精品解析：浙江省杭州市上城区2024-2025学年下学期七年级期末考试数学试卷

2024学年第二学期学业水平测试 七年级数学 考试须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数据收集过程中，适合用普查的是（ ） A. 五一期间来杭游客最喜爱的景点调查 B. 神舟二十号发射前火箭零部件检查 C. 全市学生对学校食堂满意度调查 D. 某农场小麦种子单穗颗粒数调查 3. 下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，下列说法不正确的是　　 A. 线段BD是点B到AD的垂线段 B. 线段AD是点D到BC的垂线段 C. 点C到AB的垂线段是线段AC D. 点B到AC的垂线段是线段AB 5. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 2025杭州钱塘女子半程马拉松在钱塘区6号大街鸣枪开跑．小江、小周参加千米的迷你马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地千米的B地．已知小江跑步的速度是小周的倍．若两人同时从A地出发，结果小江到达B地分钟后小周才到达．设小周跑步的速度为每小时x千米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在周长为60的长方形中放入6个相同的小长方形，若小长方形面积为S，长为x，宽为，则（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为整数，则 10. 已知，，，下列计算结果正确的是（ ） ①；②；③；④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 写一个解为的二元一次方程________． 12. 分解因式：x2y-4y=____． 13. 2025年春节期间，杭州科技领域引发热议，其中人工智能“”火爆全网，在“”中字母“E”的出现频率是________． 14. 如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为________． 15. 在公式中，将这个公式变形为已知，求b的公式：________． 16. 四张正方形纸片如图放置，使得三点共线．设正方形，正方形的面积分别为． （1）若，则阴影部分的面积________． （2）若阴影部分的面积与的面积差为5，则________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 为响应国家人工智能赋能教育政策，增强学生数智素养，某学校开展“学伴”计划．为了解学生对不同智能大模型的使用情况，在七、八、九三个年级随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱使用的一种人工智能软件（每人只选一项）进行了问卷调查，将数据统计后，绘制出两幅不完整的统计图，其中深度求索，通义千问，豆包，讯飞星火，其他．根据图1，图2中的信息，解答下列问题： （1）这次调查中接受问卷调查的同学共有________名； （2）补全条形统计图； （3）根据统计结果，若该校有200名学生选择B类，请估计该校选择C类学生人数． 19. 解方程（组） （1） （2） 20. 先化简再求值：，其中． 21. 已知：如图，在中，，点分别在上，且平分，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，求的度数． 22. 对于关于x的四个多项式（是常数），任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差，若其中一种组合得到结果为常数n，称这种组合为消元组合，常数n是这种组合的消元余量． 例如：对于多项式， 因为 所以这种组合为消元组合，其消元余量为． 因为，结果不是常数； 所以这种组合不是消元组合． （1）若多项式，判断是否为消元组合，若是，请求出消元余量，若不是，请说明理由． （2）若多项式存在消元组合，则p的值为________． （3）若多项式存在消元组合，求a与b的关系式． 23. 某水果店销售苹果单价8元/千克，梨单价6元/千克． （1）小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，求小明购买的苹果和梨的重量； （2）水果店推出一种苹果与梨搭配销售方式，若搭配方式由苹果a千克，梨b千克组成，则苹果单价下降元/千克，梨单价上涨m元/千克． ①请用含的代数式表示搭配销售方式水果平均单价________． ②按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，求搭配销售方式中苹果的重量a的值． 24. 如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． （1）求证：． （2）如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． （3）如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期学业水平测试 七年级数学 考试须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，熟练掌握平移的是解题的关键； 根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有D选项中的图案可以由平移得到； 故选：D． 2. 下列数据收集过程中，适合用普查的是（ ） A. 五一期间来杭游客最喜爱的景点调查 B. 神舟二十号发射前火箭零部件检查 C. 全市学生对学校食堂满意度调查 D. 某农场小麦种子单穗颗粒数调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查普查，抽样调查；根据普查适用于数据要求精确、个体数量较少或结果影响重大的情况，逐一分析各选项是否满足条件即可． 【详解】A．调查五一期间游客最喜爱的景点，游客数量多且流动性大，适合抽样调查，故本选项不符合题意； B．检查火箭零部件，因涉及重大安全，必须逐一检查，故本选项符合题意； C．全市学生满意度调查，总体数量大，通常采用抽样，故本选项不符合题意； D．小麦单穗颗粒数，总体数量极大，适合抽样，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，平方差公式为，其结构特点为两个平方项相减，不要和完全平方公式进行混淆．需逐一分析选项是否符合该形式即可． 【详解】A、，可整理为，不符合平方差公式的结构，故本选项不符合题意； B、，两平方项相加，符号相同，无法用平方差公式分解，故本选项不符合题意； C、，直接符合的形式，可用平方差公式分解为，故本选项符合题意； D、，为完全平方式，需用完全平方公式分解，而非平方差公式，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图所示，下列说法不正确的是　　 A. 线段BD是点B到AD的垂线段 B. 线段AD是点D到BC的垂线段 C. 点C到AB的垂线段是线段AC D. 点B到AC的垂线段是线段AB 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的意义对各个选项一一判断即可得出答案． 【详解】解：A、线段BD是点B到AD的垂线段，故A正确； B、线段AD是点A到BC的垂线段，故B错误； C、点C到AB的垂线段是线段AC，故C正确； D、点B到AC的垂线段是线段AB，故D正确； 故选B． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的意义是解题关键． 5. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查合并同类项、完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的除法，掌握运算法则是解题关键． 根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的除法法则求解即可． 【详解】A、，本选项错误； B、， 当n是偶数时，；当n是奇数时，，本选项错误； C、，本选项错误； D、，本选项正确； 故选：D． 6. 如图，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质判断求解即可． 【详解】解：A、若，不是同位角、内错角等特殊位置关系的角，不能判定，故该选项错误，不符合题意； B、若，则，故该选项正确，符合题意． C、若，则，故该选项错误，不符合题意； D、若，则，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 7. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的基本性质，逐一分析各选项的变形是否正确． 【详解】A选项：不等于． 例如，当时，左边为，右边为，显然不等，故A错误． B选项：与的分子分母分别加1，不符合分式的基本性质． 例如，取，，左边为，右边为，不等，故B错误． C选项：，分子分母同时乘以3，分式的值不变，符合分式的基本性质，故C正确． D选项：变形为 时，分子符号错误． 例如，当时，左边分子为，右边分子为，显然不等，故D错误． 故选：C． 8. 2025杭州钱塘女子半程马拉松在钱塘区6号大街鸣枪开跑．小江、小周参加千米的迷你马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地千米的B地．已知小江跑步的速度是小周的倍．若两人同时从A地出发，结果小江到达B地分钟后小周才到达．设小周跑步的速度为每小时x千米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意找准等量关系是解题的关键． 根据题意，小周和小江跑步的路程相同，均为千米．小江的速度是小周的倍，因此小江到达终点的时间更短．小周比小江晚到达分钟，需将时间单位统一为小时后列分式方程即可． 【详解】解：设小周的速度为每小时千米，则小江的速度为千米/时． 小周跑完全程的时间为小时，小江跑完全程的时间为小时． 根据题意，小周的时间比小江多分钟，即小时， 因此方程可列为：． 故选：B． 9. 如图，在周长为60的长方形中放入6个相同的小长方形，若小长方形面积为S，长为x，宽为，则（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为整数，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确得到，是解题的关键； 围绕长方形与内部小长方形的边长、面积关系，结合所给，及长方形周长公式，对选项逐一分析． 【详解】解：∵长方形周长为60，，， ∴ 整理得 小长方形面积， A．若， 则，， 所以，该选项不符合题意； B．若， 则，， 所以，故该选项不符合题意； C．若，代入： 小长方形面积，故该选项不符合题意； D．由，得， 因为，需是的倍数， 当时，，满足，此时； 当时，，不满足，舍去． 故当、为整数时，，故该选项不符合题意； 故选：D． 10. 已知，，，下列计算结果正确的是（ ） ①；②；③；④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】首先由幂的乘方的逆运算得到，得到，同理得到，然后分别利用分式的通分，因式分解分别变形代数求解判断即可． 【详解】∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故①正确； ∴ ，故②正确； ∴，故③正确； ∴ ∴ ∴当时，； 当时，，故④错误． 综上所述，计算结果正确的是①②③． 故选：A． 【点睛】此题考查了幂的乘方的逆运算，分式的求值，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 写一个解为的二元一次方程________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程解的定义，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．根据二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值进行求解即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的二元一次方程可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 分解因式：x2y-4y=____． 【答案】y(x+2)(x-2) 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解． 13. 2025年春节期间，杭州科技领域引发热议，其中人工智能“”火爆全网，在“”中字母“E”的出现频率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率．用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：在“”中，共有8个字母，其中字母“E”出现4次， ∴字母“E”出现的频率是， 故答案为：． 14. 如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形板的角度数求解即可． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 15. 在公式中，将这个公式变形为已知，求b的公式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是公式变形，直接把看成未知数，解方程即可． 【详解】解：由得：， ∴， ∴． 故答案为： 16. 四张正方形纸片如图放置，使得三点共线．设正方形，正方形的面积分别为． （1）若，则阴影部分的面积________． （2）若阴影部分的面积与的面积差为5，则________． 【答案】 ①. ②. 20 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，数形结合． （1）用正方形和三角形面积之和减去三角形的面积即可得出阴影部分的面积； （2）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则正方形的边长为，得出，，根据阴影部分的面积与的面积差为5，得出，根据，整体代入求出结果即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则正方形的边长为， ∴， ∴ ， ， ∵阴影部分的面积与的面积差为5， ∴， 整理得：， ∴ ． 故答案为：20． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）33 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式乘法混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 为响应国家人工智能赋能教育政策，增强学生数智素养，某学校开展“学伴”计划．为了解学生对不同智能大模型的使用情况，在七、八、九三个年级随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱使用的一种人工智能软件（每人只选一项）进行了问卷调查，将数据统计后，绘制出两幅不完整的统计图，其中深度求索，通义千问，豆包，讯飞星火，其他．根据图1，图2中的信息，解答下列问题： （1）这次调查中接受问卷调查的同学共有________名； （2）补全条形统计图； （3）根据统计结果，若该校有200名学生选择B类，请估计该校选择C类学生人数． 【答案】（1）500 （2）见解析 （3）500名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数； （2）根据（1）中的结果可以求得、的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）利用样本估计总体解答即可． 【小问1详解】 解：这次调查中接受问卷调查的同学共有：（名， 故答案为：500； 【小问2详解】 解：的人数为：（名，则的人数为：（名， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（名， 答：估计该校选择类学生人数为500名． 19. 解方程（组） （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组、解分式方程，熟练掌握对应方程的解法步骤是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可求解； （2）先去分母化为整式方程，然后解方程，最后检验计算结果即可． 【小问1详解】 解：， 将①代入②，得， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 20. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加减乘除混合运算法则和运算顺序是解答的关键．先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，结合因式分解和分式乘法运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 已知：如图，在中，，点分别在上，且平分，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定． （1）根据平行线的性质和判定得出即可； （2）根据三角形的内角和定理求出即可． 【小问1详解】 解：，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 对于关于x的四个多项式（是常数），任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差，若其中一种组合得到结果为常数n，称这种组合为消元组合，常数n是这种组合的消元余量． 例如：对于多项式， 因为 所以这种组合为消元组合，其消元余量为． 因为，结果不是常数； 所以这种组合不是消元组合． （1）若多项式，判断是否为消元组合，若是，请求出消元余量，若不是，请说明理由． （2）若多项式存在消元组合，则p的值为________． （3）若多项式存在消元组合，求a与b的关系式． 【答案】（1）是消元组合，消元余量为． （2）或8或2 （3）或 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，理解题中定义，熟练掌握多项式乘法运算法则是解答的关键． （1）先求得结果，再根据题中定义可作出判断； （2）分三种情况，，求解即可； （3）分三种情况，，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意， ， 结果是常数， ∴这种组合为消元组合，其消元余量为． 【小问2详解】 解：分三种情况： 若组合是消元组合， ∵ ， ∴，解得； 若组合是消元组合， ∵ ， ∴，解得； 若组合是消元组合， ∵ ， ∴，解得； 综上，p的值为或8或2； 【小问3详解】 解：分三种情况： ① ， 若组合是消元组合， 则，解得； 若组合是消元组合， ② ，不可能为常数， ∴组合不是消元组合； ③ ， 若组合是消元组合， 则，解得； 综上，a与b的关系式为或． 23. 某水果店销售苹果单价8元/千克，梨单价6元/千克． （1）小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，求小明购买的苹果和梨的重量； （2）水果店推出一种苹果与梨搭配销售方式，若搭配方式由苹果a千克，梨b千克组成，则苹果单价下降元/千克，梨单价上涨m元/千克． ①请用含的代数式表示搭配销售方式水果平均单价________． ②按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，求搭配销售方式中苹果的重量a的值． 【答案】（1）小明购买苹果4千克，购买梨2千克 （2）①元/千克；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列代数式，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程组． （1）设小明购买苹果x千克，购买梨y千克，根据小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，列出方程组，解方程组即可； （2）①根据苹果和梨原来单价表示出现在单价，再根据苹果a千克，梨b千克表示出平均单价即可； ②根据按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，得出，根据支付的金额始终与小明相同，得出，求出a的值即可． 【小问1详解】 解：设小明购买苹果x千克，购买梨y千克，根据题意得： ， 解得：， 答：小明购买苹果4千克，购买梨2千克； 【小问2详解】 解：①∵苹果单价下降元/千克，梨单价上涨m元/千克， ∴苹果单价元/千克，梨单价元/千克， 搭配销售方式水果平均单价为：元/千克； ②按搭配销售方式购买，需要付款： ， ∵按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同， ∴，即 ∴按搭配销售方式购买，需要付款（元）， ∵支付的金额始终与小明相同， ∴， 解得：． 24. 如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． （1）求证：． （2）如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． （3）如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点F作，根据两直线平行内错角相等进行求解即可； （2）设，而，可得，由（1）得：，由，再建立方程求解即可； （3）设，而，可得，如图，记的交点为，表示，结合平行线的性质可得，求解，证明，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点F作， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设，而， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：设，而， ∴， 如图，记的交点为， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，因式分解的应用，分式的约分，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用角度关系进行运算是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $