精品解析：山东烟台市芝罘区2025-2026学年度第二学期初二数学阶段检测练习题

初二数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，满分36分） 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王 B. 三角形内角和等于 C. 将花生油滴入水中，油会浮在水面上 D. 一周有7天 3. 如图，某行李箱的齿轮密码是一个三位数，每一位数都是中的一个数字，开箱时发现忘记密码的中间一位，则能一次成功打开该行李箱的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列推理正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的边上一点，的垂直平分线交于点，垂足为，以点为圆心，为半径画弧交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 一个小长方体木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力的方向与水平地面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 数学课上，老师与同学们做“掷骰子”试验，并依次记录了不同试验次数时某事件发生的频率，绘制了如下统计图．下列选项可能是这个事件的是（ ） A. 朝上点数小于3 B. 朝上点数小于2 C. 朝上点数是奇数 D. 朝上点数不小于3 10. 如图，在中，，，点D在边上，E在边上，．当时，的长度是（ ） A. B. C. D. 11. 若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（ ） A. B. 是的垂直平分线 C. 当时， D. 二、填空题（每题3分，满分24分） 13. 若是二元一次方程的一个解，则a的值是______． 14. 如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 15. 如图，把一条长方形纸带进行两次折叠并压平，折痕分别为和．若，，则的度数是______． 16. 如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是______． 17. 如图是一个七巧板形状的飞镖靶盘，将一支飞镖任意投掷在靶盘上，恰好落在阴影部分的概率是______． 18. 函数与（，为常数，）的图象在同一平面直角坐标系中的位置如图，则关于的一元一次不等式的解集是______． 19. 弹簧的“弹性限度”是指弹簧能恢复原状的最大形变长度．如图1是一支弹簧秤的示意图，当弹簧所挂物体质量使弹簧达到弹性限度时，弹簧会被卡板挡住不再继续形变．某物理实验小组观察并记录了一支弹簧秤的弹簧长度（）与所挂物体质量（）的变化情况（如图2）．根据图象信息，可知该弹簧秤的“弹性限度”是______． 20. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，是直线上一动点，连接，以为一边向逆时针方向作，，．点在轴上，坐标为，连接，当线段的长度最短时，点的坐标是______． 三、解答题（共7题，满分60分） 21. 解答下列问题： （1）解方程组： （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 22. 如图，中，是角平分线，是上一点，过点的直线与交于点，与的延长线交于点，且．求证：． 23. 在一个不透明的袋子中装有18个红球和12个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．请解答下列问题： （1）求摸出的球是红球的概率； （2）现再向袋子里放进红、黄两种颜色的球共12个并摇匀，这些球的大小、材质与原来袋子中的球完全一样，从中随机摸出一球，若摸出红球的概率是摸出黄球概率的2倍，请求出这12个球中红球和黄球的数量分别是多少？ 24. 如图，四边形是长方形，是对角线．请解答下列问题： （1）将绕点旋转后，点的对应点为，点的对应点为，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，与交于点G，求证：． 25. 烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间，某水果商店购进“红灯”和“水晶”两种大樱桃进行销售．已知3千克红灯大樱桃和1千克水晶大樱桃的进货价共70元，2千克红灯大樱桃和3千克水晶大樱桃的进货价共98元． （1）求这两种大樱桃每千克的进货价各是多少元？ （2）该水果店准备购进这两种大樱桃共90千克，且水晶品种的数量不少于红灯品种数量的一半，请设计出最省钱的进货方案，并求出最少进货费用． 26. 如图，一次函数的图象与坐标轴交于，两点，与正比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数的表达式及的面积； （2）在线段上求作点，使是等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并求出点的坐标． 27. 如图，在和中，，，，和交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）若平分，判断和的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，满分36分） 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断，二元一次方程组需满足：共含有两个未知数，所有方程都是整式方程，且每个方程中未知数的最高次数为1． 【详解】解：A、第一个方程中未知数次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组共含两个未知数，两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，符合题意； C、方程组共含三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D、第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意． 2. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王 B. 三角形内角和等于 C. 将花生油滴入水中，油会浮在水面上 D. 一周有7天 【答案】A 【解析】 【分析】先明确事件分类概念，一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，根据概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A、从一副扑克牌中任意抽取一张，可能抽到大王，也可能抽不到大王，结果不确定 ∴该事件是随机事件，符合题意； B、任意三角形的内角和为，不可能等于 ∴该事件是不可能事件，不符合题意； C、花生油密度小于水，将花生油滴入水中，油一定会浮在水面上 ∴该事件是必然事件，不符合题意； D、一周固定有7天，是一定成立的事实 ∴该事件是必然事件，不符合题意． 3. 如图，某行李箱的齿轮密码是一个三位数，每一位数都是中的一个数字，开箱时发现忘记密码的中间一位，则能一次成功打开该行李箱的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，确定中间一位数字所有可能的取值情况，结合概率公式即可求解． 【详解】解：密码的每一位数都是中的一个数字，且只忘记了中间一位， 一位数字共有10种等可能的结果，即， 正确的密码只有个， 一次成功打开该行李箱的概率是． 4. 如图，下列推理正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可得（同位角相等，两直线平行），原推理正确，符合题意； B、由不能推出，原推理错误，不符合题意； C、由可得（内错角相等，两直线平行），不能得到，原推理错误，不符合题意； D、由不能推出，原推理错误，不符合题意． 5. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：A、∵，∴，故本选项不合题意； B、∵，∴，故本选项不合题意； C、∵，∴，故本选项不合题意； D、∵，∴，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 6. 如图，是的边上一点，的垂直平分线交于点，垂足为，以点为圆心，为半径画弧交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用线段垂直平分线的性质和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：以点为圆心，为半径画弧交于点， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ． 7. 一个小长方体木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力的方向与水平地面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】重力与水平地面垂直，得．由，得，由对顶角得．摩擦力与斜面平行，故．支持力与斜面垂直，即与垂直，得．由周角得． 【详解】解：如图，设重力的作用线与斜面交于点，与水平地面交于点． ∵重力的方向与水平地面垂直， ∴． ， ∴． ． 摩擦力的方向与斜面平行， ， 支持力的方向与斜面垂直， 支持力的方向与摩擦力的方向垂直， ， ． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 9. 数学课上，老师与同学们做“掷骰子”试验，并依次记录了不同试验次数时某事件发生的频率，绘制了如下统计图．下列选项可能是这个事件的是（ ） A. 朝上点数小于3 B. 朝上点数小于2 C. 朝上点数是奇数 D. 朝上点数不小于3 【答案】A 【解析】 【分析】根据统计图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近，说明该事件发生的概率约为，分别计算各选项事件的概率即可得出答案． 【详解】解：由折线统计图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近， 该事件发生的概率约为， A、朝上点数小于的情况有两种，其概率为，符合题意； B、朝上点数小于的情况有一种，其概率为，不符合题意； C、朝上点数是奇数的情况有三种，其概率为，不符合题意； D、朝上点数不小于的情况有四种，其概率为，不符合题意． 10. 如图，在中，，，点D在边上，E在边上，．当时，的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理和等边对等角求得，，再根据三角形的外角性质得到，然后证明得到，，进而可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵，， ∴，又， ∴， ∴，， ∴． 11. 若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式组的整数解与一元一次方程的解，分别求解不等式组的解集、方程的解，结合条件确定的取值范围，进而得到符合条件的整数并求和． 【详解】解：先解不等式组，解不等式①，得；解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有2个整数解，结合，可知整数解为2、1， ∴，解得． 再解关于的方程，得， ∵方程的解为非正数，即， ∴，解得． 结合与，得，符合条件的整数为2、3， ∵它们的和为， ∴符合条件的整数的和是5． 故选：C． 12. 如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（ ） A. B. 是的垂直平分线 C. 当时， D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作延长线于，连接，，，根据角平分线的定义证得，证明得到，，再证明得到，，进而可判断选项D正确；假设是的垂直平分线，证明得到，则根据垂直平分线的判定可得点、、共线，这种情况不一定成立，故假设不成立，可判断选项B错误；假设，则，可证明得到，可得，与矛盾，可知选项C错误；现有的条件无法证明，可判断选项A错误，进而可得答案． 【详解】解：如图，过作延长线于，连接，，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是中点，， ∴是的中垂线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，故选项D正确，符合题意； 对于选项B，假设是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，即点、、共线， 由图知，这种情况不一定成立，故假设不成立，即选项B错误，不符合题意； 对于选项C，假设，则， ∴， ∵， ∴， ∴在中，这与矛盾，故选项C错误，不符合题意； 对于选项A，现有的条件无法证明，故选项A不符合题意． 二、填空题（每题3分，满分24分） 13. 若是二元一次方程的一个解，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将给定的方程的解代入原二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：是二元一次方程的解， 将，代入方程得 解得． 14. 如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，把一条长方形纸带进行两次折叠并压平，折痕分别为和．若，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质和折叠的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到点H， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 由折叠的性质可得 ∴， ∵， ∴． 16. 如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是______． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余求得，再利用含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵是斜边上的高， ∴，则， ∴， ∴，则． 17. 如图是一个七巧板形状的飞镖靶盘，将一支飞镖任意投掷在靶盘上，恰好落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】设大正方形的面积为，根据七巧板的特点可以得到7块图形各自的面积，进而求出阴影部分的面积，再根据几何概率公式可得答案． 【详解】解：设大正方形的面积为， 七巧板由块图形组成，其中包括个大等腰直角三角形，个中等腰直角三角形，个小等腰直角三角形，个正方形，个平行四边形， 其中每个大等腰直角三角形的面积为，中等腰直角三角形的面积为，每个小等腰直角三角形的面积为，正方形的面积为，平行四边形的面积为， 观察图形可知，阴影部分由2个小等腰直角三角形，个正方形和个平行四边形组成， ∴ 阴影部分的面积为 ， ∴飞镖恰好落在阴影部分的概率为． 18. 函数与（，为常数，）的图象在同一平面直角坐标系中的位置如图，则关于的一元一次不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】先对不等式变形，转化为两个一次函数比较大小的形式；再结合图像交点横坐标判断直线在上方时的取值，即为不等式解集． 【详解】解：先整理不等式 ， ， ， 不等式等价于， 几何意义：直线的图象在直线图象上方时对应的取值． 由图可知，两直线交点纵坐标为1，将代入： ， ， 即两直线交点坐标为． 观察图像：当时，直线在上方，满足． 因此不等式的解集是． 19. 弹簧的“弹性限度”是指弹簧能恢复原状的最大形变长度．如图1是一支弹簧秤的示意图，当弹簧所挂物体质量使弹簧达到弹性限度时，弹簧会被卡板挡住不再继续形变．某物理实验小组观察并记录了一支弹簧秤的弹簧长度（）与所挂物体质量（）的变化情况（如图2）．根据图象信息，可知该弹簧秤的“弹性限度”是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：在弹性限度内，设函数解析式为， 将和代入得， 解得， ∴函数解析式为， 当时，， 当时，， ， ∴该弹簧秤的“弹性限度”是． 20. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，是直线上一动点，连接，以为一边向逆时针方向作，，．点在轴上，坐标为，连接，当线段的长度最短时，点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，求得，推出点在的射线上，当时，线段的长度最短，此时是等腰直角三角形，求得，作轴于点，据此求解即可． 【详解】解：令，则， 解得，令，则， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点在的射线上， ∴当时，线段的长度最短，此时是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作轴于点， 此时是等腰直角三角形， ∴，， ∴点的坐标是． 三、解答题（共7题，满分60分） 21. 解答下列问题： （1）解方程组： （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2），数轴表示： 【解析】 【分析】（1）先把第一个方程去分母整理成标准二元一次方程形式，再用加减消元法消去，求出后代入求； （2）分别解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，最后在数轴表示解集． 【小问1详解】 解：对第一个方程去分母，两边同乘6： ， ， ， 第二个方程： ， ①+②得： ， ， 把代入①： ， ， ， 方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 解不等式①： ， ， ， ， 解不等式②，两边同乘10去分母： ， ， ， ， ， 综合两个解集： ， 数轴表示：画数轴，标出、两点；：在处画实心圆点，向右画线；：在处画空心圆圈，向左画线；两条线重叠区间即为解集． 22. 如图，中，是角平分线，是上一点，过点的直线与交于点，与的延长线交于点，且．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】由对顶角相等得，则，根据三角形外角的性质得，则，由角平分线的定义得，则，根据同位角相等，两直线平行，即可求证． 【详解】略 23. 在一个不透明的袋子中装有18个红球和12个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．请解答下列问题： （1）求摸出的球是红球的概率； （2）现再向袋子里放进红、黄两种颜色的球共12个并摇匀，这些球的大小、材质与原来袋子中的球完全一样，从中随机摸出一球，若摸出红球的概率是摸出黄球概率的2倍，请求出这12个球中红球和黄球的数量分别是多少？ 【答案】（1） （2）这12个球中红球有10个，则黄球为2个． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）设这12个球中红球有x个，则黄球为个，根据概率公式列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵袋子中装有18个红球和12个黄球， ∴将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球，摸出的球是红球的概率为； 【小问2详解】 解：设这12个球中红球有x个，则黄球为个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解 黄球个数为：（个）， 答：这12个球中红球有10个，则黄球为2个． 24. 如图，四边形是长方形，是对角线．请解答下列问题： （1）将绕点旋转后，点的对应点为，点的对应点为，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，与交于点G，求证：． 【答案】（1）解：如图所示： （2）证明：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，． 由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）在线段上截取线段，使得，过点作，在射线上截取线段，使得，连接即可； （2）连接，证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 烟台大樱桃享誉全国，6月前后正是烟台大樱桃大量上市时间，某水果商店购进“红灯”和“水晶”两种大樱桃进行销售．已知3千克红灯大樱桃和1千克水晶大樱桃的进货价共70元，2千克红灯大樱桃和3千克水晶大樱桃的进货价共98元． （1）求这两种大樱桃每千克的进货价各是多少元？ （2）该水果店准备购进这两种大樱桃共90千克，且水晶品种的数量不少于红灯品种数量的一半，请设计出最省钱的进货方案，并求出最少进货费用． 【答案】（1）红灯大樱桃每千克的进货价是16元，水晶大樱桃每千克的进货价是22元 （2）最省钱的进货方案为购进红灯大樱桃60千克，水晶大樱桃30千克，最少进货费用为1620元 【解析】 【分析】（1）设红灯大樱桃每千克的进货价是a元，水晶大樱桃每千克的进货价是b元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进红灯大樱桃x千克，则购进水晶大樱桃千克，先根据题意求得x的取值范围，设进货费用为W元，则，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设红灯大樱桃每千克的进货价是a元，水晶大樱桃每千克的进货价是b元， 根据题意，得，解得 答：红灯大樱桃每千克的进货价是16元，水晶大樱桃每千克的进货价是22元； 【小问2详解】 解：设购进红灯大樱桃x千克，则购进水晶大樱桃千克， 由题意，得，解得，即， 设进货费用为W元，则， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W最小，最小值为，此时， 答：最省钱的进货方案为购进红灯大樱桃60千克，水晶大樱桃30千克，最少进货费用为1620元． 26. 如图，一次函数的图象与坐标轴交于，两点，与正比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数的表达式及的面积； （2）在线段上求作点，使是等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并求出点的坐标． 【答案】（1），． （2）如图所示： 【解析】 【分析】（1）先求出点、的坐标，用待定系数法即可求出一次函数的表达式；再求出点的坐标，根据三角形面积公式求出面积； （2）作的垂直平分线，交于点，连接，即为所求，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得，， ∴． ∵， ∴． 将点，代入一次函数， 得，解得， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴为等腰三角形的底边， 作的垂直平分线，交于点，连接，即为所求， ∴． 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴． 27. 如图，在和中，，，，和交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）若平分，判断和的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ． （2）证明：如图，作于，作于． ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴平分． （3），证明如下： 如图，设与交于点， 设， ∵平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据证明结论即可； （2）作于，作于，由（1）可得，，然后根据角平分线的性质即可证明； （3）设与交于点，，由角平分线的定义、全等三角形的性质、等边对等角可得，，，由（2）可得，证明，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $