暑假培优复习：利用平行线的性质求角度、平行线的性质在生活中的应用专项训练-2026年七升八暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦平行线性质的角度计算与生活应用，通过分层例题与变式构建从基础推理到动态应用的逻辑体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用平行线的性质求角度|3例+3变式|含辅助线添加、角平分线、动态点位置的角度计算|从性质推导到复杂图形角度关系，体现概念生成与推理拓展| |平行线的性质在生活中的应用|3例+3变式|旋转探照灯、平面镜反射等实际情境问题|从数学抽象到实际问题建模，培养应用意识与空间观念|

暑假培优复习：利用平行线的性质求角度、平行线的性质在生活中的应用专项训练 暑假培优复习：利用平行线的性质求角度、平行线的性质在生活中的应用专项训练 考点目录 利用平行线的性质求角度 平行线的性质在生活中的应用 考点一 利用平行线的性质求角度 例1．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）如图，在同一平面内，作的角平分线，直线，分别交射线，于点，，过点在内作的平行线． (1)求证：； (2)若，求的度数． 例2．（25-26七年级下·浙江金华·期末）已知直线，点为直线上一点，点为直线上一点，点为平面内一点． (1)若点在直线，之间，连接、，过点作射线平分，交直线于点． ①如图1，当，时，则 ； ②如图2，作直线平分交射线于点，求与的数量关系，并说明理由； (2)若为平面内一动点（直线，，上除外），连接，与的平分线交于点，设，，直接写出大小的所有情况（用含和的代数式表示）． 例3．（25-26七年级下·湖南张家界·期末）已知，，分别在、上． (1)如图1，求证：． (2)【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； (3)【问题迁移】如图2，若，点在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； (4)【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，直接写出的度数（结果用含的式子表示）． 变式1．（25-26七年级下·广西防城港·期末）综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，且和，，，． (1)在图中，，求的度数； (2)【深入探究】如图，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由． (3)【拓展应用】缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，请直接写出与的度数． 变式2．（25-26七年级下·河南新乡·期末）已知直线，将三角形按如图所示放置，其中，边，分别与直线，相交于点，，边分别与直线，交于点，． (1)若，求的度数； (2)连接．当恰好平分时，求与之间的数量关系． 变式3．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）已知，，点，分别在，上，点在两直线之间，连接，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的角平分线交于点，点是延长线上一点，连接，若，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，连接，，平分，，，线段绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒，当射线与或平行时，直接写出的值． 考点二 平行线的性质在生活中的应用 例1．（25-26七年级下·云南文山·期中）酷热的夏天过后汛期即将来临，为了便于夜间查看盘龙江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯和．如图1，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，若灯每秒钟转动度，若灯每秒钟转动b度，且满足：，假设这一带盘龙江两岸是平行的，即．且． (1)求a、b的值． (2)若灯B射线先旋转30秒，灯射线才开始转动，求灯转动多少秒时，两灯灯光第一次平行． (3)如图2，两灯同时转动t秒，在灯射线到达之前，若射出来的光线交于点C． ① （用含有t的式子表示）； ②过点C作交于点D，在转动过程中，的值是一个定值吗？若是，请求出这个定值．若不是，请说明理由． 例2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接． (1)若，求的度数； (2)若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行． 例3．（25-26七年级下·四川达州·期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即．若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？    变式1．（25-26七年级下·山东东营·月考）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（① ）， ∵，（已知）， ∴（② ）， ∴，即：， ∴（③ ） (2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°． (3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由． 变式2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？ (2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角为多少度？ 变式3．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心． （1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间； （2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ； （3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优复习：利用平行线的性质求角度、平行线的性质在生活中的应用专项训练 暑假培优复习：利用平行线的性质求角度、平行线的性质在生活中的应用专项训练 考点目录 利用平行线的性质求角度 平行线的性质在生活中的应用 考点一 利用平行线的性质求角度 例1．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）如图，在同一平面内，作的角平分线，直线，分别交射线，于点，，过点在内作的平行线． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据平分，得出，根据，得出，等量代换即可证明． （2）根据角平分线可得，根据平行线的性质得出，即可求出，结合，，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，根据（1）可知， ∴． 例2．（25-26七年级下·浙江金华·期末）已知直线，点为直线上一点，点为直线上一点，点为平面内一点． (1)若点在直线，之间，连接、，过点作射线平分，交直线于点． ①如图1，当，时，则 ； ②如图2，作直线平分交射线于点，求与的数量关系，并说明理由； (2)若为平面内一动点（直线，，上除外），连接，与的平分线交于点，设，，直接写出大小的所有情况（用含和的代数式表示）． 【答案】(1)； ，理由如下： 过点P向右作的平行线，过点G向右作的平行线， 由题可知：平分，平分， ，． ， ， ， ， ． (2)或或或 【分析】（1）①过点向右作，由得．由平分且得．由得．由且得．故． ②过点向右作，过点向右作．由角平分线得，．由平行线性质，利用内错角与同旁内角关系，将和分别用和表示，代换得． （2）分四种情况讨论点的位置：①在上方；②在之间且在左侧；③在下方；④在之间且在右侧，由角平分线设，用表示相关角，利用平行线性质和同旁内角互补建立方程，消元得的表达式． 【详解】（1）解：①如图，过点向右作， ， ， 平分，， ， ， ， ，， ， ． 略 （2）解：当在上方时，如图，过点向右作， ， ， 平分，平分， 可设， ，， ，，， ， ，即， ， ． 当在之间且在左侧时，如图： 同理可得，， ，即， ， 当在下方时，如图： 同理可得，， ，即，， ， 当在之间且在右侧时，如图： 同理可得，， ，即， ， 综上，的大小为或或或 例3．（25-26七年级下·湖南张家界·期末）已知，，分别在、上． (1)如图1，求证：． (2)【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； (3)【问题迁移】如图2，若，点在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； (4)【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，直接写出的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)如图1，过点P作， ， 又， ； (2) (3)， 理由：如图2，过P点作， ，， ， ， ， ， ， ， ； (4) 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ， ， ； （3）略 （4）如图3，过点G作． ，， ， ，， 又的平分线和的平分线交于点G， ，， 由（2）得，， ， ， ． 变式1．（25-26七年级下·广西防城港·期末）综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，且和，，，． (1)在图中，，求的度数； (2)【深入探究】如图，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由． (3)【拓展应用】缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，请直接写出与的度数． 【答案】(1) (2)证明：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：． (3)， 【分析】（1）根据平角的定义求出，再根据平行线的性质即可求解； （2）过点作，根据平行线的性质得到，，再利用，得到，整理等式即可说明； （3）过点作，根据角平分线的定义得到，，再根据平行线的性质得到，，利用角的和差求出，再利用平行线的性质即可求解的度数． 【详解】（1）解：如图1， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图3，过点作， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上，，． 变式2．（25-26七年级下·河南新乡·期末）已知直线，将三角形按如图所示放置，其中，边，分别与直线，相交于点，，边分别与直线，交于点，． (1)若，求的度数； (2)连接．当恰好平分时，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，得到，进而由两直线平行，内错角相等得，，进而根据角的和差关系求解即可； （2）设，，则，可得，再由角平分线的定义可得，然后根据邻补角的定义可得，等量代换即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ； （2）解：设，，则， 由（1）得， ， ， 恰好平分， ， ， ， 即． 变式3．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）已知，，点，分别在，上，点在两直线之间，连接，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的角平分线交于点，点是延长线上一点，连接，若，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，连接，，平分，，，线段绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒，当射线与或平行时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)解：， 理由如下： 设，， 平分，， ，， 分别过点，作，， 如图所示： ， ， ，， ， 根据解析（1）可知：， ， 即； (3)或 【分析】（1）过点作，根据两直线平行，内错角相等，可得； （2）分别过点，作，，根据平行线的性质可知，，根据角之间的关系可得，由即可求出和的数量关系； （3）分和两种情况求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ； （2）略 （3）解：平分， ， 由（1）可知：， 当时，过点作，如图所示： 则， ，， ， ， ， ； 当时，如图所示： ，， ， ， ； 综上所述，或． 考点二 平行线的性质在生活中的应用 例1．（25-26七年级下·云南文山·期中）酷热的夏天过后汛期即将来临，为了便于夜间查看盘龙江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯和．如图1，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，若灯每秒钟转动度，若灯每秒钟转动b度，且满足：，假设这一带盘龙江两岸是平行的，即．且． (1)求a、b的值． (2)若灯B射线先旋转30秒，灯射线才开始转动，求灯转动多少秒时，两灯灯光第一次平行． (3)如图2，两灯同时转动t秒，在灯射线到达之前，若射出来的光线交于点C． ① （用含有t的式子表示）； ②过点C作交于点D，在转动过程中，的值是一个定值吗？若是，请求出这个定值．若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②为定值， 【分析】本题考查了非负数的性质，列代数式，解一（二）元一次方程(组)，平行线的性质，平行公理的推论．利用非负数的性质和平行线的性质列出方程（组）是解题的关键． （1）利用非负数的性质，列方程组解出即可； （2）设转动时间，并表示出灯和灯转动的角度，再利用平行线的性质，列出方程解出即可； （3）①利用锯齿形中各角的关系即可列出代数式； ②利用①的结论和②中的条件，用表示出与，即可探究出的值． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：； （2）当两灯灯光第一次平行时， 则：， 解得：； （3）①如图，过点C作， ， ， ， ∴， 经过秒，， ， 故答案为：； ②为定值， ， ， ， ， ，， ， ． 例2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接． (1)若，求的度数； (2)若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）由可得，，由可得，代入即可求解； （）分三种情况：当与相遇前，两灯的光线；当与相遇后， 为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线；当与相遇后，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线；列出方程解答即可求解； 本题考查了补角性质、平行线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当与相遇前，设灯的光线转动秒，两灯的光线，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 当与相遇后，灯的光线转动秒，为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线，如图， 同理可得：， ∴，解得，不合题意，舍去； 当与相遇后，灯的光线转动秒时，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线，如图， 同理可得：， ∴， 解得； 综上，或时，两灯的光线互相平行， 故答案为：或． 例3．（25-26七年级下·四川达州·期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即．若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？    【答案】当秒或秒时，两灯的光束互相平行 【分析】设A灯转动t秒，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别根据两灯的光束互相平行列出方程求解即可． 【详解】解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，，解得； ②当时， ，解得； ③当时，，解得（不合题意）； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行． 变式1．（25-26七年级下·山东东营·月考）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（① ）， ∵，（已知）， ∴（② ）， ∴，即：， ∴（③ ） (2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°． (3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行； (2)96，90 (3)当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等得，根据角之间的关系等量代换得，即可得，根据内错角相等两直线平行即可得； （2）由题意得，，，即可得，根据得，可得，即可得，根据三角形内角和定理即可得； （3）由（1）得，，，根据，得，即可得，等量代换得即，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴（①两直线平行，内错角相等 ）， ∵，（已知）， ∴（②等量代换 ）， ∴，即：， ∴（③内错角相等，两直线平行 ） 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行； （2）解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：96，90． （3）当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由如下： 解：由（1）得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？ (2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角为多少度？ 【答案】(1) 证明：由题可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换、平角的概念即可得证； （2）根据平行线的性质、平角的概念及等量代换即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）， 由题可知，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴. 变式3．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心． （1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间； （2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ； （3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？ 【答案】（1）P、Q两灯照射一次各需要的时间分别为18秒、45秒；（2） ；（3）当开启15s或s或s后，两灯的光束互相垂直． 【分析】（1）直接利用180除以两灯的速度即可求得结果； （2）过点作，利用平行线的相关性质求解即可； （3）分三种情况：①当两灯开启时间小于18秒时，②当两灯开启时间大于18秒，小于36秒时，返回时，第一次与相遇，③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，返回时，第二次与相遇，分别根据两灯的光束互相垂直，利用平行线的相关性质，找准等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒， ∴P灯照射一次需要的时间是：（秒） Q灯照射一次需要的时间是：（秒）； （2）∵转动12秒时，两光束恰好在M点汇聚， ∴, ， 如下图示，过点作， 则有 ∴， ， ∴， ∴； （3）①当两灯开启时间小于18秒时， 如图1所示， 过点作， 则有 ∵，， ∴， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； ②当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时， 返回时，第一次与相遇，则如图2所示， 过点作， 则有 ∴， ， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； ③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时， 返回时，第二次与相遇，则如图3所示， 过点作， 则有 ∵，， ∴， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； 综上所述，当开启15s或s或s后，两灯的光束互相垂直． 2 学科网（北京）股份有限公司 $