2027届高考数学一轮复习讲义---15.3_对称问题

该高中数学讲义聚焦解析几何对称问题核心考点，涵盖点关于点、直线对称及曲线对称，按“点—曲线”逻辑架构知识，通过原理梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建对称问题解题体系，突破高考难点。 资料突出高考真题导向，以“对称本质”为核心，如点关于直线对称强调“垂直+平分”条件联立，培养数学思维与推理能力。设置分层例题训练，配合即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

解析几何 15.3 对称问题 学习目标 ● 理解点关于点对称的原理，掌握对称点坐标的求法 ● 掌握点关于直线对称的求法，理解对称轴为中垂线的几何本质 ● 能求曲线关于点或直线对称后的曲线方程 ● 能利用对称性解决光的反射、最短路径等实际问题 知识点一 点关于点对称 1. 知识梳理 （一）对称原理 设点 关于点 的对称点为 ，则 是 的中点。 （二）对称公式 由中点坐标公式可得： 即对称点 的坐标为 。 （三）特殊情形 点 关于原点的对称点为 。 点 关于点 的对称点可理解为：以 为中心，将 旋转 后的位置。 📌 提示：点关于点对称的核心是"中点"——对称中心就是两点连线的中点。求对称点只需代入中点公式反解。 2. 典型例题 例1 （2023·全国甲卷·文数改编） 已知点 关于点 的对称点为 ，求点 的坐标。 【解析】 设 ，由中点公式： 解得 ，。 答：点 的坐标为 。 例2 （2022·新高考Ⅰ卷） 已知点 关于原点的对称点在直线 上，求 的值。 【解析】 关于原点的对称点为 。 在直线 上，代入： 答：。 例3 （2024·山东济南模拟） 已知 的顶点 、，重心 ，求顶点 的坐标。 【解析】 重心 是三个顶点的"平均"，即： 设 ： 答：。 例4 （2023·浙江杭州模拟） 已知函数 的图象关于点 中心对称，求 和 的值。 【解析】 因为 f(-x) = -x³-2x = -f(x)，所以 f(x) 是奇函数，其图象关于原点 (0,0) 中心对称；又三次函数 y = x³+2x 的对称中心唯一，故 a = 0，b = 0。 答：，。 例5 （2022·湖南长沙一模） 已知圆 ，求圆 关于点 对称的圆的方程。 【解析】 圆心 关于 的对称点 ： 半径不变，。 答：。 知识点二 点关于直线对称 1. 知识梳理 （一）对称原理 设点 关于直线 的对称点为 ，则直线 是线段 的垂直平分线。 由此得到两个等量关系： ① PP′ 的中点在直线 l 上 ② PP′ 与直线 l 垂直 （二）求解方法 设直线 ，点 ，对称点 。 联立方程组： 解方程组即可求出 的坐标。当 时，对称轴为竖直线，此时 平行于 轴，直接得 ，再由中点条件求 。 （三）常用对称结论 点 关于 轴的对称点为 。 点 关于 轴的对称点为 。 点 关于直线 的对称点为 。 点 关于直线 的对称点为 。 📌 提示：求点关于直线的对称点，核心是"垂直 + 平分"两个条件联立。对于特殊直线（坐标轴、y = x 等），可直接写出结论。 2. 典型例题 例1 （2023·新高考Ⅱ卷） 求点 关于直线 的对称点 的坐标。 【解析】 设 ，由两个条件： ① 中点在 上： ② （ 的斜率为 ， 斜率为 ）： ① + ②：，；代入 ②：。 答：。 例2 （2022·全国乙卷·理数） 已知点 关于直线 的对称点为 ，求 的坐标。 【解析】 设 。 ① 中点在 上： ② （ 斜率为 ， 斜率为 ）： 由 ①：，代入 ②： 答：。 例3 （2024·广东深圳一模） 光线从点 出发，经 轴反射后到达点 ，求光线经过 轴上的反射点坐标。 【解析】 光线经 轴反射，由反射定律，入射角等于反射角。 等价于：求 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴的交点即为反射点。 关于 轴的对称点 。 直线 的斜率： 直线 ：，即 。 与 轴交点（）：。 答：反射点坐标为 。 例4 （2023·山东潍坊二模） 在直线 上求一点 ，使 到点 和 的距离之和最小。 【解析】 作点 关于直线 的对称点 ，则 。 （当 、、 三点共线时取等）。 求 关于 的对称点 ： 设 ， ① 中点在 上： ② （ 斜率为 ， 斜率为 ）： 由 ②：，代入 ①： 。 直线 ：过 和 ，斜率： 方程：，即 。 与 联立：，。 答：。 例5 （2022·湖北武汉模拟） 求点 关于直线 的对称点 的坐标。 【解析】 设 。 ① 中点在 上： ② （ 斜率为 ， 斜率为 ）： 由 ①：，代入 ②： 答：。 知识点三 曲线关于点/直线对称 1. 知识梳理 （一）曲线关于点对称 曲线 关于点 对称的曲线 的方程为： 推导：设 是 上任意一点，则它关于 的对称点 在 上。 （二）曲线关于直线对称 曲线 关于直线 对称的曲线 的方程，可通过以下步骤求得： ① 设 (x, y) 是 C′ 上任意一点 ② 求 (x, y) 关于直线 l 的对称点 (x₀, y₀) ③ 将 (x₀, y₀) 代入 f(x, y) = 0，消去 x₀、y₀ 即得 C′ 的方程 （三）常用对称结论 曲线 关于 轴对称的曲线为 。 曲线 关于 轴对称的曲线为 。 曲线 关于原点对称的曲线为 。 曲线 关于直线 对称的曲线为 。 📌 提示：曲线对称的本质是"点的对称"——曲线上每一点的对称点都在对称后的曲线上。求解时只需将原方程中的 x、y 用对称关系替换。 2. 典型例题 例1 （2023·北京卷） 求圆 关于直线 对称的圆的方程。 【解析】 曲线关于 对称，将方程中的 、 互换： 即 。 答：。 例2 （2022·全国甲卷·文数） 求椭圆 关于点 对称的椭圆方程。 【解析】 曲线关于 对称，用 替换 ： 即 。 答：。 例3 （2024·浙江温州模拟） 已知抛物线 ，求 关于直线 对称的曲线方程。 【解析】 点 关于直线 的对称点为 。 将原方程中的 替换为 ： 答：。 例4 （2023·安徽合肥一模） 已知曲线 ，求 关于直线 对称的曲线方程。 【解析】 曲线关于 对称，即求原函数的反函数。 将 、 互换：，解出 （）。 答：（）。 例5 （2022·四川成都模拟） 已知直线 ，求 关于直线 对称的直线 的方程。 【解析】 方法：在 上取两点，求它们关于 的对称点，再求 。 取 上两点：令 ，，得 ；令 ，，得 。 求 关于 的对称点 ： 设 ， ① 中点在 上： ② （ 斜率为 ， 斜率为 ）： ① + ②：，，。。 求 关于 的对称点 ： 设 ， ① 中点在 上： ② ： ③ + ④：，，。。 过 和 ，斜率： 方程：，即 。 答：。 教学建议与知识总结 一、本节核心要点 ● 点关于点对称的核心是中点公式，点关于直线对称的核心是"垂直 + 平分"。 ● 曲线对称的本质是点的对称，求解时将原方程中的变量用对称关系替换。 ● 光的反射问题和最短路径问题是对称的典型应用，关键是找对称点。 ● 关于特殊直线（坐标轴、y = ±x）的对称有直接结论，应熟记。 二、常见学生错误 ● 点关于直线对称时，列方程组出错（特别是斜率计算和中点代入）。 ● 曲线关于点对称时，替换方向搞反（应该是 2a − x 而非 x − 2a）。 ● 光的反射问题中，忘记先求对称点再连线，而是直接用入射角等于反射角硬算。 ● 混淆"曲线关于直线对称"与"曲线自身关于直线对称"（前者是求新曲线，后者是判断对称性）。 三、课时建议 本节内容建议安排 2 课时： ● 第 1 课时：知识点一（点关于点对称）+ 知识点二（点关于直线对称） ● 第 2 课时：知识点三（曲线对称）+ 综合应用与练习 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何 15.3 对称问题 学习目标 ● 理解点关于点对称的原理，掌握对称点坐标的求法 ● 掌握点关于直线对称的求法，理解对称轴为中垂线的几何本质 ● 能求曲线关于点或直线对称后的曲线方程 ● 能利用对称性解决光的反射、最短路径等实际问题 知识点一 点关于点对称 1. 知识梳理 （一）对称原理 设点 关于点 的对称点为 ，则 是 的中点。 （二）对称公式 由中点坐标公式可得： 即对称点 的坐标为 。 （三）特殊情形 点 关于原点的对称点为 。 点 关于点 的对称点可理解为：以 为中心，将 旋转 后的位置。 📌 提示：点关于点对称的核心是"中点"——对称中心就是两点连线的中点。求对称点只需代入中点公式反解。 2. 典型例题 例1 （2023·全国甲卷·文数改编） 已知点 关于点 的对称点为 B，求点 B 的坐标。 例2 （2022·新高考Ⅰ卷） 已知点 关于原点的对称点在直线 上，求 的值。 例3 （2024·山东济南模拟） 已知 的顶点 、，重心 ，求顶点 的坐标。 例4 （2023·浙江杭州模拟） 已知函数 的图象关于点 中心对称，求 和 的值。 例5 （2022·湖南长沙一模） 已知圆 ，求圆 关于点 对称的圆的方程。 知识点二 点关于直线对称 1. 知识梳理 （一）对称原理 设点 关于直线 的对称点为 ，则直线 是线段 的垂直平分线。 由此得到两个等量关系： ① PP′ 的中点在直线 l 上 ② PP′ 与直线 l 垂直 （二）求解方法 设直线 ，点 ，对称点 。 联立方程组： 解方程组即可求出 的坐标。当 时，对称轴为竖直线，此时 平行于 轴，直接得 ，再由中点条件求 。 （三）常用对称结论 点 关于 轴的对称点为 。 点 关于 轴的对称点为 。 点 关于直线 的对称点为 。 点 关于直线 的对称点为 。 📌 提示：求点关于直线的对称点，核心是"垂直 + 平分"两个条件联立。对于特殊直线（坐标轴、y = x 等），可直接写出结论。 2. 典型例题 例1 （2023·新高考Ⅱ卷） 求点 关于直线 的对称点 的坐标。 例2 （2022·全国乙卷·理数） 已知点 关于直线 的对称点为 Q，求 Q 的坐标。 例3 （2024·广东深圳一模） 光线从点 出发，经 轴反射后到达点 ，求光线经过 轴上的反射点坐标。 例4 （2023·山东潍坊二模） 在直线 上求一点 P，使 P 到点 和 的距离之和最小。 例5 （2022·湖北武汉模拟） 求点 关于直线 的对称点 的坐标。 知识点三 曲线关于点/直线对称 1. 知识梳理 （一）曲线关于点对称 曲线 关于点 对称的曲线 的方程为： 推导：设 是 上任意一点，则它关于 的对称点 在 上。 （二）曲线关于直线对称 曲线 关于直线 对称的曲线 的方程，可通过以下步骤求得： ① 设 (x, y) 是 C′ 上任意一点 ② 求 (x, y) 关于直线 l 的对称点 (x₀, y₀) ③ 将 (x₀, y₀) 代入 f(x, y) = 0，消去 x₀、y₀ 即得 C′ 的方程 （三）常用对称结论 曲线 关于 轴对称的曲线为 。 曲线 关于 轴对称的曲线为 。 曲线 关于原点对称的曲线为 。 曲线 关于直线 对称的曲线为 。 📌 提示：曲线对称的本质是"点的对称"——曲线上每一点的对称点都在对称后的曲线上。求解时只需将原方程中的 x、y 用对称关系替换。 2. 典型例题 例1 （2023·北京卷） 求圆 关于直线 对称的圆的方程。 例2 （2022·全国甲卷·文数） 求椭圆 关于点 对称的椭圆方程。 例3 （2024·浙江温州模拟） 已知抛物线 ，求 关于直线 对称的曲线方程。 例4 （2023·安徽合肥一模） 已知曲线 ，求 关于直线 对称的曲线方程。 例5 （2022·四川成都模拟） 已知直线 ，求 关于直线 对称的直线 的方程。 参考答案汇总 知识点一 例1：B(-1, 5) 例2：2a - b = 1 例3：C(3, 2) 例4：a = 0, b = 0 例5：x² + (y + 1)² = 4 知识点二 例1：A'(0, 4) 例2：Q(22/5, 9/5) 例3：(1, 0) 例4：P(2/3, 10/3) 例5：P'(-6/5, 32/5) 知识点三 例1：(x + 1)² + (y - 3)² = 4 例2：(x - 2)²/4 + (y + 4)²/3 = 1 例3：y² = -4(x - 2) 例4：y = ln x (x > 0) 例5：x + 2y - 5 = 0 学科网（北京）股份有限公司 $