需单独画图表示， 如将多种情况画在一个图里，将不能得分 【答案】(I)如图，过点P作PW∥CD,则∠DGP=∠GPW, .CD∥AB .PN∥AB,∠D=∠DFH,∠DGH=∠GHF, .∠FPN=∠PFH, :∠DGH与LDFH的角平分线分别是GP与FP, DGP-2DGH-/GHF.ZPFH-ZDFH-2D :∠GPF=∠FPN+∠GPN=∠PFH+∠DGP, GPF(DGUF). 即P(D+∠GH): 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 P H B E 图1 1 (2)如图2，此时∠FPH+2∠DGH=90°： .·∠GHB+∠GHF=180°，∠GHF+∠DFH+∠FGH=180°， .∠GHB=∠DFH+∠FGH、 .∠FGH=∠GHB-∠DFH, ·HP,FP分别是∠GHHB,∠DFH的角平分线， &∠PHB=)∠GHB,∠PFH=∠DFH, 2 2 同理得∠PHB=∠FPH+∠PFH, .∠FPH=∠PHB-∠PFH =1∠GHB-∠DFH 2 2 -(<G8-DH） 1 -24FGH 180-∠DGH =90°-1∠DGH. 2 即∠FPH+2∠DGH=90°， D H B 图21 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 如图3，此时2PH+号∠DGH=180: :HP,FP分别是∠GHB,∠DFH的角平分线， A∠PHB=)∠GHB,∠PFH=;∠DFH, ∠FPH=18O°-（∠PHB+∠PFH) =180°- 5(∠GHB+∠DFH) 1 =180°-2180°-∠FGH0 =180°-∠DGH, 1 ∠FPH+)∠DGH=180°： 2 C D P B F E 图3 如图4，此时∠FPH+)∠DGH=90, C D F B G E 图4 作∠HFG,∠FHG的平分线，两平分线交于点P', 、.∠P'FH= inc∠Pr-on, ∠FPH=I80-(☑HrG+∠GH)=180-080-∠DGm)=0+5DGH. J 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 :HP,FP分别是∠GHB,∠DFH的角平分线， A∠PHB=)∠GHB,∠PFH=∠DFH 2 2PP∠PFI+∠PpH-DFI+∠rG)=0e, 同理∠PHP'=90°， .∠FPH+∠FP'H=360°-∠PFP'-∠PHP'=180°. ∠PH=180-∠FPH=180-(90+<DGH=90-DGH 即∠FP+号Gi=90, 知图5，此时∠FPH-ZDGH. :∠BFG+∠GFH=180°，∠GFH+∠GHF+∠DGH=180°， .∠BFG=LGHF+∠DGH」 .∠DGH=∠BFG-∠GHF=LDFH-LGHF, 同理∠HFN=∠FPH+∠FHP」 .∠FPH=∠HFN-∠FHP, :HP,FN分别是LGHB,∠DFH的角平分线， &∠PHB=)∠GH,∠HFN=∠DFH 2 &∠FPH=∠HN-∠FHP-(DFH-∠GH)DGH. E 图5 【分析】(I)过点P作PN∥CD,利用平行线的性质及角平分线平分角的性质，结合角的和差运算即可证明； (2)分四种情况画出图形，结合图形，利用平行线的性质、角平分线的性质即可得到∠DGH和∠FPH的数量关 6 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 系 【详解】(1)证明：略； (2)解：略. 例3.(25-26七年级下·河南焦作期末)如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、 GE之间的一点，∠HAB+∠BCG=∠ABC H A D D H B B B四 R G E G G E 图1 图2 图3 (I)猜想：HD与GE的位置关系 (2)如图2，作∠BCF=∠BCG=a,CF与∠BAH的角平分线交于点F,并记∠BAF=P,若a+B=40°，求 ∠B+∠F的度数： (3)如图3，CR平分∠BCG,BN平分∠ABC,BM∥CR,∠BAH=50°，则∠NBM (直接写出结 果)· 【答案】(I)HD∥GE: (2)∠B+∠F=120 (3)25 【分析】(I)过点B作BP∥HD,则∠HAB=∠ABP,再由∠HAB+∠BCG=∠ABC可得出∠BCG=∠PBC,据此得 BP∥GE,进而根据平行于同一条直线的两条直线平行可得出结论； (2)由已知得∠HAB=2P,∠GCF=2a,再由(1)的结论得∠B=2B+a,∠F=B+2a,据此可求出∠B+∠F的 度数： (3)设∠GCR=a,∠ABN=B，,根据角平分线的定义得∠GCR=∠RCB=a,∠GCB=2a,∠ABN=∠NBC=B, ∠ABC=2B BM∥CR,∠MBC=∠RCB= ∠NBM=∠NBC-∠MBC=B-a 再由 得 ，由此得 ,然后由(1)的结论得 ∠ABC=∠BAH+∠GCB B-a=25° ∠NBM ，据此可得出 ，进而可得 的度数 【详解】(1)解：如图，过点B作BP∥HD, 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 H P B G E .∠HAB=∠ABP, :∠HAB+∠BCG=∠ABC,∠ABP+∠CBP=∠ABC, ∴.∠HAB+∠BCG=∠ABP+∠CBP, ∴.LCBP=∠BCG, .HD∥GE: (2)解：：∠BCF=∠BCG,CF与LBAH的角平分线交于点F, .∠BCF=∠BCG=a,∠FAB=∠FAH=B, .∠HAB=2B,∠GCF=2a, 由(1)可知：∠B=∠HAB+∠BCG=2f+a,∠F=∠FAH+∠GCF=B+2a, ,∠B+∠F=2B+a+B+2a=3(a+B)=3×40°=120° (3)解：设∠GCR=a,∠ABN=B, :CR平分∠BCG,BN平分∠ABC, ∴.∠GCR=∠RCB=a&,∠GCB=2∠GCR=2a,∠ABN=∠NBC=B,∠ABC=2∠ABN=2B, ,BM∥CR, ∴.∠MBC=∠RCB=a, :∠NBM=∠NBC-∠MBC=B-&, 由(1)可知：∠ABC=∠BAH+∠GCB, 又，∠BAH=50°， .2B=50°+2a, B-u=25°， .∠NBM=B-a=25° 变式1.(25-26七年级下湖北孝感期末)如图，已知AB川CD,∠B=∠D,AE交CD于点F. 8 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 (1)求证：AD川BC: (2)若∠ACB=60°，∠CFE=80°，AC平分∠BAE,求∠D的度数. 【答案】(I)证明：：AB‖CD, ∠B=LDCE, 又∠B=∠D, .∠D=∠DCE .ADII BC. (2)∠D=80° 【分析】(1)两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行； (2)利用平行线的性质和角平分线的定义计算即可得出结果. 【详解】(1)略： (2)解：AB‖CD, ∴.∠BAE=∠CFE=80°，∠BAC=∠ACF, :AC平分∠BAE, ·∠BAC=∠BAE=400 .∠ACF=40° :∠ACB+∠ACF+∠DCE=180° .∠DCE=180°-∠ACB-∠ACF=180°-60°-40°=80° ∠D=80° 变式2.(25-26七年级下福建福州期末)如图1，AB川CD,点E、F、G在AB上（从左到右依次为E、F、 G,不重合)，点H在CD上，连接HE、HF、HG,且∠FHG=∠FGH. 9 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 E G A -B C D H 图1 (1)求证：HG平分∠FHD: (2)如图2，过点F作∠AFH的平分线FK,交CD于点K,求证：∠FEH+∠EHG=∠CKF. E GB C D K H 图2 【答案】(I)证明：：AB/CD ∴.∠FGH=∠GHD ∠FHG=∠FGH, .∴∠FHG=∠GHD」 ·.HG平分LFHD, (2)证明：：AB/CD ,.∠AFH=∠FHD,∠FEH=∠EHK, ·FK平分∠AFH,HG平分∠FHD, 1 1 ∠KFH=2AFH,∠FHG=∠FHD .∠KFH=∠FHG, .KF GH .∠CKF=∠KHG, '∠KHG=∠EHK+∠EHG, ∴.∠CKF=∠FEH+∠EHG 【分析】(1)根据平行线的性质以及等量代换即可求解： (2)根据平行线的性质以及角平分线得半角，即可证KF‖GH,进而根据角度转换即可求解. 10 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 【详解】(1)略 (2)略 变式3.(25-26七年级下江西赣州期末)如图，直线PO∥MN,一副直角三角板△ABC ADEF中，∠EDF=90°， ∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60° P D -N M 图 图2 图3 图4 (I)若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，证明：FD平分∠EFM; (2)若△ABC△DEF如图2摆放时，求∠FDD的度数： (3)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PO相交于点G,作∠FG0和∠GFA的角平分 线GH、FH相交于点H(如图3)，则∠GHF=°； (4)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC从图2位置绕点A顺时针旋转，速度为每秒2°，旋转至AC与直线 AW首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间. 【答案】(I)证明：如图1，在△DEF中，∠EDF=90°，∠DFE=30°，∠DEF=60°， ,ED平分∠PEF, .∠PEF=2∠PED=2LDEF=2×60°=120°， .PQ∥MN. .∠MFE=180°-∠PEF=180°-120°=60° ∠MFD=∠MFE-∠DFE=60°-30°=30°， ∴.∠MFD=∠DFE, ∴.FD平分LEFM. 11 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 (2)75°： (3)67.5°： (4)15s或45s或60s. 【分析】(1)利用角平分线定义、平行线性质以及直角三角板的特点即可证明结论： (2)如图2，过点E作EK∥MN,利用平行线性质以及角的和差求解即可： (3)如图3，分别过点RH作FL∥MN,HR∥P№，利用平行线性质和角平分线定义求解即可： (4)分三种情况：①BC∥DE,②BC∥EF,③BC∥DF,再利用平行线的性质、角的和差求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：如图2，过点E作EK∥MN, D E---- M N B 图2 :∠BAC=45°， .∠KEA=∠BAC=45°， .PQ∥MN,EK∥MN, PO∥EK, ∴∠PDE=∠DEK=∠DEF-∠KEA, 又，∠DEF=60° .∠PDE=60°-45°=15° .∠0DF=180°-15°-90°=75° (3)解：如图3，分别过点F、H作FL∥MW,HR∥PQ」 12 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 D R--->H M B 图3 .∠LFA=∠BAC=459,∠RHG=∠QGH, :FL∥MN,HR∥PO,PQ∥MN. FL∥HR∥Pg, ∠QGF+∠GFL=180°，∠RHF=∠HFL=∠HFA-∠LFA, :∠FG0和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H, ∠OGH=∠FGO,∠HfA=;∠GFA, .∠DFE=30°， .∠GFA=180°-∠DFE=150°， 1 ∠A=2∠GF1=75°， .∠RHF=∠HFL=∠HFA-∠LFA=75°-45°=30°， .∠GFL=∠GFA-∠LFA=150°-45°=105°. ∠RG=∠QGH-rG0-0s0-105=3750, .∠GHF=∠RHG+∠RHF=37.5°+30°=67.5°. (4)解：将△ABC从图2位置绕点A顺时针旋转，即E、FA三点共线， 设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为每秒2°，分三种情况： ①当BC∥DE时，如图5，连接FA,由图2知E、F、A三点共线，此时AC∥DF, B N 图5 13 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 .∠CAE=∠DFE=30°， .2t=30,解得：t=15: ②当BC∥EF时，如图6，连接FA,E、F、A三点共线， P D M N A 图6 .∠BAE=∠B=45°， ∴.∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°， .2t=90,解得：t=45: ③当BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K,延长DF交MN于R, P E M RA 图7 .∠DRM=∠EAM+∠DFE=45°+30°=75°， .∠BKA=∠DRM=75°， :∠ACK=180°-∠ACB=90°， .∠CAK=90°-∠BKA=15°， .∠CAE=180°-∠EAM-∠CAK=180°-45°-15°=120°， .2t=120,解得：t=60 综上，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为l5s或45s或60s时，线段BC与△DEF的一条边平行 14 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 考点二 平行线的性质与旋转问题综合 例1.(2526七年级下浙江绍兴期中)如图，点A在直线PO上，点C在直线MN上，PO∥MN,∠CA0=60°， CB平分∠ACM, P 备用图 备用图 (1)求∠MCB的度数： ②将1C8绕点C以每秒3°的速度顺时针方向旋转，4的对应点为4，B的对应点为8，设旋转时间为<50) 2∠ACB,+∠ACN=108° 时，求旋转时间的值； (3)将射线CB绕点C以每秒2°的速度顺时针方向旋转，射线AQ绕点A以每秒8°的速度顺时针方向旋转，设旋转 m(m<40) 时间为 当旋转后的BC与A0平行时，直接写出旋转时间m的值 【答案】(1)30° (2)8s,16s (3)5s,35s 【分析】(1)根据平行线性质和角平分线有关计算可求解 (2)根据旋转时间<50判断C8在直线N的上方.分三种情况：0CB1在4C的左侧，2C4和CB都在C4右 侧，直线MN上方，gC4在N下方，C8在W上方，分别表示出 ACB和4CN ,根据 2∠ACB+∠ACN=108° 列出方程，求解即可： (3)分两种情况讨论：①当AQ在PQ下方，②当AQ在P2上方，根据平行线的性质求解即可. 15 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 【详解】(1)解：：P0∥MN,∠CA0=60°， .∠ACM=∠CAQ=60° .CB平分∠ACM, :∠MCB=∠ACB=)∠ACM=30 2 (2)解：由∠ACB绕点C以每秒3°的速度顺时针方向旋转， ∠ACA=∠BCB,=(3)° .∠BCM=30° .∠BCN=180°-∠BCM=150° ,旋转时间t<50, ∠BCB,<I50°∠BCB,<∠BCN ，即 CB 在直线MW 的上方. ①当C8在4C的左时， A Q B B M 一N∠ACB=∠ACM-∠BCM-∠BCB=60°-30°-(3t)°=(30-31)° :∠ACN=180°-∠ACM=180°-60°=120° ∠ACN=∠ACN-∠ACA=120°-(31)°=(120-31)° 2∠ACB+∠ACN=108° :2(630-3）°+120-30）°=1080 解得t=8」 ②当C4和CB都在C4右侧，直线N上方时， 16 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 P A -0 B B N∠ACB,=∠BCB,-∠ACB=(31)°-30°=(3t-30)° ∠ACN=∠ACN-∠ACA=120°-(3t)°=(120-3t)° 2∠ACB,+∠ACN=108° ,2(3t-30)°+(120-3t)°=108° 解得t=16」 ③当C4在Mw下方，C8在Mw上方时. A 0 B B M AY∠ACB=∠BCB-∠ACB=(B）-30°=(B1-30)° ∠ACN=∠ACA-∠ACN=(31)°-120°=(3t-120)° 2∠ACB,+∠ACN=108° 23-30)°+(3-120)°=108 解得t=32, .C4在MN下方，CB在MW上方 :∠aC4>∠4CN,即6>120°. .t>40, .t=32不合题意，舍去. .综上所述，旋转时间t的值为8s或16s. (3)解：分两种情况讨论： ①如图，当AQ在PQ下方时， 17 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 M ∠QAg'=(8m)°∠BCB'=(2m)° ∠CAQ'=∠CAQ-∠QAQ=(60-8m)° ∠ACB'=∠ACB-∠BCB'=(30°-2m)° 当A0∥CB时，∠QAg=∠CAg, .30-2m=60-8m, 解得m=5」 ②如图，当Ag在P吧上方时， Q B P B M ∠QAQ'=(360-8m)°∠BCB'=(2m)° ∠CAQ'=∠CAQ+∠QAQ=60°+(360°-8m)°=(420-8m)° ∠ACB'=∠BCB-∠ACB=(2m-30)° 当A0∥CB时，∠CAQ+∠ACB=180°， ,（420-8m)°+(2m-30)°=180° 解得m=35 18 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 综上所述，当旋转后的BC与AQ平行时，m的值为5s或35s 例2.(25-26七年级上重庆期末)己知∠A0B=3∠COD,现将∠C0D绕点O逆时针旋转. -D 图1 图2 B 图3 备用图 (①)如图1，∠AOB=120°，当射线OB平分∠C0D时，则∠A0D=一： ②如图2，射线OE在∠A0B内部，且满足∠B0E=号A0B,将∠COD的边OD从OB的位程开始旋转（当 ∠C00的边0c与射线01显合时，∠COD件上运动》，在旋转过置中，当240C-32D0E-号B0D时，访直接 写出∠BOC与∠AOD的比值，并写出其中一种情况的求解过程； (3)如图3，AF∥OB,∠AOB=120°，将∠COD的边OC从OB的位置以每秒10°的速度开始旋转，旋转时间t秒 (0<t<30),在旋转过程中，射线OM平分∠BOD,射线ON平分∠AOC,射线OP平分∠MON,直线OP与 直线AF交于点Q,当∠400+2∠D0P=145°时，请直接写出所有满足条件的t的值. 【答案】(1)140° ∠BOC19 ∠BOC107 (2②)Z40D-45或∠A0D117,过程见详解 49 (3)t=3或t=21 【分析】本题主要考查角的和差关系、平行线的性质、角平分线的定义及一元一次方程的应用，解题的关键是理 解题意； (d)白题意易得∠COD:40,则有∠B0D-号<C0D=20°，然后问塑可求解， 0 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 (2由<80E=408可设∠B0E-a,则∠AOB=,200-40B-0,设/A0D=月：由盟意可分： 当射线OE在∠COD的内部时，当射线OE在∠COD的外部时，进而分类进行求解即可： (3)由慰意号得∠COD:40r,∠B0M=∠D0M-号80D,40N=2C0N=40C. ∠M0P=∠NOP-M0N,由思意可分：当射线OB在∠COD的内部时，当射线OB在∠COD的外部且射线OC 在∠AOB内部时，当射线OC在∠AOB外部时，当射线OC在射线OB下面时，进而分类进行求解即可. 【详解】(1)解：：∠AOB=3∠C0D,∠A0B=120°， .∠C0D=40°， ,射线OB平分∠COD, 1 ∠B0D=5LC0D=20°」 2 ∴.∠AOD=∠AOB+∠BOD=140°： 故答案为140°： (2)解：由<B0E-号408可设∠BO5=a则∠A0B=4a 4 :∠AOB=3∠COD, :∠C0D={∠40B=ta 3 3, 设∠BOD=P,由题意可分： 当射线OE在∠COD的内部时，如图， D B 图2 C∠40C=LA0B=LC0D-Z☑B0DE4a4a-BA&-P.∠DoE=∠ZBoE-∠BoD=a-B 3 3 ∠B0c=∠C0D+∠B0D-a+A,∠A0D=∠AOB-∠B0D=4a-B, 20 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 .∠AOC-3∠D0E= 2 ∠BOD 3 a-B-3a-p月)= P 3 P, 解得：a=4B, .∠BOC= +B-99+B 4 3B,∠A0D=4a-B=16B-B=15B, ..∠BOC3E 19 ∠AOD 15p45 当射线OE在∠COD的外部时，如图， C D B -B8 ∠10C=∠A0B-∠C0D-∠B0D=4a-4 a-B,∠DOE=∠BOD-LBOE=B-a' 3 B0C=∠COD+ZB0D=3+B,∠40D=∠A0B-∠BOD=4a- :∠A0C-3D0E=∠BOD. 3 3a-B-3(B-a)=B. 8 2 3 1 7, 解得：a= 、.∠BD②4x+了=F 17B-B B+B=107B∠AOD=4C-F-36分 56 39 51 ∠BOC 107B 51 107 .∠AOD 39 117; 17 (3)解：∠AOB=120°，∠AOB=3∠C0D ∴.∠C0D=40° 由将∠COD的边OC从OB的位置以每秒10°的速度开始旋转，旋转时间t秒(0<t<30),可知：∠BOC=101, 21 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 ,射线OM平分∠BOD,射线ON平分∠AOC,射线OP平分∠MON, :∠B0M=∠D0M=5B0D,A0N=∠coN-A0C,MoP=∠oP∠MoN. 由题意可分： 当射线OB在∠C0D的内部时，则有40°÷10°=4s,即0<t<4,如图， 9 -B M D 图3 .∠BOD=∠COD-∠B0C=40°-10°t,∠AOC=∠AOB-∠B0C=120°-10t, :∠B0M=∠D0M=)∠B0D=20°-51，∠A0N=∠CON=∠A0C=60°-5L, 2 ∠MON=∠BOM+∠BON=20°-51+120°-(60°-5t)=80° .∠MOP=∠NOP=5∠MON=40° ∠BOQ=∠MOP-∠BOM=40°-(20°-51)=20°+5t .∠D0P=∠B0D+∠B00=40°-10t+20°+5t=60°-5°t, AF∥OB, .∠AQ0=∠B00=20°+5t. ·∠AQ0+2∠D0P=145° 20°+5t+2(60°-5t)=145° 解得：t=1(不符合题意，舍去)： 当射线OB在∠COD的外部且射线OC在∠AOB内部时，即4<t<12,如图， O1 F C D -M B 22 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 ∴.∠BOD=∠BOC-∠COD=10t-40°，∠AOC=∠AOB-∠B0C=120°-10t, :∠B0M=∠D0M=)∠B0D=51-20°，∠40N=∠C0N=)∠40C=60°-59. 2 ∠MON=∠B0C-∠B0M+∠C0N=10t-(t-20)+(60°-51)=80° :∠MOP=∠NOP=}∠MON=40. 2 ∠BOQ=∠MOP+∠BOM=40°+(5t-20)=5t+20° ∴.∠D0P=∠M0P-∠DOM=40°-5t+20°=60°-5t, AF∥OB, .∠A00=∠B00=20°+51， .∠AQ0+2∠D0P=145° 20°+5t+2(60°-5t)=145° 解得：t=1(不符合题意，舍去)： 当射线OC在∠AOB外部时，即12<t<18,如图， ⊥A9 F M .∠BOD=∠BOC-∠COD=10°t-40°，∠AOC=∠BOC-∠AOB=10°t-120°， :∠B0M=∠D0M=)∠B0D=51-20°，∠A0N=∠CON=)∠A0C=59-60. 2 ∠MON=∠B0C-∠B0M-∠CON=10°t-(5t-20)-(5t-60)=80° :∠MOP=∠NOP=;∠MON=40, 2 ∠B00=∠M0P+∠BOM=40°+(5t-20)=5t+20° ∠D0P=∠M0P-∠D0M=40°-5t+20=|60°-51 AF∥OB, 23 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 .∠AQ0=∠B00=20°+5t .∠AQ0+2∠D0P=145° 20°+5t+260°-51=145° 解得：1=-1（不符合题意，合去)或1= 3: 当射线OC在射线OB下面时，即18<t<30,如图， OA B ∴.∠B0D=10t-40°，∠A0C=101-120°， :∠B0M=∠D0M=)∠B0D=5-20°，∠40N=∠CON=)∠A0C=51-60, ∠MON=∠AON+∠AOB-∠BOM=5t-60°+120°-(5t-20)=80° :∠MOP=∠NOP=号∠MON=40, 2 ∠BOQ=∠MOP+∠BOM=40°+(51-20)=51+20° .∠D0P=∠B0D-∠B0M-∠M0P=10°1-40°-5t+20°-40°=51-60°， AF∥OB, ∠400=180°-∠B00=180°-20°-5t=160°-5t, :∠A00+2∠D0P=145°， 160°-5t+2(51-60°）=145° 解得：t=21: 上所述：当∠400+2∠D0P=145°时，1=3或，) 24 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 例3.(2425七年级下浙江金华阶段检测)如图，直线PO∥MN,一副三角板(LABC=∠CDE=90°， ∠ACB=∠A=45°∠DEC=60°∠DCE=30° PO .按图(1)所示方式放置，其中点E在直线上，点B,C均在 直线MN上，且CE平分∠ACN. 图(1) 图(2) (1)求∠DE0的度数. (2)如图(2)，将△ABC绕点B以每秒3°的速度按逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为F,G)，设旋转时间为 ts(0≤t≤60) ①在旋转过程中，若边BG∥CD,求t的值. ②若在△ABC绕点B旋转的同时，△CDE绕点E以每秒2°的速度按顺时针方向旋转(C,D的对应点为H,K)· 当边FG与△HKE的一边平行时，请写出对应的t值. 【答案】(1)52.5°： (2)①t=12.5秒：②16.5s,22.5s,34.5s,52.5s,58.5s 【分析】本题主要考查角平分线及平行线的判定和性质，理解题意，作出相应图形及辅助线进行分类讨论是解题 关键. (1)根据邻补角得出∠ACN=135°，再由角平分线确定∠ECN=67.5°，利用平行线的性质即可求解； (2)①根据题意得出∠DCW=37.5°，再由平行线的性质得出∠CBG=∠DCV,即可求解： ②分三种情况：当FG∥HK时，当FG/EK时，当FG∥HE时，作出相应图形，添加辅助线，根据平行线的判定 和性质及三角形内角和定理求解即可 【详解】(1)解：，∠ACB=45°， .∠ACN=135°， :CE平分∠ACN, .LECN=67.5°， Pg∥MN, 25 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 ∠0EC=180°-∠ECN=180°-67.5°=112.5°， :∠DEC=60°， ∠DE0=∠QEC-∠DEC=112.5°-60°=52.5°： (2)解：①如图： B .∠DCE=30°， .∠DCN=67.5°-30°=37.5°， BG∥CD, .∠CBG=∠DCN, .3t=37.5°， ∴.t=12.5秒， ②当FG∥HK时，分别延长FG和BG,BG交HE于点I,交PO于点，交HK于点O,如图所示： JE I G M B .∠JGL=∠FGB=45°， .FG∥HK, .∠J0K=∠JGL=45°， :∠EHK=30°， ∠HI0=∠JIE=15°， .∠DEQ=52.5° ∠0EK=52.5°+2t」 26 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 ∠JE1=180°-(52.5°+2t+60) ∠PJB=180°-(52.5°+2t+60)+15° 180°-(52.5°+2t+60)+15°=3t 解得.416.5 延长FG,交PO于点O,如图所示： ·∠QEK=52.5°+2t 、∠PEK=180°-(52.5°+2t) ∠PLK=90°+180°-(52.5°+2t) ∠GBN=3t,∠BGF=45°. .∠GIB=3t-45°， :FG∥HK,PQ/MN. .∠PLK+∠EOI=180,∠GIB+∠EOI=180°， ∠PLK=∠GIB, 90°+180°-(52.5°+21)=3t-45° 。 5=52.5 解得： 当FG∥EK, 27 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 H B /R 180°-(52.5°+2t）=3t-45° 同理可得， 5=34.5 解得： 当FG∥HE, ◇ 2 E --5 H K F G M B 3t=45°+180°-60°-(52.5°+2t) 同理可得： t4=22.5 解得： 少 P E Q G M U B N 60°-(180°-3t+45)+52.5°+21=180° 同理可得： 5=58.5 解得： 综上可得：t的值为16.5s,22.5s,34.5s,52.5s,58.5s 28 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 变式1.(2425七年级下浙江湖州期中)如图，直线PO∥MN,一副三角尺(LBAC=∠CDE=90° ∠ABC=30°∠ACB=60°∠ECD=∠DEC=45 1 PO )按图放置，其中点B在直线上，点B,C均在直线 N 上，且CE平分∠ACN. G D N M C N M 图① 图② 图③ (1)求∠DE0的度数. (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为G,F)，设旋转 时间为(6)0≤1≤60) ① BFI∥CD 在旋转过程中，若边 ,求t的值 ② ABC CDE 如图③，若在三角形 绕点B旋转的同时，三角形 绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转(C,D 的对应点为H,K),请求出当边BF∥HK时t的值 【答案】(1)75° (2)①5：②3或39 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是 解此题的关键。 (1)根据角平分线的定义并结合平行线的性质计算即可得解： (2)①由平行线的性质结合题意求出∠FBC=15°，从而可得3t=15,解方程即可：②分两种情况，分别列出一元 次方程，解方程即可得解。 【详解】(1)解：如图①， 29 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 图① 因为∠ACB=60° 所以∠ACN=180°-∠ACB=120°， 因为CE平分∠ACN, 所以∠ECN=)∠ACN=60. 因为PQ∥MN, 所以∠QEC+∠ECN=180°， 所以∠QEC=120° 所以∠QED=∠QEC-∠DEC=75°： (2)解：①如图②中， E M B 图② 因为BF∥CD, 所以∠FBC=∠DCN, 因为∠DCN=∠ECN-∠ECD=l5°， 所以∠FBC=15°， 所以3t=15, 所以t=5: ②.③ BF∥HK i如图，当 时，延长KH交N于点， 30 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 D G 图③ 因为BF∥HK, 所以∠FBN=∠KIN, 因为∠OEK=(75+2),∠K=∠QEK+∠KIN 所以2KN=90°-[75°+(2)]=(5-2）° 所以3t=15-2t, 所以t=3: i如图④中，当BF∥HK时，延长HK交MN于点J, E -0 G◇ 图④ 因为BF∥KJ 所以∠FBN+∠KJM=180°. 因为2OEK=(75+2）P,∠EK=∠PEK+∠KM. 所以 ∠KJM=90°-[180°-75°-(2r)]=(25-15)° 所以3t+2t-15=180, 所以t=39, 综上所述，满足条件的t的值为3或39 变式2.(25-26七年级下浙江宁波·期中)如图，直线P№∥MN,一副三角尺(LABC=∠CDE=90°， 31 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 ∠ACB=30°∠BAC=60°∠DCE=∠DEC=45 PO )按如图①放置，其中点E在直线上，点B,C均在直线 MN上，且CE平分∠ACN, M B 图① 图② 图③ (1)求∠DE0的度数. (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为F,G),设旋转时 间为t(s)(0≤t≤45). ①在旋转过程中，若边BG∥CD,求t的值. ②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转(C,D的对应点为 H,).请求出当边BG∥HK时t的值. 【答案】(1)60° 30 (2)①7.5s:②7s或30s 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决 问题 (1)利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题. (2)①首先证明∠GBC=∠DCN=30°，由此构建方程求解，即可解题 ②分两种情形：当BG∥HK时，延长KH交MN于R.根据∠GBN=∠KRN构建方程即可解决问题.当BG∥HK 时，延长HK交MN于R.根据∠GBN+∠KRM=18O°构建方程即可解决问题. 【详解】(1)解：如图， P E D M B :∠ACB=30° .∠CAN=180°-∠ACB=150°， CE平分∠ACN, 32 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 ∴.∠ECN= ∠CAN=75 2 :PQ∥MN ∴.∠QEC+∠ECN=180° ∴.∠QEC=180°-75°=105° ∠DE0=∠QEC-∠CED=105°-45°=60°； (2)解：①如图， P 9 F D .·BG∥CD ∠GBC=∠DCN, ∠DCW=∠ECN-∠ECD=75°-45°=30°， ∠GBC=30°， .4t=30, t=7.5s, “在旋转过程中，若边BG∥CD,t的值为7.5s: ②如图，当BG∥HK时，延长KH交MN于R, R BG∥KR, .∴∠GBN=∠KRN、 ∠QEK=60°+3t∠K=∠QEK+∠KRN .∴∠KRN=90°-(60°+3t)=30°-3t 4t=30°-3t, 33 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 30 .t 7 如图，当BG∥HK时，延长HK交MN于R, BG∥KR, .∠GBN+∠HRB=180°， :LQEK=60°+3t,∠EKR=∠PEK+∠KRM, .∠KRM=90°-(180°-60°-3t)=31-30° .41+3t-30°=180°， .t=30s. 30 综上所述，满足条件的t的值为7s或30s 变式3.(2425七年级下重庆万州期中)己知直线AB‖直线CD,△EFG的顶点E、G分别在直线AB、CD上， 己知LFEG=90°，LEFG=60°，∠EGD的平分线GM交直线AB于H, M E -B B D G D G 图1 图2 (1)如图1，当∠HEG=∠HGE时，求∠FGC的度数： (2)如图2，在(1)的条件下，线段EF以14°/秒的速度绕点E逆时针方向旋转，同时线段EG上有一点K,GK以 6°/秒的速度绕点G顺时针方向旋转，EF旋转到射线EA上时，EF、KG都停止旋转.设旋转时间为秒，在旋 转过程中形成的∠AEF、∠KGD的平分线EN、GM平行时，请直接写出I的值. 【答案】(1)30° (2)当t=4.5或t=22.5时，EN∥GM 【分】本题考查的是角的动态定义，平行线的性质，角平分线的定义，方程的应用： 34 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 (1)先证明LHGE=∠HGD,∠HEG+LEGD=18O°，结合∠HEG=∠HGE,可得∠HGE=LHGD=60°，再进 一步求解即可： (2)如图，由(1)得：∠HEG=60°，∠FEG=90°，∠EGD=120°，∠AEF'=30°，分两种情况画出图形，结合 旋转可得：∠AEF=30°+14t,∠EGK=6t,∠KGD=120°-61，结合角平分线∠AEN=∠NEF=15°+71， ∠KGM=∠MGD=60°-3t,再利用平行线的性质建立方程求解，如图，同理可得： ∠AEF=360°-(30°+14t)=330°-14t∠DGK=6t-120°∠AEN=∠NEF=165°-7t ∠KGM=∠MGD=3t-60°，再利用平行线的性质建立方程求解即可. 【详解】(I)解：，∠EGD的平分线GM交直线AB于H. .∠HGE=∠HGD, .AB∥CD .∠HEG+∠EGD=180°、 ,∠HEG=∠HGE, .3∠HGD=180°， .∠HGE=LHGD=60°， :∠FEG=90°，∠EFG=60°， .∠FGE=30°」 .∠FGC=180°-30°-2×60°=30°， (2)解：如图，由(1)得：∠HEG=60°，∠FEG=90°，∠EGD=120°， .∠AEF'=30° K B K F N G D 由旋转可得：∠AEF=30°+14t,∠EGK=6t, ∴.∠KGD=120°-6t, ,EN平分∠AEF,GM平分∠KGD, .∠AEN=∠NEF=15°+7t,∠KGM=∠MGD=60°-3t, 记EN,CD的交点为P, 35 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 :AB∥CD, ∴.∠EPG=∠AEN=15°+7t, 当EN∥GM时， ∴.∠EPG=∠MGD, 15+7t=60-3t, 解得：1=4.5； ∠AEF=360°-(30°+14t)=330°-14t 如图，同理可得： ∠DGK=6t-120° .∠AEN=∠NEF=165°-7t,∠KGM=∠MGD=3t-60°， NE H B G 记EN,CD的交点为P, AB∥CD .∠EPG=∠AEN=165°-7t, 当EN∥GM时， ∴.∠EPG=∠MGD, .165-7t=3t-60 解得：t=22.5: 综上：当t=4.5或t=22.5时，EN∥GM 36暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 暑假培优复习：平行线的性质与角平分线综合、平行线的性质与旋转问题综合专项训练 考点目录 平行线的性质与角平分线综合 平行线的性质与旋转问题综合 考点一 平行线的性质与角平分线综合 例1．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，，点E，F分别在直线，上，M是平面内任意一点，连接，． 探究： (1)如图1，当点M在直线的左侧时，试说明：． 问题迁移： (2)如图2，当点M在的上方时，，，之间有何数量关系？请说明理由． 联想拓展： (3)如图3，的延长线交于点H，若，的平分线和的平分线交于点P，用含的式子表示的度数． 例2．（25-26七年级下·北京·期末）如图，，射线交于点F．点G在折线上运动（不与D，F重合），点H在直线上运动（不与点F重合）． (1)如图1，当点G在上，点H在点F右侧时，连接交于M，与的角平分线交于点P．求证：． (2)当点G在射线上运动时，连接，与的角平分线所在直线交于点P，画出所有符合题意的图形，并用等式表示和的数量关系（直接写出结论）．注：本小题的每一种情况均需单独画图表示，如将多种情况画在一个图里，将不能得分． 例3．（25-26七年级下·河南焦作·期末）如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． (1)猜想：与的位置关系__________； (2)如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，，则__________．（直接写出结果）． 变式1．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）如图，已知，，交于点． (1)求证：； (2)若，，平分，求的度数． 变式2．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图1，，点、、在上（从左到右依次为、、，不重合），点在上，连接、、，且． (1)求证：平分； (2)如图2，过点作的平分线，交于点，求证：． 变式3．（25-26七年级下·江西赣州·期末）如图，直线，一副直角三角板中，，，，． (1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分； (2)若如图2摆放时，求的度数； (3)若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3)，则°； (4)若图2中固定，（如图4）将从图2位置绕点A顺时针旋转，速度为每秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间． 考点二 平行线的性质与旋转问题综合 例1．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图，点在直线上，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)将绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，的对应点为，的对应点为，设旋转时间为，当时，求旋转时间的值； (3)将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转时间为，当旋转后的与平行时，直接写出旋转时间的值． 例2．（25-26七年级上·重庆·期末）已知，现将绕点O逆时针旋转．      (1)如图1，，当射线平分时，则______； (2)如图2，射线在内部，且满足，将的边从的位置开始旋转（当的边与射线重合时，停止运动），在旋转过程中，当时，请直接写出与的比值，并写出其中一种情况的求解过程； (3)如图3，，，将的边从的位置以每秒的速度开始旋转，旋转时间t秒（），在旋转过程中，射线平分，射线平分，射线平分，直线与直线交于点Q，当时，请直接写出所有满足条件的t的值． 例3．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）如图，直线，一副三角板（，，，）．按图（1）所示方式放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图（2），将绕点B以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点B旋转的同时，绕点E以每秒的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．当边与的一边平行时，请写出对应的t值． 变式1．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按图放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为．            在旋转过程中，若边，求t的值； 如图③，若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 变式2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 变式3．（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知直线直线，的顶点、分别在直线、上，已知，，的平分线交直线于． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，线段以秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时线段上有一点，以秒的速度绕点顺时针方向旋转，旋转到射线上时，、都停止旋转．设旋转时间为秒，在旋转过程中形成的、的平分线、平行时，请直接写出的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $