2027届高考数学一轮复习讲义-第八章 课时3 圆的方程

该高中数学高考复习讲义聚焦圆的方程专题，覆盖圆的定义、标准方程与一般方程、点与圆的位置关系等核心考点，按“定义-方程-应用”逻辑架构知识，通过知识梳理填空、基础回顾辨析、考点扫描分三类问题（求方程、范围最值、轨迹）讲解，配合例题解析、规律总结及对点训练，系统帮助学生突破难点。 讲义突出数学思维与建模能力培养，如在范围最值问题中，通过斜率、距离的几何意义转化问题，结合参数方程代数法，培养学生逻辑推理与数学表达能力。设置基础巩固到综合应用的分层练习，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

课时3 圆的方程 一．课标要求 1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程. 2．能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 二．知识梳理 1．圆的定义 在平面内，到 的距离等于 的点的集合叫作圆．确定一个圆最基本的要素是 和 ． 2．圆的标准方程 （1）以(a，b)为圆心，r (r＞0)为半径的圆的标准方程为 ． （2）特殊地，x2＋y2＝r2(r＞0)的圆心为 ，半径为 ． 3．圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0变形为(x＋)2＋(y＋)2＝． （1）当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以 为圆心、 为半径的圆； （2）当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示一个点 ； （3）当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形． 4．圆的直径式方程 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为 ． 5．点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，点M到圆心C（a，b）的距离为d，点M与圆C的位置关系如下： （1）点M(x0，y0)在圆上⇔ ⇔ ； （2）点M(x0，y0)在圆外⇔ ⇔ ； （3）点M(x0，y0)在圆内⇔ ⇔ ． 三．基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0．( 　) （2）方程x2＋y2－2ax－2ay＋a2－2a－1＝0表示圆心为(a，a），半径为的圆． v (　　) （3）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为A＝C≠0，B＝0，且 D2＋E2－4A‧F＞0． (　　 ) （4）动点A(a＋rcosθ，b＋rsinθ)（）的轨迹是圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)． ( 　) 2．已知点，，，则△ABC外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．(多选题) 已知P1(4，9)，P2(6，3)两点，P是以线段P1P2为直径的圆C上任意一点，则有( ) A．圆C的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10 B．点M(3，3)在圆内 C．若点Q(5，3)，则PQ长的最小值为－3 D．若点N(6，a)在圆外，则a的取值范围是(3，9) 4、若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围是 ． 四．考点扫描 考点一 求圆的方程 例1 (1)(2025·广东广州市调研)圆心在直线上，且过点，的圆的方程为 ． （2）已知圆C过点A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，则圆C的标准方程为__ _；若D为圆C上任意一点，且点E(3,0)，则线段ED的中点M的轨迹方程为__ __． 规律方法： 对点训练 （1）圆心为C(－8，3)，且过点M(－5，－1)的圆的方程是(　 　) A．(x＋8)2＋(y－3)2＝25 B．(x－8)2＋(y－3)2＝25 C．(x＋8)2＋(y－3)2＝16 D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25 （2）（2025·北京西城区开学考试）圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 考点二 与圆有关的范围(最值)问题 例2 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求： （1）的取值范围； （2）的最大值和最小值； （3）x－2y的最大值和最小值． 例3 （1）若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是(　 　) A．5 B．5－ C．30－10 D．无法确定 （2）已知P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且AB＝2，则△ABP的面积的取值范围是________． 规律方法： 对点训练 （1）已知圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，都使得不等式x＋y＋m≥0成立，则实数m的取值范围是_ __． （2）(多选题)(2025·福建厦门市质检)已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4.下列说法正确的有(　 　) A．的最小值为－ B．x＋y的最小值为2－2 C．(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为5 D．点(x，y)到直线y＝kx＋2的距离的最大值为2＋2 考点三 与圆有关的轨迹问题 例4 （1）在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若·＝1，则点C的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 （2）(2025·山东师范大学附中校考期末)若P为直线x－y＋4＝0上的一个动点，从点P引圆C：x2＋y2＝2的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则直线MN恒过定点E的坐标为________． 规律方法： 对点训练（1）已知Rt△ABC的斜边为AB，且点A(－1,0)，B(3,0)，则直角顶点C的轨迹方程是__ __；直角边BC的中点M的轨迹方程是_ _． （2）在△ABC中，若AB＝2，AC2＋BC2＝8，则△ABC面积的最大值为 ． 课时3 圆的方程参考答案 二．知识梳理 1.定点 定长 圆心 半径 2．（1） (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) （2）(0，0) r 3．（1） （2） 4．(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0 5．（1）d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2=r2 （2）d>r (x0－a)2＋(y0－b)2 >r2 （3）d<r (x0－a)2＋(y0－b)2 <r2 三．基础回顾 1．（1） √　 （2）×　 （3） √ （4） √ 2．B【解析】由题得△ABC是直角三角形，且，所以圆的半径为，圆心为，所以外接圆的方程为.故选B. 3．AC【解析】对于选项A，两点P1(4，9)，P2(6，3)，线段P1P2的中点为圆心O(5，6)，半径r＝＝．所以以线段P1P2为直径的圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10．故A正确． 对于选项B，因为OM2＝(3－5)2＋(3－6)2＝13＞10，所以点M在圆外．B错误． 对于选项C，PQ≥r－CQ＝－3．C正确． 对于选项D，因为点N(6，a)在圆外，所以(6－5)2＋(a－6)2＞10，解得a＜3或a＞9．D错误．故选AC. 4.(－∞，－2)∪(0，＋∞) 【解析】由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2. 四．考点扫描 例1 (1) 【解析】圆经过点和，，AB中点为，所以线段AB的垂直平分线的方程是．联立方程组，解得．所以圆心坐标为，半径，所以此圆的标准方程是． （2）(x－2)2＋(y－4)2＝10；2＋(y－2)2＝【解析】由题可设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10．设M(x，y)，D(x1，y1)．由E(3,0)及M为线段ED的中点得解得又点D在圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝10上，所以(2x－3－2)2＋(2y－4)2＝10，化简得2＋(y－2)2＝，故点M的轨迹方程为2＋(y－2)2＝． 对点训练 （1）A【解析】 因为圆心为C(－8,3)，且经过点M(－5，－1)，所以半径为MC＝＝5，故圆的标准方程为(x＋8)2＋(y－3)2＝25．故选A. （2）C【解析】由题意，圆心坐标为，可知A，B错误；设圆心半径为，且圆心到轴的距离为，则由圆与轴相切可得，故圆的方程为.故选C. 例2 【解】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以C(2，0)为圆心，为半径的圆． （1）的几何意义是圆上一点与点(1，2)连线的斜率，所以设＝k，即kx－y＋2－k＝0，此时直线和圆有交点，故≤，解得k≤1－或k≥1＋，故的范围是． （2）的几何意义是圆上一点到点P(1，2)的距离，又P在圆外，故最小值为PC－r＝－＝－，最大值为PC＋r＝＋＝＋． （3）方法一：设t＝x－2y，则直线x－2y－t＝0与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点．所以≤．所以2－≤t≤2＋，所以tmax＝2＋，tmin＝2－． 方法二：设x＝2＋cosθ，y＝sinθ，θ∈[0，2π]，x－2y＝2＋cosθ－2sinθ＝cos(θ＋φ)＋2，因为θ∈[0，2π]，所以x－2y的最大值为2＋，最小值为2－． 例3 （1）C【解析】 由x2＋y2－2x＋4y－20＝0，可得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，表示以C(1，－2)为圆心，5为半径的圆．设原点O(0，0)，OC＝，则x2＋y2(x2＋y2为圆上的点与原点距离的平方)的最小值是(5－OC)2＝(5－)2＝30－10．故选C. （2） [1，5]【解析】圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C(2，1)，半径r＝2.圆心C到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝3.设P到直线AB的距离为h，则S△ABP＝·AB·h＝h.因为d－r≤h≤d＋r，所以1≤h≤5，所以S△ABP∈[1，5]，即△ABP的面积的取值范围是[1，5]． 对点训练 （1）[－1，＋∞)【解析】 设θ为参数，则圆的参数方程为所以设点P(cosθ，1＋sinθ)．由不等式x＋y＋m≥0，得m≥－(x＋y)，所以m≥[－(x＋y)]max．而－(x＋y)＝－(cosθ＋1＋sinθ)＝－1－sin≤－1＋，于是m≥－1． （2） BD【解析】 如图，方程(x－2)2＋y2＝4表示以C(2,0)为圆心，半径r＝2的圆．对于选项A，表示点(－1,0)与圆上的点(x，y)的连线的斜率，设过点(－1,0)的直线的斜率为k，则y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，所以圆心C到该直线的距离d1＝≤2，解得－≤k≤，故A错误； 对于选项B，令x＋y＝z，即x＋y－z＝0，直线x＋y－z＝0与圆必有交点，则圆心C到该直线的距离d2＝≤2，解得2－2≤z≤2＋2，即2－2≤x＋y≤2＋2，故x＋y的最小值为2－2，即B正确； 对于选项C，(x＋2)2＋(y＋3)2表示圆上的点(x，y)到A(－2，－3)的距离的平方，令圆上的点(x，y)到A(－2，－3)的距离为d3，因为AC＝＝5，所以AC－r≤d3≤AC＋r，即3≤d3≤7，所以9≤(x＋2)2＋(y＋3)2≤49，故C错误； 对于选项D，因为直线y＝kx＋2恒过点D(0，2)，又CD＝＝2，所以点(x，y)到直线y＝kx＋2的距离的最大值为2＋2，故D正确．故选BD. 例4（1）A【解析】方法一：在平面内，设AB=2a(a>0),以AB为中点坐标原点建立平面直角坐标系：AB是两个定点，C是动点，不妨设A(－a，0)，B(a，0)，设C(x，y)，可得＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)，从而·＝(x＋a)(x－a)＋y2＝1，整理可得x2＋y2＝a2＋1，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆． 方法二：设AB＝2a(a＞0)，AB中点为O，·＝[(＋)2－(－)2]＝OC2－OA2， 因为·＝1，所以OC2＝1＋OA2＝1＋a2，即点C的轨迹是以AB中点O为圆心，为半径的圆．故选A. （2）【解析】设P(x0，x0＋4)，M(x1，y1)，N(x2，y2).过点M的切线方程为xx1＋yy1＝2，过点N的切线方程为xx2＋yy2＝2.因为两切线均过点P，所以x0x1＋(x0＋4)y1＝2，x0x2＋(x0＋4)y2＝2.所以过M，N的直线方程为x0x＋(x0＋4)y＝2.即x0(x＋y)＋4y＝2，所以所以E. 对点训练 （1）x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)；(x－2)2＋y2＝1(y≠0)【解析】方法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．因为AC⊥BC，且BC，AC的斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1．又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0．因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 方法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知CD＝AB＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)，所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，且M是线段BC的中点，所以由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y．将x0＝2x－3，y0＝2y代入点C的轨迹方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．  （2）【解析】方法一：因为8＝AC2＋BC2≥2AC·BC，所以AC·BC≤4．又cosC＝≥＝．所以cosC≥，所以0°＜C≤60°，S＝AC·BC·sinC，所以由不等式可知AC＝BC＝2时，面积有最大值S＝×2×2×＝． 方法二：以AB为x轴，AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，C(x，y).因为AC2＋BC2＝8，所以(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝8，化简得x2＋y2＝3，即点C在圆x2＋y2＝3上运动，所以当C到x轴距离最大即r＝时面积最大，Smax＝×2×＝． . 学科网（北京）股份有限公司 $