暑假培优复习：全等的性质与SSS、SAS、ASA、AAS综合问题专项训练-2026年七升八暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦全等三角形性质与判定（SSS/SAS/ASA/AAS）的综合应用，通过分层例题与变式构建系统性训练体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |SSS综合问题|3例+3变式|含延长线、中点等辅助线构造，证线段相等|性质应用为基础，判定条件构建为核心，从边的关系推导全等| |SAS综合问题|3例+3变式|涉及对顶角、中点倍长，证全等及线段长度|结合边角关系，强调夹角度量，培养几何直观与推理意识| |ASA/AAS综合问题|3例+3变式|含实际测量（如条幅高度）、垂直条件，证全等及角度|以角的关系为突破，性质与判定结合，体现数学应用意识|

暑假培优复习：全等的性质与SSS、SAS、ASA、AAS综合问题专项训练 暑假培优复习：全等的性质与SSS、SAS、ASA、AAS综合问题专项训练 考点目录 全等的性质与SSS综合问题 全等的性质与SAS综合问题 全等的性质与ASA或AAS综合问题 考点一 全等的性质与SSS综合问题 例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点、在的边的延长线上，过点作，使得，连接，，．试说明． 【答案】证明：∵， ∴， ∴，                在和中，，，， ∴，                ∴． 【分析】证明即可解答； 【详解】略 例2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）与的位置如图所示，，．试说明． 【答案】解：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据证明即可． 【详解】解：略． 例3．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点E在边上，点F在的延长线上，，．与垂直吗？请说明理由． 【答案】与垂直．理由如下： ，，， ， ∴． 点F在的延长线上， ， ∴， 即， 故与垂直． 【分析】根据全等三角形的判定与性质、平角的定义、垂直的判定，即可解答． 【详解】略 变式1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点是上的点，连接并延长到点、使得，连接，，与相等吗？为什么？ 【答案】相等，理由如下： ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【分析】先证，得，，再根据角度的和差即可解答． 【详解】略 变式2．（25-26九年级下·福建龙岩·阶段检测）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：， ，即， ，， ， ． 变式3．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 考点二 全等的性质与SAS综合问题 例1．（25-26七年级下·广东深圳·月考）如图，与相交于点，且，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)与全等吗？为什么？ 【答案】(1)解：，理由如下， 在和中， ， ∴； (2)解：，理由如下， 由得， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】通过“”即可证明； 由得，所以，又，，所以，即，然后通过“”即可证明． 【详解】（1）略； （2）略． 例2．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)你认为与相等吗？并说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)，理由如下： 因为点为中点， 所以． 在和中， ， 所以， 所以； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，进行解答即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、垂直的定义，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， 所以， 所以． 因为是的中点，， 所以， ． 又因为， 所以， 所以． 例3．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，上有一点 满足． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点 在上方作 ，射线交 于点；在射线上截取线段使 ，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中的条件下，证明： ．请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 解：在和 中， ， ， （ ② ）， ， ∴ ③ ， 在中，， ④ ， ． 【答案】(1)作图如图所示． (2)① ；②全等三角形对应角相等；③；④ 【分析】（1）根据题干信息要求作 ， 即可； （2）根据题干信息要求逐步完善推理依据与推理过程即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：在和 中， ， ， ， （②全等三角形对应角相等）， ， ∴， 在中，， ， ． 变式1．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为边上一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵E为中点， ∴， ∵ ∴ 在和中 ， ∴ (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据E为中点，可得，进而根据，证明； （2）证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 变式2．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即． 在和中： ， ∴． (2)，且，证明如下： 由（1）得， ∴，． ∴， ∴． 综上，，且． 【分析】（1）因为已知，所以先对该等式同时减去公共线段，推导得到，结合已知的、，用全等判定定理证明． （2）和的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对应角，推导其补角，根据平行线的判定定理确定位置关系． 【详解】（1）略． （2）略． 变式3．（25-26七年级下·四川南充·阶段检测）已知：如图，，，，若，，． (1)证明： (2)求与的周长的和． 【答案】(1)见详解 (2)16 【分析】（1）先结合角的和差关系得出，再证明，即可作答． （2）根据全等三角形的性质得，，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， 则与的周长的和 ． 考点三 全等的性质与ASA或AAS综合问题 例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，君君利用假期测量了某商铺楼上悬挂的宣传条幅最低点到地面的距离，测量过程如下： ①君君在地面上的点处测出的度数，并用皮尺测得米； ②君君在楼体上选取一点，使得点到地面的距离米，随后在点处测出的度数，，并用皮尺测得米． 已知点、、、在一条直线上，，，图中所有点均在同一平面内．请你根据上述信息，求出该条幅最低点到地面的距离． 【答案】3米 【分析】证明即可解答． 【详解】解：根据题意可得，， ， ，       ， ，             ，，米， ，                              米， 该条幅最低点到地面的距离为3米． 例2．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，已知于B，于E，，，求证：． 【答案】证明：于B，于E， ． ∵在和中， ， ． 【分析】通过“”证明即可得出结论． 【详解】略 例3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）如图， 是 的中线，交 的延长线于点E，于点F，G是 上一点，连接 ． (1)试说明． (2)若，，求 的长． 【答案】(1)证明：∵ 是 的中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）结合中线的定义得，再根据，，以及对顶角相等，证明，即可作答． （2）结合，，证明，结合线段的和差关系得，代入数值整理得即． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 变式1．（25-26七年级下·广东佛山·期末）利用三角形全等测距离． (1)任务1：目测出操场上与你距离相等的两个点 方案：第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图： 原理： ，，． 又，，（______），______． (2)任务2：测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案：第一步：________________________； 第二步：________________________； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整） 【答案】(1)，， (2)在池塘外取可同时到达、的点，连接AC并延长至点，使；连接并延长至点，使； 测量的长度，的长度就是、两点间的距离． 【分析】（1）由 ， 可得两个直角相等，根据条件可以看出两角夹一边，即判定两个三角形全等，进而得到三角形对应边相等； （2）通过构造 ，得到，通过测量的长度即可． 【详解】（1）∵ ， ， ∴， ∵，， （）， （2）第一步：在池塘外取可同时到达、的点，连接并延长至点，使；连接并延长至点，使； 第二步：测量的长度，的长度就是、两点间的距离． 在和中， ， ，， ∴ ， ∴ 图略 变式2．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，是的中线，交的延长线于点E，于点F，G是上一点，连接． (1)试说明． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的中线， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）结合中线的定义得，再根据，，以及对顶角相等，证明，即可作答． （2）结合，，证明，结合线段的和差关系得，代入数值整理得即． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 变式3．（2026·湖南长沙·一模）如图，，连接，交于点，点，在上，且 ． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质可得， ，结合即可论证结论； （2）通过论证 可得，进而可求. 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ； （2）解： ， 在和中， ， ， ， ， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优复习：全等的性质与SSS、SAS、ASA、AAS综合问题专项训练 暑假培优复习：全等的性质与SSS、SAS、ASA、AAS综合问题专项训练 考点目录 全等的性质与SSS综合问题 全等的性质与SAS综合问题 全等的性质与ASA或AAS综合问题 考点一 全等的性质与SSS综合问题 例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点、在的边的延长线上，过点作，使得，连接，，．试说明． 例2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）与的位置如图所示，，．试说明． 例3．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点E在边上，点F在的延长线上，，．与垂直吗？请说明理由． 变式1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点是上的点，连接并延长到点、使得，连接，，与相等吗？为什么？ 变式2．（25-26九年级下·福建龙岩·阶段检测）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 变式3．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 考点二 全等的性质与SAS综合问题 例1．（25-26七年级下·广东深圳·月考）如图，与相交于点，且，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)与全等吗？为什么？ 例2．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)你认为与相等吗？并说明理由； (2)若，，，求的长． 例3．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，上有一点 满足． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点 在上方作 ，射线交 于点；在射线上截取线段使 ，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中的条件下，证明： ．请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 解：在和 中， ， ， （ ② ）， ， ∴ ③ ， 在中，， ④ ， ． 变式1．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为边上一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 变式2．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 变式3．（25-26七年级下·四川南充·阶段检测）已知：如图，，，，若，，． (1)证明： (2)求与的周长的和． 考点三 全等的性质与ASA或AAS综合问题 例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，君君利用假期测量了某商铺楼上悬挂的宣传条幅最低点到地面的距离，测量过程如下： ①君君在地面上的点处测出的度数，并用皮尺测得米； ②君君在楼体上选取一点，使得点到地面的距离米，随后在点处测出的度数，，并用皮尺测得米． 已知点、、、在一条直线上，，，图中所有点均在同一平面内．请你根据上述信息，求出该条幅最低点到地面的距离． 例2．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，已知于B，于E，，，求证：． 例3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）如图， 是 的中线，交 的延长线于点E，于点F，G是 上一点，连接 ． (1)试说明． (2)若，，求 的长． 变式1．（25-26七年级下·广东佛山·期末）利用三角形全等测距离． (1)任务1：目测出操场上与你距离相等的两个点 方案：第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图： 原理： ，，． 又，，（______），______． (2)任务2：测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案：第一步：________________________； 第二步：________________________； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整） 变式2．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，是的中线，交的延长线于点E，于点F，G是上一点，连接． (1)试说明． (2)若，，求的长． 变式3．（2026·湖南长沙·一模）如图，，连接，交于点，点，在上，且 ． (1)求证：； (2)若，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $