专题一 相似三角形的五大基本模型（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（湘教版·新教材）

△ABC,(②解：由1得△ADBn△ABC是-铝即5=高AE=4, 6.B7.D8.17 9.证明：由尺规作图的痕迹得CD=CB,AD=CD.∴.∠DCA=∠A=36°.∴.∠CDB= ∠A+∠DCA=72°.：CD=CB,∴∠B=∠CDB=72°.∴.∠BCD=180°-∠B- ∠CDB=36°.∴.∠A=∠BCD.∠ABC=∠CBD,∴△ABC△CBD. 10.(1)证明：四边形ABCD为菱形，∴∠ACD=∠ACB.:∠ACD=∠ABE, ∴∠ACB=∠ABE.∠BAC=∠EAB,.△ABCn△AEB.(2)解：△ABC∽ △MEB26即是音AE-9.CE-AE-AC-5 11.(1)证明：，∠A=∠B=∠DPC=90°，∠APD+∠BPC=90°，∠APD+∠ADP =90∠ADP=∠BPC△ADP△BPCa0-AD,BC=AP·BP (2)解：成立.理由如下：∠A=∠B=∠DPC=0,∴∠APD+∠BPC=180°-0， ∠APD+∠ADP=1S0-R∠ADP=∠BPC∴△ADPD△BPC.∴gP-AC ∴AD·BC=AP·BP. 第3课时相似三角形的判定定理2 新知导学 成比例相等 【例1】证明：AD=5,BD=3,AE=4,CE=6,∴.AB=AD十BD=8,AC=AE十CE= 10小铝=告=合是=品=合铝-是又：∠A=∠A,△ADB△ACB 【例2】不相似 1.C2.C3.B4.25.65° 6证明：光=品=2.8咒=告=2,82-8器又：∠A0D=∠c0B,△A00∞ △COB. 7.B8.C 9.(1)证明：，AD,BE是△ABC的两条高，∴.∠ADC=∠BEC=90°.又∠C=∠C, ∴△ACD△BCE器-器即CE·CA=CD.CB(2)懈：器-器需 器又：∠C=∠C,acDB△cAa器器-是 10.(1)证明：正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，.∠A=∠D=90°，AD= AB=D0=BC=4,AE=DE=专AD=2,DF=DC=1是-音=2,8器-是=2， :2架.：∠A=∠D=90,△ABE△DEF.(2)解：四边形ABCD为正方 形，ED/BG,△DEFO△CGR0器-8SDF=1,DE=2,CP=DC-DF=3, CG=DECP=6.∴ACrG的面积=CG·CF=9. DF 11.2.5或4 第4课时相似三角形的判定定理3 新知导学 成比例 【例1】证明：由图可知，AB=4,AC=√12十1=√2，BC=√32+1=√10，DE=8,DF -平7=22.-6+-2v瓜提-言言品-易器- 一4 票-0-祭-器DF.2C∠E 【例2】号em,号m或号cm,号cm或号cm,号cm 10 5 1.A2.c3.罗 15(2)128 4证明：AD-2BD,AE-2CE裙-号能-号又既-号小品-能- B器.△ABCAADE. 5解：8-S-铝△ABC△ADE∠BAC=∠DAE∠DAE-∠DAC =∠BAC-∠DAC,即∠CAE=∠BAD=15°. 6.C7.C 8解：△AD0C△ADC.理曲知下：铝沿品-滑又：品=瓷 =滑器=瓷=0△ADCAADC 9,.(1)解：∠CBD=∠A,∠BCD=∠ACB,△BDCn△ABC÷8器-怨即罗- 2 是.CD=1.BD=VCD+BC=5.(2)证明：E,F分别是R△ABC,R1△BCD 斜边上的中点，∴CF=号BD,CE=号AB.“E,F分别是AB,BD的中点，EF= 名AD.品-器-器-△CEF∽△BAD, 10.解：(1)△ABC△DEF.理由如下：根据勾股定理，得AB=2√5，AC=√5，BC=5, Dg=4g.D=2E,EF-2而是-平架=器=平是-祭 =S∴△ABC△DER.(2)如图，△P,PR即为所求. 专题一相似三角形的五大基本模型【热点】 1.C2.4 3.(证法-)证明：DH∥BF,∴開-品，能-器又：AD是BC边上的中线， DnCH=PHcR提-荒号 CF. (证法二)证明：AD是BC边上的中线，BD=号BC.:DK∥AC,△BDK∽ △BcF,△DEKO△MEP0-祭景-是∴DK=cR,∴'-景 AF2AF CF 4.√2 5.(1)证明：DH∥AB,∴∠A=∠HDC.∠CBD=∠A,∴∠HDC=∠CBD.又 ∠H=∠H,∴.△HCDn△HDB.(2)解：2 -5 6.1：3 7.(1)证明：，'△ABC是等边三角形，.∠B=∠C=60°=∠DFE.,∠CFD=∠CFE +∠DFE=∠B+∠BDF,∴∠BDF=∠CFE.∴.△DBF∽△FCE.(2)解：DE⊥EF, .∠DEF=90°.∠DFE=60°，∠EDF=90°-∠DFE=30°.∴.DF=2EF.由(1)知 △DFAPCE.8器-2F=2BF=2CE=4 81)证明：△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，易得C-票-E,∠ACB ∠ECF=45°.∠ACE=∠BCF.∴.△CAE∽△CBF.(2)解：：'△CAE∽△CBF, ÷∠CAE-∠CBF,s-瓷-反.：AE=2品=EBF=E.又：∠CAE+ 2 ∠CBE=90°，∴.∠CBF+∠CBE=90°.∠EBF=9O°.∴在Rt△EBF中，EF= √BE+BF=√3..CF=EF=√5.∴.CE=√EF2+CF=√6. 1.5相似三角形的性质 第1课时相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 新知导学 相似比相似比 【例I】B 【例2】解：，'AD:DB=4:3,.AD:AB=4:7.,DE∥BC,.△ADEc∽△ABC :Cr,EC分别是△ABC与△ADE对应边上的中线，器-铝即六=号CF- 7 cm. 1.A2.C3.D4.1:34.5 5.解：.∠CBD=∠A,∠C=∠C,.△BDC∽△ABC.E,F分别为AC,BC的中点， 小-E即音=品BE=48, 6.B7.√3-18.3：4 9.解：(1)·AC平分∠BAD,BC⊥AC,CD⊥AD,∴.∠BAC=∠CAD,∠BCA=∠CDA =90△ABC△AcD.六是-品即8-品AD=&(②)由(I)知△ABC☑ △ACD.,'DE⊥AC,CF⊥AB,即DE,CF分别为△ACD和△ABC的边AC,AB上的 商器-号 10.解：结论品=k成立.证明如下：△ABCn△AB'C,且△ABC与△ABC的相 似比为，∠BAC=∠BAC,∠C=∠C,8=点∠EAB=∠EA'g,AD. AD'分别是△ABC,△AB'C'的外角平分线，∠BAD=号∠BAE,∠BA'D'- 合∠BA'E.∠BAD=∠BA'D.∠DAC=∠DA'C.△DACn△DA'C. 品怨-® 第2课时相似三角形面积和周长的性质 新知导学 ①相似比的平方②相似比 【例1】D 【例2】(1)证明：∠B=∠ACD,∠A=∠A,∴.△ACDC∽△ABC.(2)解：：△ACDC∽ △ABc提-胎-号S-号c=4 —6专题一相似三角形的五大基本模型【热点】 类型1“A”字型、“X”字型 证法二（构造“X”字型）：如图，过点D作DK∥ 基本模型提炼： AC,交BF于点K.(请把证明过程补充完整) “A”字型：如图①，DE∥BC△ADEn△ABC; 如图②，∠1=-∠C或∠2=∠B→△AED∽△ABC. “X”字型：如图③，AB∥CD→△ABOp△DCO; 如图④，∠A=∠C或∠B=∠D→△ABOp△CDO X 图① 图② 图③ 图④ (一)直接运用基本模型 1.(张家界永定区期末)如图，能使△ABC △AED成立的条件是 ( A.∠A=∠A B.∠ADE=∠AED cS-怨 D BC AD EDAC 思考：本题还有其他作辅助线构造“A”或“X”字型 的方法，比如过点A作BF的平行线，与CB的延 (第1题图) (第2题图) 长线相交或过点A作BC的平行线与BF的延长 2.如图，在△ABC中，DE∥BC,连接BE,CD 线相交等等，通过这些证法，你能发现解决这类题 交于点O.若AD=2,BD=6,OE=1,则OB 的共性方法吗？ 的长为 类型2子母型 (二)作辅助线构建基本模型 基本模型提炼：如图D,∠ACD=∠B或∠ADC= 3.一题多解思维发散如图，在△ABC中，AD ∠ACB→△ADC∽△ACB; 是BC边上的中线，E是AD上一点，延长 :如图②，AC⊥BC,CD⊥AB→△ADC∽△ACB∽ BB,交AC于点F,求证二-二 △CDB(此为图①的特例) 证法一（构造“A”字型）：如图，过点D作DH∥ BF,交AC于点H.(请把证明过程补充完整) 图① 图② 4.(郴州苏仙区期末)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.如果AD= 2,BD=1,那么线段CD的长为 17数学九年级上册(X) 5.如图，在△ABC中，BC=3,D为AC延长线 (2)若CE=2,求BF的长. 上的一点，AC=3CD,∠CBD=∠A,过点D 作DH∥AB,交BC的延长线于点H. (1)求证：△HCDp△HDB; (2)DH的长为 类型4“手拉手”模型 基本模型提炼：“手拉手”模型也称旋转型，如图」 △ADE绕点A旋转 △ADE∽△ABC, DE∥BC 类型3一线三等角模型（教材P25练习T2 △ABD∽△ACE 拓展) 8.如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角 基本模型提炼： 形，∠ABC=∠CFE=90°，点E在△ABC 如图①、图②，∠1=∠2=∠3→△APC∽△BDP. 内，∠CAE十∠CBE=90°，连接BF. (1)求证：△CAE∽△CBF; (2)若BE=1,AE=2,求CE的长. 图① 图② 6.(北海期末)如图，四边形ABCD 是正方形，E是CD上一点， DE:EC=2:1,AE⊥EF,则 EF:AE= 7.(娄底娄星区月考)如图，点D,E,F分别在 等边三角形ABC的边AB,AC,BC上，且 DE⊥EF,∠DFE=60°. (1)求证：△DBF∽△FCE; 第1章图形的相似18