暑假培优复习：全等三角形中的手拉手模型、一线三等角模型专项训练-2026年七升八暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦全等三角形两大核心几何模型，通过精选例题与变式训练，系统构建模型应用逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |手拉手模型|3例+3变式|涉及等腰直角、等边三角形等共顶点模型，求证线段相等、角度关系及特殊三角形判定|从基础共顶点双等腰/等边三角形出发，逐步拓展至动态点、多结论证明，构建“模型识别-全等判定-性质应用”逻辑链| |一线三等角模型|3例+3变式|直线上等角构造，含直角、一般角及图形旋转情境，探究线段数量关系与位置关系|以直线上“一线三等角”基本结构为核心，通过角度转化、全等证明，延伸至图形旋转后的变式应用，强化空间观念|

暑假培优复习：全等三角形中的手拉手模型、一线三等角模型专项训练 暑假培优复习：全等三角形中的手拉手模型、一线三等角模型专项训练 考点目录 全等三角形中的手拉手模型 全等三角形中的一线三等角模型 考点一 全等三角形中的手拉手模型 例1．（25-26八年级上·四川资阳·期中）已知：如图，和都是等腰直角三角形，，连结相交于点F，相交于点M．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证推出，进而即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即； ∵ ∴； ∴， ∵， ∴， ∴． 例2．（25-26七年级下·山东德州·月考）如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出． （1）根据等边三角形的性质得出，，，求出，根据推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，代入求出即可． 【详解】（1）证明∵和均是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）∵ ∴ ∵是的外角 ∴ ∵，， ∴． 例3．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ABM=∠ACN． ∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠CAN=60°=∠BAC． 在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由(2)知△ABM≌△ACN， ∴AM=AN， ∵∠CAN=60°， ∴△AMN是等边三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键． 变式1．（25-26七年级下·江苏南通·月考）如图：，，，，请问图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． 【答案】，，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂直的意义，先由条件可以得出，再证明就可以得出结论； 【详解】解：结论：，． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ， ， ∴． ∴，． 变式2．（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60度 (3)，见解析 【分析】（1）利用等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （3）同（1）易证，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 变式3．（25-26七年级下·广东深圳·月考）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 【答案】①见详解；②120；③见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． ①由“”可证； ②由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求解； ③由“”可证，可得结论． 【详解】证明：①、为正三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 故答案为：120； ③在和中， ， ， ． 考点二 全等三角形中的一线三等角模型 例1．（25-26八年级上·四川自贡·阶段检测）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．    (1)如图1 ，当时，猜想线段之间的数量关系是？ (2)如图2 ，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若，求DE的长． 【答案】7cm 【分析】利用一线三垂直模型证明得到即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为D、E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握“两个三角形若有两个角分别相等且其中一组等角的对边相等，则这两个三角形全等”是解题的关键． （1）根据图形发现要证相等的两条线段和分别在与中，而这两个三角形已经有一组边，还有一组角，题目中出现了三个直角且顶点在同一条直线上，可以利用同角的余角相等再找一组角，证全等从而证线段相等． （2）利用全等三角形的对应边相等，先求出的长度，从而得到的长度． 【详解】（1）证明： ， ，，， ， 在与中， ， ， ． （2）解： ，， 由（1）可知， 又， ． 变式1．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了邻补角的意义，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． （1）由已知推出，因为，推出，根据即可得到，得到，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； （3）与（1）（2）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）证明：∵， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ． （3）， 理由：∵， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 变式2．（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）（1）如图1，已知，，易得.如图2，，，，且，，试问的数量关系，并写出其证明过程. （2）如图3，在中，，，点D是直线上的任意一点（不与点B、C重合），连接，过点D在的右侧作，且，连接，直接写出的度数. 【答案】（1），证明见解析；（2）或 【分析】（1）过点作于点，证明，，推出，，等量代换可得； （2）分三种情况：点D在线段上，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，参照（1）中方法，通过作辅助线构造全等三角形，即可求解． 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：. 证明：过点作于点， ， ，， ， 在和中， ， ， 同理可证，， ，， . （2）解：当点D在线段上时，过点E作，交的延长线于点F， 由（1）可知， ，， ， ， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，过点作，交的延长线于点， 同理可得， ，， ， ， ， ， ，即； 当点在线段的延长线上时，过点作于点， 同理证得， ，， ， ， ， ， . 综上可得的度数为或 变式3．25-26七年级下·广东梅州·月考）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优复习：全等三角形中的手拉手模型、一线三等角模型专项训练 暑假培优复习：全等三角形中的手拉手模型、一线三等角模型专项训练 考点目录 全等三角形中的手拉手模型 全等三角形中的一线三等角模型 考点一 全等三角形中的手拉手模型 例1．（25-26八年级上·四川资阳·期中）已知：如图，和都是等腰直角三角形，，连结相交于点F，相交于点M．求证：． 例2．（25-26七年级下·山东德州·月考）如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 例3．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 变式1．（25-26七年级下·江苏南通·月考）如图：，，，，请问图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． 变式2．（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 变式3．（25-26七年级下·广东深圳·月考）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 考点二 全等三角形中的一线三等角模型 例1．（25-26八年级上·四川自贡·阶段检测）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．    (1)如图1 ，当时，猜想线段之间的数量关系是？ (2)如图2 ，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 例2．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若，求DE的长． 例3．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为D、E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 变式1．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 变式2．（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）（1）如图1，已知，，易得.如图2，，，，且，，试问的数量关系，并写出其证明过程. （2）如图3，在中，，，点D是直线上的任意一点（不与点B、C重合），连接，过点D在的右侧作，且，连接，直接写出的度数. 变式3．25-26七年级下·广东梅州·月考）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $