精品解析：浙江杭州市上城区2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

2025学年第二学期学业水平测试 七年级数学 考试须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年以来，北京时间和国际标准时间的偏差只有纳秒（1纳秒=十亿分之一秒，即1纳秒秒），远低于国际要求的100纳秒，准确度在全球80多个守时实验室里排名第一．数据纳秒用科学记数法可以表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 4. 如图，直线、被直线，所截，，，，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 下列式子由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 对某校701班和702班的学生“最喜爱的课后拓展课程”进行统计，分别绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（ ） A. 701班中最喜欢无人机的人数比最喜欢编程的人数多 B. 701班中最喜欢足球的人数与702班中最喜欢足球的人数一样多 C. 702班中表示最喜欢编程人数的扇形的圆心角度数为 D. 702班中最喜欢健美操的人数和最喜欢足球的人数一样多 7. 科学种植促丰收，我国谷物总产量稳居世界首位，14亿多人的粮食安全得到有效保障．某水稻种植基地首次引入袁隆平团队带来的植株高、穗长粒多的巨型稻，选择两块面积相同的试验田，分别种植巨型稻和普通水稻，结果巨型稻收获16.8吨，普通水稻收获13.2吨，巨型稻比普通水稻每公顷多收获3吨．问这次种植试验，巨型稻和普通水稻的产量分别是每公顷多少吨？设试验田中巨型稻每公顷产量为x吨，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 9. 幻方是一种古老又有趣的数字矩阵，起源于中国古代，最早的三阶幻方也叫洛书，距今已有几千年历史．如图，在一个的方格中，填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则m的值为（ ） 2 3 y m y A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 10. 如图，在长方形中，，，E，F分别为边，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为14，则图中两个正方形的面积和为（ ） A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若分式有意义，则x应满足的条件是______． 12. 如图，皮划艇比赛中，主赛道为直线，赛道两侧的浮标连线互相平行，即，选手在处出发时，船头沿射线方向与赛道右侧浮标线的夹角为，若要让皮划艇回到与主赛道浮标平行，则需要将船头向左侧调整______度． 13. 已知，则n的值为______． 14. 将七年级某次的体测数据分成5组，第一组到第三组的频数分别为，，，第四组和第五组的频数之比为，其中第一组的频率为，则第四组的频数是______． 15. 如果方程组的解也是方程的一个解，则a的值为______． 16. 如图，两块平面镜的夹角为（），两条平行光线和分别射到两块平面镜上，交平面于点D、F，它们的反射光线与的夹角，则的度数是______．（用含的代数式表示） 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程（组） （1） （2） 19. 某校开展传统文化诗词诵读活动，为了解同学们掌握情况，从全校1300名学生里随机抽取部分学生进行诗词素养测试（满分100分，分数x均不低于60），成绩划分四个等级：合格，一般，较好，优秀． 根据调查结果，绘制了如下尚不完整的条形统计图和扇形统计图： （1）求此次抽取的学生总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图里“较好”等级所对应的扇形圆心角度数； （3）估计全校“优秀”等级的学生有多少人？ 20. 某一次考试中有这样一道题：先化简，再求值：，其中．小辰的化简过程如下： 原式 （1）你觉得小辰的化简过程正确吗？若不正确，请写出正确的化简过程； （2）老师说：“这题的答案就是！”请求出被遮挡的m值． 21. 如图，，，点E在延长线上，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 本学期第四章，我们学习了因式分解，知道了“”可以用平方差公式因式分解为“”，善于思考的小聪提出了这样一个问题：“”可以因式分解吗？它的结果是什么？以下为小聪的部分推导过程： （1）请帮小聪完善推导的过程； （2）若，，求的值； （3）你能模仿小聪的方法对因式分解吗？ 23. 随着新能源汽车普及，某小区和某商场均配备了充电桩．小区新能源汽车充电桩收费标准按照“电费=充电量×电价”计费，表1为该小区充电桩不同时段的电价标准．商场新能源充电桩的收费标准按照“总费用=电费+服务费”计费，表2为该商场充电桩的收费标准，则“峰时”充10度电的总费用为：（元）． 表1： 项目 某小区新能源汽车分时电价方案 时段划分 峰时 17:00-22:00 平时 8:00-17:00 谷时 22:00-次日8:00 电价（元/度） a b 0.34 表2： 某商场新能源充电桩收费公示牌 收费时段 峰时 16:00-22:00 平时 10:00-16:00 谷时 22:00-次日10:00 电价（元/度） 0.56 c 服务费（元/度） 0.5 0.4 0.3 请根据以上素材解决下列问题： （1）小明爸爸第一天在小区“峰时”充了6度电，“平时”充了9度电，花费了7.8元；第二天在小区“峰时”充了12度电，“平时”充了15度电，花费了14.1元，求a，b的值； （2）小明爸爸发现在某商场充电时，“平时”花18元充电的度数与在“谷时”花14元充电的度数一样，求“谷时”的电价c为多少元/度？ （3）小明爸爸在小区“平时”充了m度电，又在某商场“平时”充了n度电，一共支付了20元．若充电的度数m、n均为正整数，则满足条件的m，n有几种情况？ 24. 已知：，点E，M分别是直线，上的点，F为射线上一动点，连接、，过点F作交射线于点G，点H为射线上一点，且平分． （1）如图1，若为钝角， ①求证：平分； ②若，求的度数； （2）如图2，若为锐角，，探究与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期学业水平测试 七年级数学 考试须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：中不是整式，方程不是整式方程，故A不符合题意； 对于选项B：中，项的次数为2，不满足次数要求，故B不符合题意； 对于选项C：只含有1个未知数，故C不符合题意； 对于选项D：是整式方程，含有和两个未知数，且所有含未知数的项的次数都是1，满足二元一次方程的定义，故D符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A ：合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变， ∴，故A错误； 对于选项B ：单项式除以单项式，系数相除，同底数幂相除，剩余因式照写， ∴，故B正确； 对于选项C ：积的乘方等于把积中每个因式分别乘方，再把所得幂相乘， ∴，故C错误； 对于选项D ：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故D错误． 3. 2024年以来，北京时间和国际标准时间的偏差只有纳秒（1纳秒=十亿分之一秒，即1纳秒秒），远低于国际要求的100纳秒，准确度在全球80多个守时实验室里排名第一．数据纳秒用科学记数法可以表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵纳秒秒秒， ∴纳秒秒秒． 4. 如图，直线、被直线，所截，，，，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 下列式子由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：根据因式分解的定义，变形结果必须是几个整式的乘积，由此判断： A、该变形是整式乘法，结果为多项式，不是因式分解； B、原式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解； C、，变形符合因式分解的定义，是因式分解； D、右边的不是整式，不符合因式分解要求，不是因式分解． 6. 对某校701班和702班的学生“最喜爱的课后拓展课程”进行统计，分别绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（ ） A. 701班中最喜欢无人机的人数比最喜欢编程的人数多 B. 701班中最喜欢足球的人数与702班中最喜欢足球的人数一样多 C. 702班中表示最喜欢编程人数的扇形的圆心角度数为 D. 702班中最喜欢健美操的人数和最喜欢足球的人数一样多 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形统计图中的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴701班中最喜欢无人机的人数比最喜欢编程的人数少，原说法错误，不符合题意； B、∵701班和702班两个班级的总人数不知道，故无法比较两个班级最喜欢足球的人数，原说法错误，不符合题意； C、702班中表示最喜欢编程人数的扇形的圆心角度数为，原说法错误，不符合题意； D、由扇形统计图可知，702班中最喜欢健美操的人数和最喜欢足球的人数一样多，原说法正确，符合题意． 7. 科学种植促丰收，我国谷物总产量稳居世界首位，14亿多人的粮食安全得到有效保障．某水稻种植基地首次引入袁隆平团队带来的植株高、穗长粒多的巨型稻，选择两块面积相同的试验田，分别种植巨型稻和普通水稻，结果巨型稻收获16.8吨，普通水稻收获13.2吨，巨型稻比普通水稻每公顷多收获3吨．问这次种植试验，巨型稻和普通水稻的产量分别是每公顷多少吨？设试验田中巨型稻每公顷产量为x吨，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设巨型稻每公顷产量为吨，则普通水稻每公顷产量为吨，利用两块试验田面积相等，结合面积=总产量÷单位面积产量列出方程即可． 【详解】解：设巨型稻每公顷产量为吨，则普通水稻每公顷产量为吨． ∵两块试验田面积相等，面积总产量单位面积产量， ∴可得方程． 8. 关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据分式分母为0确定增根的值，再将分式方程化为整式方程，代入增根计算得到的值． 【详解】解：∵分式方程有增根，分式的分母为和， ∴令，解得增根为； 方程两边同时乘最简公分母去分母，得：， 整理得：， 将增根代入，得， 解得． 9. 幻方是一种古老又有趣的数字矩阵，起源于中国古代，最早的三阶幻方也叫洛书，距今已有几千年历史．如图，在一个的方格中，填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则m的值为（ ） 2 3 y m y A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据三阶幻方的性质，各行各列对角线上的三个数之和相等，先利用已知位置的数推出和的值，再计算得到． 【详解】解：如图， 2 3 a y m z y 设第三行中间数为，第一行第三个数为， 根据题意得：， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴． 10. 如图，在长方形中，，，E，F分别为边，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为14，则图中两个正方形的面积和为（ ） A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】设，用含的代数式将表示出来，再根据长方形的面积与完全平方公式的变形求解． 【详解】解：设， ∵，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵两个正方形的面积， ， ∴两个正方形的面积． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 若分式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，即可列不等式求解． 【详解】解：依题意得分式的分母不为零，即，解得． 12. 如图，皮划艇比赛中，主赛道为直线，赛道两侧的浮标连线互相平行，即，选手在处出发时，船头沿射线方向与赛道右侧浮标线的夹角为，若要让皮划艇回到与主赛道浮标平行，则需要将船头向左侧调整______度． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，利用平行线的性质可得． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴需要将船头向左侧调整． 13. 已知，则n的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先把所有底数统一为2，再利用幂的运算法则计算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得． 14. 将七年级某次的体测数据分成5组，第一组到第三组的频数分别为，，，第四组和第五组的频数之比为，其中第一组的频率为，则第四组的频数是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据第一组的频数与频率求出体测数据的总数，再求出第四组与第五组的频数和，最后根据两组的频数比计算第四组的频数． 【详解】解：∵第一组的频数为，频率为， ∴七年级参加体测的学生人数为（人）， ∴第四组和第五组的频数之和为， ∵第四组和第五组的频数之比为， ∴第四组的频数为． 15. 如果方程组的解也是方程的一个解，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二元一次方程组的解，再代入，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：方程组整理得 把②代入①得，， 解得，， 把代入②得，， ∴， 把代入得， ， 解得． 16. 如图，两块平面镜的夹角为（），两条平行光线和分别射到两块平面镜上，交平面于点D、F，它们的反射光线与的夹角，则的度数是______．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】分别过点D，F作，垂足分别为点D，F，过点O，A分别作， 则，设点M，N分别为延长线上的一点，则，从而得到，，再结合，可得，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点D，F作，垂足分别为点D，F，过点O，A分别作， 则， 设点M，N分别为延长线上的一点， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程（组） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 去分母得， 去括号得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解． 19. 某校开展传统文化诗词诵读活动，为了解同学们掌握情况，从全校1300名学生里随机抽取部分学生进行诗词素养测试（满分100分，分数x均不低于60），成绩划分四个等级：合格，一般，较好，优秀． 根据调查结果，绘制了如下尚不完整的条形统计图和扇形统计图： （1）求此次抽取的学生总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图里“较好”等级所对应的扇形圆心角度数； （3）估计全校“优秀”等级的学生有多少人？ 【答案】（1）80；， （2） （3）260人 【解析】 【分析】（1）根据样本总数=频数÷所占百分比，求得样本总数，再利用频数等于样本容量乘以百分比，画图解答即可． （2）根据圆心角度数计算公式求解即可． （3）利用样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得合格有8人，占比为， 故， 故本次调查共抽取了80名学生． 根据题意，得一般的人数为：（人），补全统计图略； 【小问2详解】 解：根据题意，得扇形统计图里“较好”等级所对应的扇形圆心角度数为：． 【小问3详解】 解：根据题意，得（人）． 答：全校“优秀”等级的学生有260人． 20. 某一次考试中有这样一道题：先化简，再求值：，其中．小辰的化简过程如下： 原式 （1）你觉得小辰的化简过程正确吗？若不正确，请写出正确的化简过程； （2）老师说：“这题的答案就是！”请求出被遮挡的m值． 【答案】（1）解：不正确，原式； （2）4 【解析】 【分析】（1）通分，化简求解即可； （2）根据题意，得，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，得，整理得，， ， 解得， 经检验，时，， 故是原方程的根； 21. 如图，，，点E在延长线上，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：，，， ，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质证明，等量代换，证明，即可得证； （2）根据两直线平行，同旁内角互补，求得；根据和平行线性质，求的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， ， ， 解得， ； ， ， ． 22. 本学期第四章，我们学习了因式分解，知道了“”可以用平方差公式因式分解为“”，善于思考的小聪提出了这样一个问题：“”可以因式分解吗？它的结果是什么？以下为小聪的部分推导过程： （1）请帮小聪完善推导的过程； （2）若，，求的值； （3）你能模仿小聪的方法对因式分解吗？ 【答案】（1） ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）再提取公因式即可求解； （2）利用完全平方公式求得，再利用，整体代入求解即可； （3）用代替，利用求解即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解： ． 23. 随着新能源汽车普及，某小区和某商场均配备了充电桩．小区新能源汽车充电桩收费标准按照“电费=充电量×电价”计费，表1为该小区充电桩不同时段的电价标准．商场新能源充电桩的收费标准按照“总费用=电费+服务费”计费，表2为该商场充电桩的收费标准，则“峰时”充10度电的总费用为：（元）． 表1： 项目 某小区新能源汽车分时电价方案 时段划分 峰时 17:00-22:00 平时 8:00-17:00 谷时 22:00-次日8:00 电价（元/度） a b 0.34 表2： 某商场新能源充电桩收费公示牌 收费时段 峰时 16:00-22:00 平时 10:00-16:00 谷时 22:00-次日10:00 电价（元/度） 0.56 c 服务费（元/度） 0.5 0.4 0.3 请根据以上素材解决下列问题： （1）小明爸爸第一天在小区“峰时”充了6度电，“平时”充了9度电，花费了7.8元；第二天在小区“峰时”充了12度电，“平时”充了15度电，花费了14.1元，求a，b的值； （2）小明爸爸发现在某商场充电时，“平时”花18元充电的度数与在“谷时”花14元充电的度数一样，求“谷时”的电价c为多少元/度？ （3）小明爸爸在小区“平时”充了m度电，又在某商场“平时”充了n度电，一共支付了20元．若充电的度数m、n均为正整数，则满足条件的m，n有几种情况？ 【答案】（1）， （2）“谷时”的电价c为元/度； （3）种 【解析】 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）根据题意列出分式方程，据此求解即可； （3）根据题意列出二元一次方程，据此求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得， ∴，； 【小问2详解】 解：商场平时每度总费用：， 商场谷时每度总费用：， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“谷时”的电价c为元/度； 【小问3详解】 解：小区平时电费单价元/度，小区平时总支付：， 商场平时电价，服务费， 商场平时每度总费用元/度，商场平时总支付：， 总费用方程：， 整理得， ∵m、n均为正整数，， ∴， ∴，； ，； ，； ，； ∴满足条件的m，n有种情况． 24. 已知：，点E，M分别是直线，上的点，F为射线上一动点，连接、，过点F作交射线于点G，点H为射线上一点，且平分． （1）如图1，若为钝角， ①求证：平分； ②若，求的度数； （2）如图2，若为锐角，，探究与之间的数量关系． 【答案】（1）①证明：，，，平分，， ，，平分； ②； （2） 【解析】 【分析】（1）①证明，，结合已知的角的平分线，证明即可； ②根据，得到，根据垂直，已知，进行代换计算求解即可； （2）根据已知，证明，利用三角形外角性质，结合已知得到，化简即可． 【小问1详解】 ①略； ②解：， ， ， ，， ， 解得； 【小问2详解】 解：与之间的数量关系为，理由如下：， ， ， ，， ， 解得； ， ， ， 平分， ， ， ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $