暑假培优复习：利用SSS、SAS、ASA、AAS证明全等三角形专项训练-2026年七升八暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦全等三角形判定公理（SSS/SAS/ASA/AAS）的暑期专项突破，以分层典例构建从基础到综合的推理训练体系，渗透几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |SSS证明|3例+3变式|含公共边、中点、线段和差条件|从三边对应相等直接判定到间接推导边相等，强化等量代换思想| |SAS证明|3例+3变式|涉及夹角度、对角线、倍长中线模型|以“边角边”为核心，训练角相等（对顶角/公共角）与边相等的组合应用| |ASA或AAS证明|3例+3变式|包含对顶角、公共角、平行线性质及实际测量情境|通过角角边与角边角的辨析，构建“两角及一边”判定的逻辑链，培养推理能力|

暑假培优复习：利用SSS、SAS、ASA、AAS证明全等三角形专项训练 暑假培优复习：利用SSS、SAS、ASA、AAS证明全等三角形专项训练 考点目录 利用SSS证明全等三角形 利用SAS证明全等三角形 利用ASA或AAS证明全等三角形 考点一 利用SSS证明全等三角形 例1．（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）已知，如图，，，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在 和中， ∴ ∴． 【分析】先由“”判定，即可证明． 【详解】略 例2．（2026·云南·中考真题）如图，，，点是线段的中点．求证：． 【答案】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用判定方法“”证明即可． 【详解】略 例3．（2026·云南昆明·一模）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ． 在与中 ， ． 【分析】根据得出，根据“”即可证明． 【详解】略 变式1．（2026·福建福州·模拟预测）如图，已知：、、、四点在一条直线上，，，且．请说明． 【答案】见解析 【分析】由可得，再根据判定全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴ 变式2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，，是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是关键；由是的中点，可得，再结合已知条件用边边边的判定即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． 变式3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，点在同一直线上，若． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质与判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：∵，， ． 考点二 利用SAS证明全等三角形 例1．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵，，， ∴． (2)证明：∵， ∴． 【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，然后由进而得出； 接下来根据即可判定． （2）根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 例2．（2025·云南丽江·一模）如图，，，．求证：． 【答案】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【分析】由，得到，结合已知条件，即可得证． 【详解】略 例3．（2026·云南曲靖·二模）如图，．求证：． 【答案】见详解 【分析】先结合平行线的性质，得出，根据，运用线段的差的关系得出，又因为，即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式1．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）随着技术的发展.中国在空天地一体化网络建设中处于领先地位，某科技企业研发的基站信号覆盖范围可抽象为三角形，如图，在中，为的中点，为边上一点．连接，并延长至点，使得，连接． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）结合是的中点，运用证明，即可作答． （2）由全等三角形的性质得，再结合平行线的性质得，最后代入数值到计算，即可作答． 【详解】（1）证明：是的中点， . 在和中， ． （2）解：由（1）得， . 又，， ， ． 变式2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在和中，，，P是上任意一点，试说明： (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，，根据进行判定即可； （2）由（1）可得，得到，证明，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）证明： 在和中， ， ， ． 变式3．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）根据角边角的证明方法证明即可； （2）根据，，计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 在与中， ， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 考点三 利用ASA或AAS证明全等三角形 例1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． 在和中 ， ∴． 【分析】先根据平行线的性质得到，再利用证明即可． 【详解】略 例2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）小明周末在小区玩耍时，准备利用所学数学知识测量对面楼的高．如图．小明在距离楼米的点处利用测角仪看点．此时的度数为，点到的距离为20米．之后小明向前走一定的距离到达点．并利用测角仪看点，此时的度数为，看点时的的度数为，并且．已知楼高20米，求楼的高． 【答案】13米 【分析】根据题意证明，得到，设，由线段和差计算得到，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，米，米，， ∴， ∵，即， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，则， ∴，， ， 解得， ∴楼的高为13米． 例3．（2026·西藏·模拟预测）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先由已知条件可依据“”判定和全等，从而得，进而可得，然后再依据“”判定和全等即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 变式1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 由题意可得：，，，， 则， 在和中， ， ； （2）， ，， 则两条凳子的高度之和为：． 变式2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积为10． 变式3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，在中，于，于，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解答此题的关键． （1）由同角的余角相等得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵于，于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优复习：利用SSS、SAS、ASA、AAS证明全等三角形专项训练 暑假培优复习：利用SSS、SAS、ASA、AAS证明全等三角形专项训练 考点目录 利用SSS证明全等三角形 利用SAS证明全等三角形 利用ASA或AAS证明全等三角形 考点一 利用SSS证明全等三角形 例1．（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）已知，如图，，，， 求证：． 例2．（2026·云南·中考真题）如图，，，点是线段的中点．求证：． 例3．（2026·云南昆明·一模）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 变式1．（2026·福建福州·模拟预测）如图，已知：、、、四点在一条直线上，，，且．请说明． 变式2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，，是的中点，求证：． 变式3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，点在同一直线上，若． (1)求证： (2)若，求的度数． 考点二 利用SAS证明全等三角形 例1．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 例2．（2025·云南丽江·一模）如图，，，．求证：． 例3．（2026·云南曲靖·二模）如图，．求证：． 变式1．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）随着技术的发展.中国在空天地一体化网络建设中处于领先地位，某科技企业研发的基站信号覆盖范围可抽象为三角形，如图，在中，为的中点，为边上一点．连接，并延长至点，使得，连接． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 变式2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在和中，，，P是上任意一点，试说明： (1) (2) 变式3．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 考点三 利用ASA或AAS证明全等三角形 例1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 例2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）小明周末在小区玩耍时，准备利用所学数学知识测量对面楼的高．如图．小明在距离楼米的点处利用测角仪看点．此时的度数为，点到的距离为20米．之后小明向前走一定的距离到达点．并利用测角仪看点，此时的度数为，看点时的的度数为，并且．已知楼高20米，求楼的高． 例3．（2026·西藏·模拟预测）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 变式1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 变式2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 变式3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，在中，于，于，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $