2026-2027学年初升高数学提前课+课时十二+基本不等式（二）+课后练习

**基本信息** 本练习通过基础巩固-综合应用-拓展建模三级分层，实现基本不等式从单一运算到实际问题解决的进阶，适配初升高衔接阶段对数学抽象、运算推理及模型意识的培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一不等式直接应用|聚焦“一正二定三相等”条件（如选择1求最值、填空10配凑法）| |中档|条件变形与综合辨析|融入多选辨析（如选择6）及“1”的代换（如填空12倒数和最小问题）| |拔高|实际问题建模与证明|结合几何背景（如选择9无字证明）和实际场景（如解答16公园面积设计）|

课时十二　基本不等式（二） 课后练习 一、选择题 1.当x<0时,y=+4x的最大值为(　　) A.-4 B.-8 C.-8 D.-16 2.函数y=的最大值为(　　) A. B. C. D.1 3.当a>0时,关于代数式,下列说法正确的是(　　) A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值 C.有最小值也有最大值 D.无最小值也无最大值 4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 5.若对x>0,y>0,有(x+2y)≥m恒成立,则m的取值范围是(　　) A.m≤8 B.m>8 C.m<0 D.m≤4 6．(多选)设0<a<b，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．a2＋b2<b B．a<a2＋b2 C．a<2ab< D．<a2＋b2<1 7．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界是(　　) A．－ B． C． D．－4 8．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 9．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≥(a＞b＞0) B．a2＋b2≥2ab(a＞b＞0) C．≤(a＞b＞0) D．≤(a＞b＞0) 二、填空题 10.若函数y=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=　　　　　.  11.已知a>0,b>0,=2,则a+2b的最小值为　　　　　.  12.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上　　　　　和　　　　　.  13．已知f(x)＝＋(0<x<4)，则f(x)的最小值为________． 三、解答题 14．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： (1)a2＋b2≥；(2)＋＋≥8. 15.(1)求函数y=+4x的最小值; (2)求函数y=x(a-2x)(x>0,a为大于2x的常数)的最大值; (3)已知x>0,y>0,且=1,求x+y的最小值. 16.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 课时十二　基本不等式（二） 课后练习（答案） 一、选择题 1.当x<0时,y=+4x的最大值为(　　) A.-4 B.-8 C.-8 D.-16 解析:∵x<0,∴-x>0, ∴y=-≤-2=-8. 答案:C 2.函数y=的最大值为(　　) A. B. C. D.1 解析:当x=0时,y=0;当x>0时,x+1≥2>0,则y≤,当且仅当x=1时,等号成立.故函数y=的最大值为. 答案:B 3.当a>0时,关于代数式,下列说法正确的是(　　) A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值 C.有最小值也有最大值 D.无最小值也无最大值 解析:∵a>0, ∴=1,当且仅当a=,即a=1时,取等号,故a>0,代数式有最大值1,没有最小值. 答案:A 4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:由题意可知,=-+12≤-2+12,当且仅当x=时,等号成立,即x=5时,营运的年平均利润最大. 答案:C 5.若对x>0,y>0,有(x+2y)≥m恒成立,则m的取值范围是(　　) A.m≤8 B.m>8 C.m<0 D.m≤4 解析:∵(x+2y)=2++2≥4+2=8,∴m≤8. 答案:A 6．(多选)设0<a<b，a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．a2＋b2<b B．a<a2＋b2 C．a<2ab< D．<a2＋b2<1 解析：由0<a<b，a＋b＝1，得0<a<<b<1.对于A，将a＋b＝1两边平方，整理得a2＋b2＝1－2ab＝b＋a－2ab＝b＋a(1－2b).又<b，所以1－2b<0，所以a2＋b2<b，所以A正确；对于B，<b⇒1<2b⇒a<2ab<a2＋b2，所以B正确；对于C，由B知a<2ab.又2ab<2×()2＝，所以C正确；对于D，易知a2＋b2>＝.又a2<a，b2<b，所以a2＋b2<a＋b＝1，所以D正确． 答案：ABCD 7．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界是(　　) A．－ B． C． D．－4 解析：因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝(＋)×(a＋b)＝＋(＋)≥＋ 2 ＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－. 答案：A 8．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)(＋)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2 ＝1＋a＋2 ＝(1＋)2≥9，所以≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4. 答案：B 9．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≥(a＞b＞0) B．a2＋b2≥2ab(a＞b＞0) C．≤(a＞b＞0) D．≤(a＞b＞0) 解析：由图形可知OF＝AB＝(a＋b)，OC＝(a＋b)－b＝(a－b).在Rt△OCF中，由勾股定理得CF＝＝.因为CF≥OF，所以≥(a＋b)(a＞b＞0).故选D. 答案：D 二、填空题 10.若函数y=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=　　　　　.  解析:y=x+=x-2++2. ∵x>2,∴x-2>0. ∴y=x-2++2≥2+2=4, 当且仅当x-2=,即x=3时,“=”成立. 又y在x=a处取最小值,∴a=3. 答案:3 11.已知a>0,b>0,=2,则a+2b的最小值为　　　　　.  解析:∵a>0,b>0,=2, ∴a+2b=(a+2b)5+≥(5+4)=,当且仅当,且=2,即a=b=时,取等号,∴a+2b的最小值为. 答案: 12.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上　　　　　和　　　　　.  解析:设两数为x,y,即4x+9y=60, =×(13+12)=, 当且仅当,且4x+9y=60,即x=6,且y=4时,等号成立,故应分别填上6,4. 答案:6　4 13．已知f(x)＝＋(0<x<4)，则f(x)的最小值为________． 解析：因为x＋4－x＝4，故f(x)＝＋ ＝(x＋4－x)(＋)＝(10＋＋) ≥(10＋2 )＝4， 当且仅当＝，即x＝1时取等号． 故f(x)的最小值为4. 答案：4 三、解答题 14．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： (1)a2＋b2≥；(2)＋＋≥8. 证明：(1)因为a>0，b>0且a＋b＝1，≤＝(当且仅当a＝b＝时取等号)，即ab≤，－2ab≥－，所以1－2ab≥，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝1，所以a2＋b2＝1－2ab≥. (2)因为a＋b＝1，a>0，b>0，所以＋＋＝＋＋＝2(＋)＝2(＋)＝2(＋)＋4≥4 ＋4＝8，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以＋＋≥8. 15.(1)求函数y=+4x的最小值; (2)求函数y=x(a-2x)(x>0,a为大于2x的常数)的最大值; (3)已知x>0,y>0,且=1,求x+y的最小值. 解:(1)∵x>,4x-5>0, ∴y=+4x=+(4x-5)+5≥7, 当且仅当4x-5=,即x=时,取等号. ∴y的最小值为7. (2)∵x>0,a>2x, ∴y=x(a-2x)=·2x·(a-2x)≤, 当且仅当x=时取等号,∴y的最大值为. (3)方法一:∵=1, ∴x+y=(x+y)=10+. ∵x>0,y>0,∴≥2=6. 当且仅当,即y=3x时,取等号. 又=1,∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16. 方法二:由=1,得x=. ∵x>0,y>0,∴y>9. x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10. ∵y>9,∴y-9>0, ∴y-9++10≥2+10=16, 当且仅当y-9=,即y=12时,取等号. 又=1,∴x=4. ∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16. 16.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 解:(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4 000,得a=. 则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20)·+160 =80+4 160(x>1). (2)80+4 160≥80×2+4 160 =1 600+4 160=5 760. 当且仅当2,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100. 所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米. 学科网（北京）股份有限公司 $