4.3 探索三角形全等的条件 暑期专项练习 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦三角形全等判定与性质，通过生活情境题与变式训练，系统培养几何直观与推理能力，构建"概念-判定-应用"逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|1-8题|SSS/SAS/ASA/AAS判定条件辨析|从三角形稳定性引入，逐步深化全等判定定理应用| |性质应用|9-14题|全等三角形对应边/角/中线关系转化|结合网格、实际场景（小孔成像、射击稳定）强化性质迁移| |尺规作图|15-16题|作全等三角形的规范步骤|通过作图直观理解全等判定的几何原理| |综合证明|17-20题|辅助线添加（如中线倍长）、等量代换|整合判定与性质解决动态几何问题，培养逻辑推理能力|

4.3 探索三角形全等的条件 暑期专项练习2025-2026学年 北师大版七年级数学下册 一、单选题 1．下列物体的结构中，没有运用到三角形稳定性的是（ ） A． B． C． D． 2．如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出还需要添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D．以上都对 3．北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处．这座宏伟的桥梁一共设计了112对224根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是（     ）． A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 4．按如下步骤作图：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 6．如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 7．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A．27 B．12 C．24 D．36 9．如图是5×5的正方形网格，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 二、填空题 10．小明回顾了用尺规作的过程是： 由尺规作图可知，，，， 所以________， 所以________．（填写理由依据） 11．如图所示，在西安全运会上一名中国运动员在跪姿射击时，由左手、左肘、左肩、构成托枪的三角形，以及由左手、左肩、右肩构成近乎水平的三角形．这两个三角形可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这样做的数学依据是________． 12．图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段，其像可视为线段，光线与光线交于小孔点．已知点到像的距离与点到蜡烛火焰的距离相等，且点，，三点共线．像的高度为，则蜡烛火焰的高度为_________． 13．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是______．    14．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 三、解答题 15．如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1． (1)画出格点关于直线l对称的； (2)与的位置关系是_______________；与的数量关系是_______________． 16．已知：线段，，（如图）． 求作：，使，，． 17．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 18．如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且．若已知，，求的长． 19．中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． (1)小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． (2)求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 20．如图，，点对应点，点对应点，点，，，在一条直线上． (1)求证：． (2)若，，求边的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C B D B C A C A B 1．C 【分析】根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：对于A、B、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性； 而C选项中，用到了四边形的不稳定性． 2．B 【分析】根据已知条件，，要利用“”推理得，只需再得到一组边相等即可，再结合选项中所给的条件，运用线段之间的关系进一步分析即可得出答案． 【详解】解：当时，， 理由：∵， 又，， ∴（） 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 3．D 【详解】解：斜拉桥的斜拉索、桥塔和桥面构成了三角形结构， 设计斜拉索所运用的几何原理是三角形的稳定性． 4．B 【分析】本题考查了尺规作图作线段，全等三角形的判定与性质，根据作图步骤得到线段相等是解题的关键．由作图知，进而可证明，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：由作图可知， ，，， ， ． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据题意，可利用判定两个三角形全等，从而判断两个三角形的对应角相等，对应边上的中线相等，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，嘉嘉与淇淇两名同学拼成的三角形全等， 则两个三角形的三个内角分别相等；两个三角形中长为的边上的中线相等． 故两人的说法都正确， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用证明三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ，，， ， 故选：A． 7．C 【分析】根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：题干的：三边长分别为、、， ∵三角形要全等对应边必须相等， ∴只有C项与的各边都相等． 8．A 【分析】先证，再求出长，根据面积公式可得的面积． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， ， ， 又点为中点 ， ， ， ． 9．B 【分析】观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形． 【详解】 根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点． 故选B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解答本题的关键是按照顺序分析，要做到不重不漏． 10． 全等三角形的对应角相等 【分析】根据全等三角形的判定定理及性质解答即可． 【详解】解：由尺规作图可知，，，， 所以， 所以（全等三角形的对应角相等）． 11． 三角形具有稳定性 【详解】解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 13．或 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 14． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 15．(1)见解析 (2)； 【分析】本题考查了轴对称作图，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，画图即可； （2）根据成轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：由图得：； 连接， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 16．见解析 【分析】画射线，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交的两边于点，；以相同长度为半径，B为圆心画弧，交于点F，以F为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，作射线；以B为圆心，a为半径画弧交射线于点C，以B为圆心，c为半径画弧交射线于点A，连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 17．证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】根据，得到，利用即可得证. 【详解】略 18．的长为2 【分析】依题意得，证明，进而依据“”判定和全等得，，由此得，然后根据可得的长． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 即的长为2． 19．(1)②； (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，可得只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA； （2）分别作，即可求解． 【详解】（1）解：因为只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 所以小张只要从两块碎片中选择第②块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是 （2）如图所示：为所求 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等． （1）由全等三角形的性质可得，等式两边同时减去即可得到； （2）由全等三角形的性质可得，再利用三角形三边关系即可求出边的取值范围． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， 在 中，， ，即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $