2027届高考数学一轮复习讲义----15.2_圆的方程

该高中数学高考复习讲义聚焦解析几何中圆的方程专题，涵盖圆的标准方程与一般方程、点线圆位置关系、圆与圆位置关系及综合应用等核心考点，按定义-方程-关系-应用的逻辑层次构建知识体系，通过考点梳理、方法提示、真题改编例题讲解等环节，帮助学生系统突破求圆方程、弦长计算、切线方程等难点。 资料突出高考实战导向，例题精选近年全国卷及地方模拟题，注重数学思维培养，如通过圆心距与半径比较判断位置关系渗透逻辑推理，利用弦长公式推导强化几何直观。设置基础判断、综合应用等分层例题，配合即时方法总结，助力学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏提供清晰框架。

解析几何 15.2 圆的方程 学习目标 ● 掌握圆的标准方程和一般方程，能根据条件求圆的方程 ● 理解点与圆、直线与圆的位置关系，掌握弦长公式和切线方程的求法 ● 掌握圆与圆的位置关系判定方法，能求公切线方程和公共弦所在直线方程 ● 能利用圆的方程解决轨迹问题和最值问题 知识点一 圆的标准方程与一般方程 1. 知识梳理 （一）圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫做半径。 设圆心为 ，半径为 r（r > 0），则圆是满足 的所有点 的集合。 （二）圆的标准方程 由圆的定义， 即 ，两边平方得圆的标准方程： 其中圆心为 ，半径为 r。 特别地，当圆心在原点时，方程为 。 （三）圆的一般方程 将圆的标准方程展开： 令 ，，，得圆的一般方程： 配方可还原为标准方程： 其中圆心为 ，半径 （要求 ）。 （四）二元二次方程表示圆的条件 一般的二元二次方程 表示圆的充要条件为： 即 和 的系数相等且不为零，不含 xy 项，且配方后右边为正。 📌 提示：求圆的方程时，若已知圆心和半径，用标准方程；若已知圆上多个点的坐标，用一般方程代入列方程组更方便。 2. 典型例题 例1 （2023·全国甲卷改编） 已知圆心在直线 上，且圆过点 和 ，求圆的方程。 【解析】 设圆心为 ，由圆心在直线 上： 由圆过 A、B 两点，圆心到两点距离相等： 展开 ②： 8a - 8b = 8 联立 ① 和 ③： 相加得 3a = 2，即 ；代入 ③ 得 。 半径： 答：圆的方程为 。 例2 （2022·新高考Ⅱ卷改编） 已知圆 ，直线 l 过点 且与圆 C 相切，求直线 l 的方程。 【解析】 圆心 ，半径 。 先验证 P 是否在圆上：，点 P 在圆上。 圆心到 P 的斜率： 切线 l 与 OP 垂直，斜率 。 切线方程（点斜式）： 3x + y - 10 = 0 答：直线 l 的方程为 。 例3 （2024·山东济南模拟） 已知圆过三点 ，，，求圆的方程。 【解析】 设圆的一般方程为 ，代入三点： 由 ② 得 ，代入 ① 和 ③： ⑤ ：，减 ④：，得 。 代入 ⑤：，即 ， 所以 ，。 配方求圆心和半径： 答：圆的方程为 。 例4 （2023·浙江杭州模拟） 将圆 化为标准方程，并求圆心和半径。 【解析】 配方： 答：圆心 ，半径 r = 2。 例5 （2022·湖南长沙一模） 若方程 表示圆，求 m 的取值范围。 【解析】 方程表示圆的条件为 。 其中 D = 2m，，F = 5m，代入： 答：m 的取值范围为 m < 1 或 m > 4。 知识点二 点与圆、直线与圆的位置关系 1. 知识梳理 （一）点与圆的位置关系 设圆的圆心为 C，半径为 r，点 P 到圆心的距离为 ： （二）直线与圆的位置关系 设圆心 C 到直线 l 的距离为 d，圆的半径为 r： 直线与圆相交时，设弦长为 l，则弦长公式为： 其中 d 为圆心到直线的距离。 📌 提示：判断直线与圆的位置关系时，优先用"圆心到直线距离 d 与半径 r 比较"的方法，比联立方程组判别式法更简洁。求弦长时，先求 d，再用弦长公式。 2. 典型例题 例1 （基础·位置判断） 判断点 和 与圆 的位置关系。 【解析】 圆心 ，半径 r = 2。 对 ： 在圆外。 对 ： 也在圆外。 答： 和 都在圆外。 例2 （弦长计算） 求直线 被圆 截得的弦长。 【解析】 圆心 ，半径 r = 2。 圆心到直线的距离： 弦长： 答：弦长为 。 例3 （切线方程） 求过圆 外一点 的切线方程。 【解析】 圆的标准方程为 ，圆心 ，半径 r = 1。 验证 在圆上：。点不在圆上！ 调整：圆心 到点 的距离为 ，点在圆外。 设切线方程为 ，即 。 圆心到切线距离等于半径： 两边平方： k(3k - 4) = 0 当 k = 0 时，切线为 y = 1。 当 时，切线为 ，即 。 还要检验斜率不存在的情况：x = 3，圆心到 x = 3 的距离为 ，不是切线。 答：切线方程为 y = 1 或 。 例4 （相交弦） 直线 y = x 与圆 相交于 A、B 两点，求 。 【解析】 联立方程： 代入：，即 ： 直线与圆只有一个交点 ，说明直线与圆相切，。 （验证：圆心 到直线 的距离 ，确实相切。） 答：直线与圆相切，。 例5 （截距问题） 过点 的直线 l 与圆 相交于 A、B 两点，当 时，求直线 l 的方程。 【解析】 圆心 ，半径 r = 2，弦长 。 由弦长公式 ： d = 1 即圆心到直线的距离为 1。 设直线 l 的方程为 ，即 。 圆心到直线的距离： 两边平方： 2k = 0 k = 0 直线为 ，即 。 检验斜率不存在的情况：x = 1，圆心到 x = 1 的距离为 1，满足。 此时弦长验证：。 答：直线 l 的方程为 或 x = 1。 知识点三 圆与圆的位置关系 1. 知识梳理 设两圆的半径分别为 、（），圆心距为 d： 位置关系 条件 公切线条数 外离 4 条（2 外 2 内） 外切 3 条（2 外 1 内） 相交 2 条（2 外 0 内） 内切 1 条（0 外 1 内） 内含 0 条 📌 提示：判断圆与圆的位置关系，核心是比较圆心距 d 与 、 的大小。两圆相交时，将两方程相减可得公共弦所在直线方程。 2. 典型例题 例1 （基础·位置判断） 判断圆 与圆 的位置关系。 【解析】 的圆心 ，半径 ； 的圆心 ，半径 。 圆心距： 比较：。 答：两圆外切。 例2 （公切线） 求圆 与圆 的公切线条数及外公切线方程。 【解析】 ，；，。 ，两圆外切，共 3 条公切线（2 条外公切线，1 条内公切线）。 内公切线过切点，切点在 上距 为 处，即切点 。 内公切线与 （x 轴）垂直，方程为 x = 2。 求外公切线：设外公切线交 延长线于点 P。 由相似三角形，。 设 ，则 。 解之：。 情形一：，，，。 情形二：，，，（这是切点，对应内公切线）。 情形三：，，（矛盾）。 所以 。设外公切线为 ，即 。 与 相切： 答：公切线共 3 条。外公切线为 和 ，内公切线为 x = 2。 例3 （公共弦所在直线） 求圆 与圆 的公共弦所在直线方程。 【解析】 两圆方程相减（）： -6x - 6y = 0 x + y = 0 答：公共弦所在直线方程为 。 例4 （内切与外切） 已知圆 与圆 外切，求 a 的值。 【解析】 ，；，。 外切条件：，即： 答：a = 3 或 。 例5 （综合） 已知圆 与圆 ，求两圆的公共弦长。 【解析】 ，；，。 两圆外离，没有公共点，不存在公共弦。 若改为求两圆的外公切线长： 设外公切线交 延长线于点 P，。 设 P 在 上，，且 。 设 ，则 ，，t = 5。 ，。 外公切线长（以 为例）： 答：两圆外离，无公共弦。 拓展：外公切线长为 。 知识点四 圆的方程综合应用 1. 知识梳理 （一）轨迹问题 求轨迹方程的常用方法： ① 直接法：直接由题意列出等量关系，化简得轨迹方程。 ② 定义法：判断轨迹符合某种曲线的定义（如圆的定义），直接写出方程。 ③ 相关点法（代入法）：设所求轨迹上的点为 ，找到与 P 相关的已知曲线上的点 ，用 x、y 表示 、，代入已知曲线方程。 ④ 参数法：引入参数 t，用 t 表示 x、y，消去参数得轨迹方程。 （二）最值问题 圆上点到定点距离的最值：设圆心为 C，半径为 r，定点为 P，则： 圆上点到定直线距离的最值：设圆心到直线距离为 d，则： 圆上的点到圆外一点距离最值：，。 📌 提示：圆的最值问题常转化为"圆心到定点/定直线的距离 ± 半径"。对于 ax + by 型最值，可设 ，转化为平行直线系与圆相切的问题。 2. 典型例题 例1 （距离最值） 已知圆 ，点 ，求圆上点到 P 的距离的最大值和最小值。 【解析】 圆心 ，半径 r = 2。 因为 ，点 P 在圆外。 答：最大值为 7，最小值为 3。 例2 （x + y 最值） 已知实数 x、y 满足 ，求 x + y 的最大值和最小值。 【解析】 设 ，即 。 问题转化为：直线 与圆有公共点时，求 k 的最值。 圆心 到直线的距离 ： 答：x + y 的最大值为 ，最小值为 。 例3 （中点轨迹） 已知圆 上一点 ，B 为圆上任意一点，求弦 AB 中点 M 的轨迹方程。 【解析】 设 ，。由中点公式： 反解：，。 因为 B 在圆上，，代入： 限制条件： 时，，即 。 但 ， 在轨迹上，对应 B = A 的退化情形。 答：M 的轨迹方程为 。 例4 （切线长最值） 已知点 在圆 外，求从 P 到圆的切线长。 【解析】 圆心 ，半径 r = 2。 切线长公式：设切线长为 l，则 ，即： 答：切线长为 2。 例5 （PA² + PB² 最值） 已知圆 ，，，P 为圆上任意一点，求 的最大值。 【解析】 设 ，其中 。 结果为常数 10，与 P 的位置无关。 （这是因为 A、B 关于原点对称，。） 答：（定值）。 教学建议与知识总结 一、本节核心要点 ● 圆的标准方程和一般方程的互化，配方是基本功。 ● 判断直线与圆的位置关系，优先用"圆心到直线距离 d 与半径 r 比较"，比判别式法更简洁。 ● 弦长公式 是高频考点，需熟练掌握。 ● 圆与圆的位置关系核心是比较圆心距与半径和、差的大小。 ● 轨迹问题和最值问题是圆的综合应用重点。 二、常见学生错误 ● 圆的一般方程配方时符号出错，特别是 D、E 的正负号。 ● 求切线方程时忘记检验斜率不存在的情况。 ● 判断点与圆的位置关系时，误将点到圆心的距离与 比较（应与 r 比较）。 ● 两圆方程相减求公共弦所在直线时，计算出错。 ● 最值问题中忘记"圆心到定点/定直线距离 ± 半径"的方法。 三、课时建议 本节内容建议安排 3 课时： ● 第 1 课时：知识点一（圆的标准方程与一般方程） ● 第 2 课时：知识点二（点与圆、直线与圆的位置关系） ● 第 3 课时：知识点三（圆与圆的位置关系）+ 知识点四（综合应用） 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何 15.2 圆的方程 学习目标 ● 掌握圆的标准方程和一般方程，能根据条件求圆的方程 ● 理解点与圆、直线与圆的位置关系，掌握弦长公式和切线方程的求法 ● 掌握圆与圆的位置关系判定方法，能求公切线方程和公共弦所在直线方程 ● 能利用圆的方程解决轨迹问题和最值问题 知识点一 圆的标准方程与一般方程 1. 知识梳理 （一）圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫做半径。 设圆心为 ，半径为 r（r > 0），则圆是满足 的所有点 的集合。 （二）圆的标准方程 由圆的定义， 即 ，两边平方得圆的标准方程： 其中圆心为 ，半径为 r。 特别地，当圆心在原点时，方程为 。 （三）圆的一般方程 将圆的标准方程展开： 令 ，，，得圆的一般方程： 配方可还原为标准方程： 其中圆心为 ，半径 （要求 ）。 （四）二元二次方程表示圆的条件 一般的二元二次方程 表示圆的充要条件为： 📌 提示：求圆的方程时，若已知圆心和半径，用标准方程；若已知圆上多个点的坐标，用一般方程代入列方程组更方便。 2. 典型例题 例1 （2023·全国甲卷改编） 已知圆心在直线 上，且圆过点 和 ，求圆的方程。 例2 （2022·新高考Ⅱ卷改编） 已知圆 ，直线 l 过点 且与圆 C 相切，求直线 l 的方程。 例3 （2024·山东济南模拟） 已知圆过三点 ，，，求圆的方程。 例4 （2023·浙江杭州模拟） 将圆 化为标准方程，并求圆心和半径。 例5 （2022·湖南长沙一模） 若方程 表示圆，求 m 的取值范围。 知识点二 点与圆、直线与圆的位置关系 1. 知识梳理 （一）点与圆的位置关系 设圆的圆心为 C，半径为 r，点 P 到圆心的距离为 ： （二）直线与圆的位置关系 设圆心 C 到直线 l 的距离为 d，圆的半径为 r： 直线与圆相交时，设弦长为 l，则弦长公式为： 📌 提示：判断直线与圆的位置关系时，优先用"圆心到直线距离 d 与半径 r 比较"的方法，比联立方程组判别式法更简洁。求弦长时，先求 d，再用弦长公式。 2. 典型例题 例1 （基础·位置判断） 判断点 和 与圆 的位置关系。 例2 （弦长计算） 求直线 被圆 截得的弦长。 例3 （切线方程） 求过圆 外一点 的切线方程。 例4 （相交弦） 直线 y = x 与圆 相交于 A、B 两点，求 。 例5 （截距问题） 过点 的直线 l 与圆 相交于 A、B 两点，当 时，求直线 l 的方程。 知识点三 圆与圆的位置关系 1. 知识梳理 设两圆的半径分别为 、（），圆心距为 d： 位置关系 条件 公切线条数 外离 4 条（2 外 2 内） 外切 3 条（2 外 1 内） 相交 2 条（2 外 0 内） 内切 1 条（0 外 1 内） 内含 0 条 📌 提示：判断圆与圆的位置关系，核心是比较圆心距 d 与 、 的大小。两圆相交时，将两方程相减可得公共弦所在直线方程。 2. 典型例题 例1 （基础·位置判断） 判断圆 与圆 的位置关系。 例2 （公切线） 求圆 与圆 的公切线条数及外公切线方程。 例3 （公共弦所在直线） 求圆 与圆 的公共弦所在直线方程。 例4 （内切与外切） 已知圆 与圆 外切，求 a 的值。 例5 （综合） 已知圆 与圆 ，求两圆的公共弦长。 知识点四 圆的方程综合应用 1. 知识梳理 （一）轨迹问题 求轨迹方程的常用方法： ① 直接法：直接由题意列出等量关系，化简得轨迹方程。 ② 定义法：判断轨迹符合某种曲线的定义（如圆的定义），直接写出方程。 ③ 相关点法（代入法）：设所求轨迹上的点为 ，找到与 P 相关的已知曲线上的点 ，用 x、y 表示 、，代入已知曲线方程。 ④ 参数法：引入参数 t，用 t 表示 x、y，消去参数得轨迹方程。 （二）最值问题 圆上点到定点距离的最值：设圆心为 C，半径为 r，定点为 P，则： 圆上点到定直线距离的最值：设圆心到直线距离为 d，则： 📌 提示：圆的最值问题常转化为"圆心到定点/定直线的距离 ± 半径"。对于 ax + by 型最值，可设 ，转化为平行直线系与圆相切的问题。 2. 典型例题 例1 （距离最值） 已知圆 ，点 ，求圆上点到 P 的距离的最大值和最小值。 例2 （x + y 最值） 已知实数 x、y 满足 ，求 x + y 的最大值和最小值。 例3 （中点轨迹） 已知圆 上一点 ，B 为圆上任意一点，求弦 AB 中点 M 的轨迹方程。 例4 （切线长最值） 已知点 在圆 外，求从 P 到圆的切线长。 例5 （PA² + PB² 最值） 已知圆 ，，，P 为圆上任意一点，求 的最大值。 参考答案汇总 知识点一 例1答案：圆的方程为 。 例2答案：直线 l 的方程为 。 例3答案：圆的方程为 。 例4答案：标准方程为 ，圆心 ，半径 r = 2。 例5答案：m < 1 或 m > 4。 知识点二 例1答案： 和 都在圆外。 例2答案：弦长为 。 例3答案：切线方程为 y = 1 或 。 例4答案：直线与圆相切，。 例5答案：直线 l 的方程为 或 x = 1。 知识点三 例1答案：两圆外切。 例2答案：公切线共 3 条。外公切线为 和 ，内公切线为 x = 2。 例3答案：公共弦所在直线方程为 。 例4答案：a = 3 或 。 例5答案：两圆外离，无公共弦。外公切线长为 。 知识点四 例1答案：最大值为 7，最小值为 3。 例2答案：最大值为 ，最小值为 。 例3答案：M 的轨迹方程为 。 例4答案：切线长为 2。 例5答案：（定值）。 学科网（北京）股份有限公司 $