第48讲 圆的方程 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦圆的方程核心考点，涵盖定义、标准方程与一般方程、点与圆位置关系、轨迹问题及最值问题，按“基础回顾-必备知识-题型突破”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法归纳、真题演练环节，帮助学生构建系统解题思路。 讲义采用题型分类突破法，如最值问题中通过斜率、截距、距离型转化培养数学思维，例题精选不同难度真题分层训练。设置“方法指导+真题精讲”模块，帮助学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用支撑。

第48讲 圆的方程 题型一 求圆的方程 2 题型二 点与圆的位置关系 3 题型三 与圆有关的轨迹问题 4 题型四 点与圆的有关最值问题 5 【基础回顾】 知识点1．圆的定义及圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆 方程 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 注意：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为 ，半径r＝的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点 ；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形． 知识点2．点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2或x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0之间存在着下列关系： 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MC|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点在圆外 |MC|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 点在圆内 |MC|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0 【必备知识】 1．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上． 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0． 3．向量法判断点与圆的位置关系 若点P是以AB为直径的圆O所在平面内的一点，则 ·＞0⇔点P在圆O外； ·＝0⇔点P在圆O上； ·＜0⇔点P在圆O内． 题型一 求圆的方程 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【例题精讲】 1．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点，的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南永州·三模）已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026高三·全国·专题练习）（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（ ） A．1 B．2 C． D．4 6．（25-26高二上·广西南宁·期末）由曲线围成的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·贵州·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 9．（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 10．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 题型二 点与圆的位置关系 【例题精讲】 1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）圆的方程是，其中．下列何者正确？（　　） I．的圆心的坐标是（2k，2k）． II．的面积是． III．原点位于内． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 4．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 6．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知三点，点在圆上运动，则的值不可能取到的值是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高二上·福建福州·期末）已知点都在圆上，点，则（    ） A．线段是圆的直径 B．圆的方程为 C．对于任意，圆上都存在点，使得 D．若在圆外，则的取值范围是 9．（多选）（25-26高二上·四川南充·期中）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆 及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 题型三 与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 【例题精讲】 1．（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 6．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 9．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 10．（25-26高三上·上海青浦·期末）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是__________. 题型四 点与圆的有关最值问题 1.借助几何性质求最值的常见形式及求解方法 (1)斜率型：形如 μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (3)距离型：形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 2.转化成与圆心的距离加减半径距离问题。 【例题精讲】 1．（2026·云南·模拟预测）点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B．0 C． D． 4．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知且，则的最大值为（   ） A．5 B． C．7 D． 5．（25-26高二上·湖北·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D．4 6．（25-26高二上·广东广州·期中）已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 7．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ） A． B．4 C．8 D． 8．（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）已知圆:，定点，为轴上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知A、B是圆C：上的两点，且，点O为坐标原点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第48讲 圆的方程 题型一 求圆的方程 2 题型二 点与圆的位置关系 5 题型三 与圆有关的轨迹问题 10 题型四 点与圆的有关最值问题 15 【基础回顾】 知识点1．圆的定义及圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆 方程 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 注意：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为 ，半径r＝的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点 ；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形． 知识点2．点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2或x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0之间存在着下列关系： 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MC|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点在圆外 |MC|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 点在圆内 |MC|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0 【必备知识】 1．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上． 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0． 3．向量法判断点与圆的位置关系 若点P是以AB为直径的圆O所在平面内的一点，则 ·＞0⇔点P在圆O外； ·＝0⇔点P在圆O上； ·＜0⇔点P在圆O内． 题型一 求圆的方程 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【例题精讲】 1．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 2．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 3．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点，的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆的面积最小即直径最小，即当直径为时最小，求出圆心及半径即可得标准方程. 【详解】根据题意，要使过点，的圆的面积最小，那么此时圆的直径为， 此时圆的圆心坐标为，半径， 所以圆的标准方程为，故B正确. 4．（2026·湖南永州·三模）已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，则，代入数值求解. 【详解】由题可知，点M的轨迹是以为圆心，半径的圆. 则， 所以. 5．（2026高三·全国·专题练习）（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（ ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】把圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径. 【详解】将圆的一般方程转换为标准方程，得， 则圆的半径为2. 故选：B. 6．（25-26高二上·广西南宁·期末）由曲线围成的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程说明曲线的对称性，再计算曲线在第一象限的部分，即弓形的面积，由对称性即得答案. 【详解】由于把方程中的分别用代换，方程没有发生变化， 所以方程表示的曲线关于轴和原点对称， 当时，方程， 所以该方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆在第一象限的部分，如图： 因该方程表示的曲线在第一象限部分是一个弓形，其面积为， 由曲线的对称性可知曲线在各象限的部分均全等，故面积都相等， 所以曲线围成的图形的面积为：， 故选：D 7．（25-26高二上·贵州·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【详解】因为，，所以圆心为， 即，，所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为. 故选：A. 8．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【答案】 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . 9．（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 10．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法进行求解即可. 【详解】设圆的方程为，圆心坐标为， 因为圆的圆心在直线上， 所以， 因为圆与轴的交点分别为，， 所以， 所以有， 所以圆的方程为. 故答案为： 题型二 点与圆的位置关系 【例题精讲】 1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 3．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）圆的方程是，其中．下列何者正确？（　　） I．的圆心的坐标是（2k，2k）． II．的面积是． III．原点位于内． A．只有II B．只有III C．只有I及II D．只有II及III 【答案】A 【分析】求得圆心坐标与半径可判断I与II，把原点坐标代入方程左边计算大于0可判断III. 【详解】由，可得， 所以，所以圆心的坐标为，半径为，故I错误； 所以圆的面积为，故II正确； 因为，故原点位于圆外，故III错误． 故选：A. 4．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 5．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用韦达定理及点与圆的位置关系计算判断. 【详解】由是方程的两个不等实数根，得， 则， 所以点与圆外. 故选：C 6．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 7．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知三点，点在圆上运动，则的值不可能取到的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点的坐标，利用两点间距离公式求出，再借助三角代换求出其范围即可判断. 【详解】设，由点在圆上运动，得，令， 则，，， 因此 ，其中锐角由确定， 所以不可能取到的值是125. 故选：D 8．（多选）（25-26高二上·福建福州·期末）已知点都在圆上，点，则（    ） A．线段是圆的直径 B．圆的方程为 C．对于任意，圆上都存在点，使得 D．若在圆外，则的取值范围是 【答案】AB 【分析】根据已知的三点坐标确定圆的标准方程，利用圆心和半径的性质判断直径关系，从而验证选项A和B，选项C，通过向量垂直的条件转化为圆的交点问题，结合几何特征分析存在性；选项D，利用点与圆的位置关系转化为距离不等式求解参数范围. 【详解】设圆的方程为，， 由三点，，在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为， 故圆的方程为，圆心为，半径， 对于A，线段的中点为，与圆心重合，所以线段是圆的直径，故A正确； 对于B，由上述计算可知，圆的方程为，故B正确； 对于C，若时，点与点不重合， 对于圆上一点，若，则， ，， 则，化简得，此为过原点的圆， 点P为圆与该圆的交点，两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 当时，，此时或， 即满足的点只有和，故此时不存在满足条件的点， 因此，命题“对于任意，圆上都存在点，使得”为假命题，故C错误； 对于D，点在圆外，则点D到圆心的距离大于半径，即， 解得，即，解得或，故D错误. 故选：AB 9．（多选）（25-26高二上·四川南充·期中）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得. 【详解】由点在圆：的外部，得， 解得或，则实数可能的值为，，. 故选：ABD 10．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆 及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对于A，将圆方程化为标准形式，可判断选项正误；对于B，将代入圆方程可判断选项正误；对于C，将点代入圆方程可得，然后由斜率计算公式可判断选项正误；对于D，当三点共线时，可得最值，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，故A错误； 对于B，将代入圆方程，得，所以点在圆外.故B正确； 对于C，若点在圆上，则 ， 解得，则，所以直线PQ的斜率为．故C正确； 对于D，，因为是圆上任一点， 所以 ，所以的取值范围为． 故选：BCD 题型三 与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 【例题精讲】 1．（2026·四川广元·三模）已知为坐标原点，动点在：上，点的坐标为，且线段的中点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求，再结合消元法可求的取值范围. 【详解】设，则，故， 故，故，且， 故，故，故. 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为，根据条件建立的关系式求解 【详解】 以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为， ，，， ， ， ， ， ， 即， 配方得：， 所以在以为圆心以2为半径的圆上， ，， ,其关于x单调递增， 所以取P为圆的最右边的点可取得最大， 此时，代入得. 3．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线过定点，且两直线垂直，求出点的轨迹，即可求出答案. 【详解】直线过定点，直线过定点， 因为两直线始终保持相互垂直， 因此交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示： 由于不包含直线，不包含直线， 所以点轨迹不经过点， 圆上的点到点距离最大值为， 此时点的位置不在处，满足题意，故的最大值为. 故选：B. 4．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【详解】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 5．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值． 【详解】直线 恒过定点， 直线 化简为，恒过点， 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则， 当时，，，，则， 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且， 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为，圆的半径，    又转化为，其表示圆上的点到距离的平方， 设， 则，所以的最大值为64． 故选：D. 6．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A 7．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由，得到，代入圆方程即可求解. 【详解】设，，由，得， 所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：B 8．（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【答案】（且） 【详解】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点）， 直角顶点的轨迹方程为（且）． 9．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设，根据中点公式得到，代入已知圆的方程即可得轨迹方程. 【详解】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. 10．（25-26高三上·上海青浦·期末）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质可得，再利用圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径， 由切圆于点，得，而，则， 即，因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 题型四 点与圆的有关最值问题 1.借助几何性质求最值的常见形式及求解方法 (1)斜率型：形如 μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (3)距离型：形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 2.转化成与圆心的距离加减半径距离问题。 【例题精讲】 1．（2026·云南·模拟预测）点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，然后令，则，再换元后利用二次函数的性质可求得答案. 【详解】如图，设P到的距离分别为， 因为点P是以为直径的单位圆上的动点，所以， 因为P到的距离分别为x，y，所以， 令（）， 所以， 令， 则，所以， 所以， 因为，所以当时， 可得取得最大值. 2．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定在上，再表示出，将转化为到点的距离，最后利用圆的性质求解即可. 【详解】设，则，而， 可得，而，，， 则，得到， 即表示到点的距离， 而由两点间距离公式得点到圆心的距离为， 得到的最大值为，故D正确. 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）若实数满足，则的最大值是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】将代数式转化为单位圆上的点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，结合圆心到直线的距离公式列方程求解斜率最大值. 【详解】已知实数满足，即点在以原点为圆心，半径的单位圆上. 设，其几何意义为单位圆上任意一点与定点连线的斜率. 设直线的方程为，即 当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 可得，解得或； 结合图像可知的最大值为. 故选：D 4．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知且，则的最大值为（   ） A．5 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先由（圆的方程），用三角换元将表示为三角函数形式，再代入，借助辅助角公式将其化简为单一三角函数的形式；最后借助三角函数的有界性（正弦函数最大值为1），求出表达式的最大值. 【详解】，是圆心在原点、半径的圆的方程， 设，将、代入， 得， 利用公式, 则， 因为的最大值为1， 所以的最大值为. 故选：B. 5．（25-26高二上·湖北·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D．4 【答案】C 【分析】在轴上找一点，此时，证明，同理在轴上找一点，证明，将所求变为，代入整理，当D、P、C三点共线时，有最小值，即可得答案. 【详解】，可在轴上找一点， 此时，， ， 所以， 同理因为，可在轴上找一点，使得， ， 所以， 由此知 . 故选：C. 6．（25-26高二上·广东广州·期中）已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设为的中点，由取得的最小值即可求解. 【详解】已知、是圆：上的两点，且， 点为坐标原点，由于，即， 故圆的圆心为，半径为2，设为的中点，则， 结合，得到，即点在以为圆心，半径为的圆上， 又，则， 而， 的最小值为， 则的最小值为. 故选：D 7．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出点到圆心的距离，再利用圆的性质求解. 【详解】圆：的圆心，半径， 所求的最短距离为. 故选：A 8．（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程表示为标准方程，求出的范围，由可得，结合的范围可得出的范围，即可得解. 【详解】由可得可得，解得， 由可得，故的最大值为. 故选：D. 9．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）已知圆:，定点，为轴上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数形结合，结合圆的性质以及点关于直线的对称点的性质，转化为三点共线问题，即可求解. 【详解】圆:的圆心，半径 ，当、、三点共线（点在、两点之间）时，取等号， 点关于轴的对称点为，， 当、、三点共线时，取等号.    所以的最小值为. 故选：B. 10．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知A、B是圆C：上的两点，且，点O为坐标原点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】确定圆C的圆心和半径，进而确定点H在以C为圆心，半径为1的圆上，结合向量的模的几何意义以及圆的性质，即可求得答案. 【详解】由于，即为， 故圆C的圆心为，半径为2， 设H为的中点，则，结合，得, 即点H在以C为圆心，半径为1的圆上；    又，则 而， 故的最小值为，则的最小值为， 故选：D 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $