2.3. 平行线的性质 暑期专项练习 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以平行线性质为核心，通过基础应用、情境综合、探究证明三级训练，系统提炼作辅助线、分类讨论等方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|10单选+5填空|直接应用性质（同位角/内错角/同旁内角）|从性质定义到简单角计算| |情境综合|机器狗/榫卯/光反射等实例|作辅助线（过点作平行线）|性质与实际情境结合| |探究证明|5解答题（含折叠/旋转）|分类讨论、性质与图形变换综合|性质拓展到动态几何推理|

2.3.平行线的性质暑期专项练习2025-2026学年北师大版 七年级数学下册 一、单选题 1．如图，若，，则（   ） A． B．100° C．110° D．120° 2．机器狗（四足机器人）是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（     ） A． B． C． D． 3．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合相互契合的一种经典连接工艺．如图是卯眼构件的截面图，其中，，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜折射后，折射光线，反向延长线交于主光轴上一点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 6．现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 8．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，，当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 9．如图，，则与的数量关系是(   )    A． B． C． D． 10．如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（    ） A．129° B．72° C．51° D．18° 二、填空题 11．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则____________ ． 12．如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为______． 13．如图，直线a、b被直线c所截，且，若，则的度数为__________． 14．已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B沿向下折叠至点N，M处，将点C，D沿折叠至点P，K处，若，则的度数为_______． 15．将一副三角尺中的两块直角三角尺按如图方式叠放在一起，其中，，若三角尺不动，将三角尺绕顶点转动一周，当三角尺的直角边与平行时，的度数为______． 三、解答题 16．如图所示，已知是的平分线，，，求，，的度数．请完成下面的解题过程和理由． 解：∵是的平分线（已知）， ∴______（     ）， ∵（已知）， ∴______（     ）， ______（      ）， ∵（已知）， ∴（     ）， ∴（     ）， ∴____________． 17．读句画图：如图，直线与直线相交于C，根据下列语句画图： (1)过点P作，交于点Q； (2)过点P作，垂足为R； (3)若，则是_____度． 18．某次几何课上，老师借助字母M，命制了如下两小题，请你帮老师写出试题的证明过程． (1)如图1，已知，，求证：． (2)如图2，若，，求证：． 19．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 20．嘉淇对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，嘉淇将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图2，嘉淇将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)嘉淇将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在射线上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A B B D B D C 1．D 【分析】先根据互补的定义，求得，再根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】解：，， ， ， ． 2．B 【分析】过点E作，则，根据平行线的性质求出，，再根据即可求解． 【详解】解：过点E作， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 3．B 【详解】解：∵，， ∴. 4．A 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 5．B 【详解】解：A、由推出，故A不符合题意； B、由推出等于的对顶角，由对顶角相等得到，故B符合题意； C、由，不能得到，故C不符合题意； D、由，不能得到，故D不符合题意． 6．B 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质． 根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到即可． 【详解】解：如图， ∵长方形彩带， ∴， ∴， ∵折叠， ∴． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角等知识，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，则． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8．B 【分析】过点作，则，根据平行线的性质得到，进行求解即可． 【详解】解：过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．D 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用．过点作，令与交于点，先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解． 【详解】解：设 则，，， 过点作，令与交于点， ∵， ∴， ∴，，， ∴ ； ； ∴ 故选：D． 10．C 【分析】分当时，如图1所示，当时，如图2所示，两种情况，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图1所示，过点G作， ∵， ∴， ∴∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM， ∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM， 由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM， ∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM， ∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM， ∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM， ∴ 当时，如图2所示，过点G作， 同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ， ∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM， ∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM， ∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°， ∴∠PHG=150°-2∠ABM， ∴， 综上所述，或， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 11． 【分析】本题考查的是平行线的性质，先由得出的度数，根据即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查平行线的判定：同位角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由，得出，、为同位角，所以.由，，得出，所以 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 13． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∴． 14．或 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，证明，则；当在下方时，延长，交于点，证明，则． 【详解】解：当在上方时，延长、交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在下方时，延长，交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：或． 15．或 【分析】分两种情况：当点在直线上方，时，当点在直线下方，时，分别利用平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】解：当点在直线上方，时， 则， ∴； 当点在直线下方，时， 则， ∴； 综上所述，的度数为或． 16．，角平分线定义；，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，内错角相等；等量代换；等量代换；，． 【分析】根据角平分线定义，平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的平分线（已知）， ∴（角平分线定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（等量代换）， ∴． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用得内错角相等，结合，推出内错角相等，从而证明； （2）过点作，过点作，两线交于点；由得，由得；再利用两直线平行，内错角相等，完成角的等量代换，证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）证明：过点作，过点作，两线交于点． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴， 即． 19．证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】由平行线的性质得到，，得到，从而得到，再由得出结论． 【详解】略 20．(1) (2)平分，理由见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果； 【详解】（1）解：∵，， ∴（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， ，即平分； （3）解：根据题意，分以下四种情况： ①如图1，当时， ； ②如图2，当时， ； ③如图3，当时， 则， ； ④如图4，当时，此时重合， ． 综上所述，的度数为或或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $