2.3 培优课　不等式的综合问题 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦不等式综合问题，涵盖三个“二次”关系、恒成立问题及实际应用等核心知识点。通过典型例题导入，如从已知不等式解集求新不等式解集，建立二次函数、方程与不等式的联系，搭建学习支架衔接旧知。 其亮点在于“通性通法”总结与实际应用结合，如恒成立问题步骤归纳培养数学思维，摩托车利润、刹车距离案例引导用数学眼光观察现实。采用例题-总结-训练模式，助学生掌握方法提升核心素养，教师可直接用于教学提高效率。

培优课　 不等式的综合问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 三个“二次”间的关系 【例1】　已知关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜2＜ x ＜ 3}，求关于 x 的不等式 cx2＋ bx ＋ a ＜0的解集. 目录 数学·必修第一册 解：由不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜2＜ x ＜3}可知 a ＜0，且2 和3是方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两根， 由根与系数的关系可知 ＝－5， ＝6， 所以 b ＝－5 a ， c ＝6 a ， 即6 ax2－5 ax ＋ a ＜0，又因为 a ＜0， 所以6 x2－5 x ＋1＞0，解得 x ＜ 或 x ＞ ， 所以不等式 cx2＋ bx ＋ a ＜0的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ＞ }. 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　已知以 a ， b ， c 为参数的不等式（如 ax2＋ bx ＋ c ＞0）的解集， 求解其他不等式解集的步骤： （1）根据解集来判断二次项系数的符号； （2）根据根与系数的关系把 b ， c 用 a 表示出来并代入所要解的 不等式； （3）约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知关于 x 的不等式 x2＋ ax ＋ b ＜0的解集为{ x ｜1＜ x ＜2}，求关 于 x 的不等式 bx2＋ ax ＋1＞0的解集. 解：∵ x2＋ ax ＋ b ＜0的解集为{ x ｜1＜ x ＜2}， ∴ x1＝1和 x2＝2是方程 x2＋ ax ＋ b ＝0的两根. 由一元二次方程根与系数的关系得 目录 数学·必修第一册 解得 代入所求不等式，得2 x2－3 x ＋1＞0. 由2 x2－3 x ＋1＞0，得（2 x －1）（ x －1）＞0， ∴ x ＜ 或 x ＞1. ∴ bx2＋ ax ＋1＞0的解集为 . 目录 数学·必修第一册 题型二 一元二次不等式恒成立问题 角度1　在R上恒成立问题 【例2】　已知不等式 kx2＋2 kx －（ k ＋2）＜0恒成立，求实数 k 的取 值范围. 解：当 k ＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意. 当 k ≠0时，令 y ＝ kx2＋2 kx －（ k ＋2），由 y ＜0恒成立， ∴其图象都在 x 轴的下方，即开口向下，且与 x 轴无交点. ∴解得－1＜ k ＜0. 综上，实数 k 的取值范围是{ k ｜－1＜ k ≤0}. 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　一元二次不等式在R上的恒成立问题，转化为一元二次不等式解 集为R的情况，即 ax2＋ bx ＋ c ＞0（ a ≠0）恒成立⇔ ax2＋ bx ＋ c ＜0（ a ≠0）恒成立⇔ 目录 数学·必修第一册 ax2＋ bx ＋ c ≥0（ a ≠0）恒成立⇔ ax2＋ bx ＋ c ≤0（ a ≠0）恒成立⇔ 提醒　若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一 定要讨论二次项系数是否为0. 目录 数学·必修第一册 角度2　在给定范围上恒成立问题 【例3】　当1≤ x ≤2时，不等式 x2＋ mx ＋4＜0恒成立，求实数 m 的 取值范围. 解：令 y ＝ x2＋ mx ＋4， ∵ y ＜0在1≤ x ≤2上恒成立， ∴ y ＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得 ∴实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ＜－5}. 目录 数学·必修第一册 通性通法 在给定范围上恒成立问题的解题策略 （1）当 a ＞0时， ax2＋ bx ＋ c ＜0在 x ∈{ x ｜α≤ x ≤β}上恒成立⇔ y ＝ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝α， x ＝β时的函数值同时小于0； （2）当 a ＜0时， ax2＋ bx ＋ c ＞0在 x ∈{ x ｜α≤ x ≤β}上恒成立⇔ y ＝ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝α， x ＝β时的函数值同时大于0. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 若关于 x 的不等式 kx2＋3 kx ＋ k －2≤0的解集为R，则实数 k 的取值 范围是（　　） 解析： 　当 k ＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；当 k ≠0时，需 满足 k ＜0且9 k2－4 k （ k －2）＝5 k2＋8 k ≤0，得－ ≤ k ＜0，综 上，实数 k 的取值范围是{ k ｜－ ≤ k ≤0}. 目录 数学·必修第一册 2. 若对任意的－1≤ x ≤2，都有 x2－2 x ＋ a ≤0（ a 为常数），则 a 的 取值范围是（　　） A. a ≤－3 B. a ≤0 C. a ≥1 D. a ≤1 解析： 　法一　令 f （ x ）＝ x2－2 x ＋ a ，则由题意，得 解得 a ≤－3，故选A. 目录 数学·必修第一册 法二　当－1≤ x ≤2时，不等式 x2－2 x ＋ a ≤0恒成立等价于 a ≤－ x2 ＋2 x 恒成立，则由题意，得 a ≤（－ x2＋2 x ）min（－1≤ x ≤2）.而－ x2＋2 x ＝－（ x －1）2＋1，则当 x ＝－1时，（－ x2＋2 x ）min＝－3， 所以 a ≤－3，故选A. 目录 数学·必修第一册 题型三 一元二次不等式的实际应用 【例4】　某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/ 辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需 求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加 的比例为 x （0＜ x ＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75 x ，同时预 计年销售量增加的比例为0.6 x .已知年利润＝（出厂价－投入成本） ×年销售量. 目录 数学·必修第一册 （1）写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； 解： 由题意，得 y ＝[1.2×（1＋0.75 x ）－1×（1＋ x ）]×1 000×（1＋0.6 x ）（0＜ x ＜1），整理得 y ＝－60 x2＋ 20 x ＋200（0＜ x ＜1）. 目录 数学·必修第一册 （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比 例 x 应在什么范围内？ 解： 要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 即 解不等式组，得0＜ x ＜ ， 所以为使本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的 比例 x 的范围为 . 目录 数学·必修第一册 通性通法 解不等式应用题的步骤 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，两车驾 驶员发现情况不对时，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲 车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，且甲、乙两 种车型的刹车距离 s m与车速 x km/h之间分别有如下关系 s甲＝0.1 x甲＋ 0.01 ， s乙＝0.05 x乙＋0.005 .问超速行驶谁应负主要责任？ 目录 数学·必修第一册 解：由题意，列出不等式 s甲＝0.1 x甲＋0.01 ＞12， s乙＝0.05 x乙＋0.005 ＞10， 分别求解，得 x甲＜－40或 x甲＞30， x乙＜－50或 x乙＞40. 由于 x ＞0，从而得 x甲＞30， x乙＞40. 经比较，知乙车超过限速，故乙车驾驶员应负主要责任. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 若关于 x 的方程 x2＋（ m －1） x ＋ m2－2＝0的一个实数根小于－ 1，另一个实数根大于1，则实数 m 的取值范围是（　　） A. { m ｜－2＜ m ＜2} B. { m ｜－2＜ m ＜0} C. { m ｜－2＜ m ＜1} D. { m ｜0＜ m ＜1} 解析： 令 y ＝ x2＋（ m －1） x ＋ m2－2，由函数图象（图略） 知解得0＜ m ＜1，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 2. 关于 x 的不等式 x2－ mx ＋1＞0的解集为R，则实数 m 的取值范围是 （　　） A. { m ｜0＜ m ＜4} B. { m ｜ m ＜－2或 m ＞2} C. { m ｜－2≤ m ≤2} D. { m ｜－2＜ m ＜2} 解析： 　∵不等式 x2－ mx ＋1＞0的解集为R，∴函数 y ＝ x2－ mx ＋1的图象在 x 轴上方，∴方程 x2－ mx ＋1＝0无实数解，∴Δ＜0， 即 m2－4＜0，解得－2＜ m ＜2，∴实数 m 的取值范围是{ m ｜－2 ＜ m ＜2}.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 3. 若关于 x 的不等式－ x2＋ mx －1≥0有解，则实数 m 的取值范围是 （　　） A. { m ｜ m ≤－2或 m ≥2} B. { m ｜－2≤ m ≤2} C. { m ｜ m ＜－2或 m ＞2} D. { m ｜－2＜ m ＜2} 解析： 　∵关于 x 的不等式－ x2＋ mx －1≥0有解，且函数 y ＝－ x2＋ mx －1的图象开口向下，∴函数图象与 x 轴有交点，∴Δ＝ m2 －4≥0，解得 m ≥2或 m ≤－2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 4. 关于 x 的不等式 x2－2 ax －8 a2＜0（ a ＞0）的解集为{ x ｜ x1＜ x ＜ x2}，且 x2－ x1＝15，则 a ＝（　　） 解析： 　由条件知 x1， x2为方程 x2－2 ax －8 a2＝0的两根，则 x1＋ x2＝2 a ， x1 x2＝－8 a2，故（ x2－ x1）2＝（ x1＋ x2）2－4 x1 x2＝（2 a ）2－4×（－8 a2）＝36 a2＝152，解得 a ＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 5. （多选）不等式 ax2－2 x ＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件 是（　　） A. a ＜1 B. a ≤1 C. a ＜2 D. a ＜0 解析： 　因为 ax2－2 x ＋1＜0的解集非空，显然当 a ≤0时恒成 立，又由解得0＜ a ＜1，综上， ax2－2 x ＋1＜0 的解集非空的充要条件为 a ＜1.由选项知 a ＜1的一个必要不充分条 件为B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 6. 若不等式 x2＋（ m －3） x ＋ m ＜0无解，则实数 m 的取值范围 是 ⁠. 解析： x2＋（ m －3） x ＋ m ＜0无解，则Δ＝（ m －3）2－4 m ＝ m2－10 m ＋9≤0，解得1≤ m ≤9. { m ｜1≤ m ≤9}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $