2024年初升高数学衔接之基本不等式的应用练习（北京版）

基本不等式的应用练习 类型一：利用基本不等式求积的最大值 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（ ） A． B． C． D．1 2．（23-24高一上·北京海淀·期中）已知x，，若，则（    ） A．xy的最大值为1 B．xy的最大值为2 C．xy的最小值为1 D．xy的最小值为2 3．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知0＜x，则x（1﹣2x）的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·阶段练习）若正实数x，y满足2x+y=1.则xy的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一上·北京东城·期中）若，则的最 值是 ，此时 ， . 6．（23-24高一上·北京·期中）已知正数满足，则的最大值是 ． 7．（23-24高一上·北京大兴·期中）已知，则函数的最大值等于 ，取最大值时 . 8．（22-23高一·全国·课堂例题）函数的最大值是 ． 9．（22-23高一上·北京朝阳·阶段练习）已知，且，则xy的最大值是 . 10．（22-23高一上·北京顺义·阶段练习）已知，则当 时，取最大值为 . 类型二：利用基本不等式求和的最小值 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 二、填空题 3．（23-24高一上·北京·期中）若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 4．（23-24高一上·北京·期中）若， 则的最小值是 ；此时的值为 . 5．（23-24高一上·北京·期中）已知，则在 时，取得最小值为 ． 6．（23-24高一上·北京·期中）已知，则当 时，取最小值为 ． 7．（2015·广东惠州·一模）若，，，则的最小值为 . 8．（23-24高一上·北京昌平·期中）函数的最小值是 ，此时 ． 9．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为 ，此时 ． 10．（23-24高一上·北京朝阳·期中）已知，则的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 基本不等式的应用练习（解析版） 类型一：利用基本不等式求积的最大值 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（ ） A． B． C． D．1 【解析】由于，，，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 2．（23-24高一上·北京海淀·期中）已知x，，若，则（    ） A．xy的最大值为1 B．xy的最大值为2 C．xy的最小值为1 D．xy的最小值为2 【解析】由不等式可知，，所以， 当且仅当时取得等号，所以xy的最大值为1，A正确，B错误； 由不等式可知，，所以， 当且仅当或时取得等号， 所以xy的最小值为，CD错误； 故选:A. 3．（21-22高一上·北京·阶段练习）已知0＜x，则x（1﹣2x）的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故选：C． 4．（20-21高一上·北京·阶段练习）若正实数x，y满足2x+y=1.则xy的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】 当且仅当时取等号， 即xy的最大值为 故选：B 二、填空题 5．（23-24高一上·北京东城·期中）若，则的最 值是 ，此时 ， . 【解析】因x>0，y>0，且x+y=18，由可得，当且仅当时取等号，即xy的最大值是81，此时. 故答案为：大；81；9；9. 6．（23-24高一上·北京·期中）已知正数满足，则的最大值是 ． 【解析】根据题意，利用基本不等式可得， 即可得， 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最大值是. 故答案为： 7．（23-24高一上·北京大兴·期中）已知，则函数的最大值等于 ，取最大值时 . 【解析】由得，因为，， 所以利用基本不等式可得，整理得， 当且仅当即时，等号成立. 故当时，的最大值为. 故答案为：；. 8．（22-23高一·全国·课堂例题）函数的最大值是 ． 【解析】方法一：， ∵，∴，， ∴，当且仅当，即时取等号． 故当时，． 方法二：由知，∴， 当且仅当，即时取等号． 故当时，． 故答案为： 9．（22-23高一上·北京朝阳·阶段练习）已知，且，则xy的最大值是 . 【解析】x>0，y>0，且，则， 解得，当且仅当时取等号， 所以xy的最大值是. 故答案为：2 10．（20-21高一上·北京顺义·阶段练习）已知，则当 时，取最大值为 . 【解析】， ，当且仅当时取等号． 取最大值时的值为． 故答案为：，． 类型二：利用基本不等式求和的最小值 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】因为， 所以，当且仅当即时取等号； 故选：B 2．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【详解】∵，，， ∴（当且仅当即，时取“=”）. 故选：C 二、填空题 3．（23-24高一上·北京·期中）若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是4，此时的值为1. 故答案为：①4；②1. 4．（23-24高一上·北京·期中）若， 则的最小值是 ；此时的值为 . 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时取最小值. 故答案为：； 5．（23-24高一上·北京·期中）已知，则在 时，取得最小值为 ． 【详解】因，，当且仅当时等号成立，即在时，取得最小值为6. 故答案为：3；6. 6．（23-24高一上·北京·期中）已知，则当 时，取最小值为 ． 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值为. 故答案为：；. 7．（2015·广东惠州·一模）若，，，则的最小值为 . 【详解】易知， 当且仅当时，等号成立； 即的最小值为4； 故答案为：4 8．（23-24高一上·北京昌平·期中）函数的最小值是 ，此时 ． 【详解】当时， 当且仅当，即时取等号． 故答案为：12；4． 9．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为 ，此时 ． 【详解】， 当且仅当且，即时取等号， 则的最小值为，此时. 故答案为：，. 10．（23-24高一上·北京朝阳·期中）已知，则的最小值为 ． 【详解】因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：3 学科网（北京）股份有限公司 $$