专题9 含参二次函数 集中训练（ 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦含参二次函数核心素养，以八大知识点为脉络，通过精选试题系统覆盖性质、图象关系、最值等考法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数的性质|7题|参数影响对称轴、增减性|从顶点式切入，结合点坐标分析性质| |含参一次函数图象交点|1题|分段函数与直线交点讨论|衔接函数图象对称性，提升几何直观| |二次函数图象与系数关系|7题|系数与对称轴、开口方向关联|强化代数推理，建立符号意识| |二次函数图象上点的坐标特征|3题|参数范围对点坐标影响|深化数形结合，培养空间观念| |二次函数的最值|2题|区间最值与参数取值|突出分类讨论，发展运算能力| |抛物线与x轴的交点|4题|交点分布与参数范围|结合判别式，提升应用意识| |二次函数与不等式|1题|图象解不等式|渗透函数与方程思想，强化模型意识| |二次函数综合题|1题|多知识点整合应用|综合考查分析解决问题能力，培养创新意识|

专题9 精挑细选含参二次函数最新最好试题集中训练 知识点一 二次函数的性质 1．（2025•灞桥区模拟）已知抛物线y＝a（x﹣h）2﹣7，点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＜|n﹣h|，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定 【分析】先求得抛物线的对称轴为x＝4，再抛物线开口向上，最后根据|m﹣h|＜|n﹣h|判断C离对称轴比较近，从而判断出y1与y2的大小关系． 【解答】解：∵点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）均在此抛物线上， ∴h4， ∴抛物线的顶点坐标为（4，﹣7）， ∵﹣7小于﹣5， ∴顶点（4，﹣7）只能是最低点， ∴a＞0，开口向上， ∵C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＜|n﹣h|， ∴y1＜y2， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知对称点的坐标得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键． 2．（2024秋•温州期末）已知二次函数y＝﹣3x2+9．当﹣2≤x≤n时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（　　） A． B．0≤n≤2 C． D． 【分析】先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为n＜0，0≤n≤2和n＞2三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【解答】解：由条件可知：抛物线在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当n＜0时，当﹣2≤x≤n时，y随的x增大而增大， 那么x＝﹣2时取得最小值，x＝n时取得最大值， 最小值为﹣3，最大值为﹣3n2+9， 则可列出方程：﹣3n2+9+3＝12， 解得n＝0， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当0≤n≤2时， 此时 x＝0时取得最大值，x＝2时取得最小值， 最大值为9，最小值为﹣3， 此时最大值与最小值的差为12， 符合题意； ③当n＞2时， 此时x＝0时取得最大值，x＝n时取得最小值， 最大值为9，最小值为﹣3n2+9， 已知最大值与最小值的差为12， 则9+3n2﹣9＝12， 解得n1＝﹣2，n2＝2， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去． ∴综上，得到n的取值范围为：0≤n≤2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2024秋•阜宁县期末）在二次函数y＝﹣（x﹣m）2+6中，若x＞2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＝2 B．m＞2 C．m≥2 D．m≤2 【分析】由二次函数y＝﹣（x﹣m）2+6中，若x＞m时，y随x的增大而减小，同时二次函数y＝﹣（x﹣m）2+6当x＞2时，y随x的增大而减小，即可得m≤2． 【解答】解：由二次函数y＝﹣（x﹣m）2+6中，若x＞m时，y随x的增大而减小， 同时二次函数y＝﹣（x﹣m）2+6当x＞2时，y随x的增大而减小， 可得m≤2． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线的增减性，解题关键是数形结合思想的正确应用． 4．（2023秋•襄州区月考）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣3，则h的值为 　0或7　 ． 【分析】由函数解析式可知当x＝h时，函数有最大值为1，且当x＜h时，y随x增大而增大，当x＞h时，y随x增大而减小，根据x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣3，可分情况讨论h的值． 【解答】解：∵函数图象开口方向向下， ∴当x＜h时，y随x增大而增大，当x＞h时，y随x增大而减小， ∴①若h＜2≤x≤5，当x＝2时，y取最大值﹣3， 可得：﹣3＝﹣（2﹣h）2+1， 解得h＝0或4（舍去）， ②若2≤x≤5＜h，当x＝5时，y取最大值﹣3， 可得：﹣3＝﹣（5﹣h）2+1， 解得h＝7或3（舍去）， ∵2≤h≤5时，y的最大值为1， ∴不符合题意， 综上，h的值为0或7， 故答案为：0或7． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 5．（2025秋•西湖区月考）若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为　或1　 ． 【分析】根据题意，表示出抛物线的顶点坐标，再结合该点在直线y＝x+2上进行计算计算． 【解答】解：由题知， 因为抛物线的解析式为y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3＝（x﹣3m）2﹣3m2+5m+3， 所以抛物线的顶点坐标为（3m，﹣3m2+5m+3）． 因为抛物线的顶点在直线y＝x+2上， 所以3m+2＝﹣3m2+5m+3， 解得m或1． 故答案为：或1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，能根据题意得出关于m的方程是解题的关键． 6．（2019•镇江）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是 　　 ． 【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a，把a代入代数式即可求得． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1（a≠0）， ∴顶点为（﹣2，1）， 过点A（m，3），B（n，3）两点， ∴a＞0， ∴对称轴为直线x＝﹣2， ∵线段AB的长不大于4， ∴4a+1≥3， ∴a ∴a2+a+1的最小值为：（）21； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键． 7．（2024秋•同步）小明在研究抛物线y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1（h为常数）时，得到如下结论： ①无论x取何实数，y的值都小于0；②该抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣1上；③若当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则h＜2；④该抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2h，则y1＞y2，其中正确的是 　④　 .（填序号） 【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质判断即可． 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1， ∴当h＜0时，函数的最大值为y＝﹣h+1＞0，故①错误； ∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1的顶点为（h，﹣h+1）， ∴抛物线的顶点始终在直线y＝﹣x+1上，故②错误； ∵抛物线开口向下，当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大， ∴h≥2，故③错误； ∵抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2h， ∴h， ∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， ∴y1＞y2，故④正确， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 知识点二 含参一次函数图象与函数图象交点问题 8．（2025•南充）已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x；当x＞2时，y＝2x﹣4．若直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（　　） A．b＜0 B．b C．b≤0 D．b或b＞0 【分析】先根据函数图象关于y轴对称，求出x＜0时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线y＝x+b的平移，分析直线与函数图象有四个交点时b的取值范围． 【解答】解：∵函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x， ∴当﹣2≤x＜0时，y＝x2+2x；当x＜﹣2时，y＝﹣2x﹣4． 画出函数图象： 当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，这是一个开口向上，顶点为（1，﹣1），与x轴交点为（0，0），（2，0）的抛物线一部分． 当x＞2时，y＝2x﹣4，是一条k为2，过（2，0）的射线． 根据对称性画出x＜0时的函数图象． 联立（﹣2≤x＜0时），得x2+x﹣b＝0， 当Δ＝1+4b＝0，即时，直线与y＝x2+2x（﹣2≤x＜0）相切． 当直线过（0，0）时，b＝0． 结合图象可知，当时，直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键． 知识点三 二次函数图象与系数的关系 9．（2025秋•海安市月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣bx（a，b为常数且a≠0），当y≤﹣3时，x的取值范围为﹣t+5≤x≤t+1，则a的取值范围（　　） A． B． C． D． 【分析】设y＝ax2﹣bx过（x1，﹣3）和（x2，﹣3），且x1≤x2，则方程ax2﹣bx＝﹣3有解，得到Δ＝（﹣b）2﹣4a×3＝b2﹣12a≥0，当a＞0时，当y≤﹣3时，x的取值范围为x1≤x≤x2，得到x1＝﹣t+5，x2＝t+1，对称轴为直线，整理得b＝6a， 代入Δ＝b2﹣12a≥0得解不等式即可；当a＜0时，开口向下，当y≤﹣3时，x的取值范围为x≤x1或x≥x2，与﹣t+5≤x≤t+1矛盾，不合题意． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣bx（a，b为常数且a≠0），当y≤﹣3时，x的取值范围为﹣t+5≤x≤t+1， 设y＝ax2﹣bx过（x1，﹣3）和（x2，﹣3），且x1≤x2， ∴方程ax2﹣bx＝﹣3有解， ∴Δ＝（﹣b）2﹣4a×3＝b2﹣12a≥0， 当a＞0时，开口向上， ∴当y≤﹣3时，x的取值范围为x1≤x≤x2， ∵当y≤﹣3时，x的取值范围为﹣t+5≤x≤t+1， ∴x1＝﹣t+5，x2＝t+1， 即y＝ax2﹣bx过（﹣t+5，﹣3）和（t+1，﹣3）， ∴对称轴为直线， 整理得b＝6a， 把b＝6a代入Δ＝b2﹣12a≥0得36a2﹣12a≥0，解得或a≤0； 此时； 当a＜0时，开口向下， ∴当y≤﹣3时，x的取值范围为x≤x1或x≥x2， ∵当y≤﹣3时，x的取值范围为﹣t+5≤x≤t+1， ∴不合题意， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根的判别式等知识，正确进行计算是解题关键． 10．（2025秋•恩施市期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（﹣1，k），且经过点A（﹣3，0），N（t，n），其部分图象如图所示．则下列说法正确的是（　　） A．n＞k B．k＝4a C．当t＝3时，n＝0 D．﹣t﹣2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n（a≠0）的一个根 【分析】由抛物线开口方向和顶点坐标判断A；由二次函数图象上点的坐标特征可判断B；由函数的对称性判断C；由抛物线的对称性以及函数与方程的关系即可判断D． 【解答】解：∵抛物线开口向下，顶点为P（﹣1，k），且经过点A（﹣3，0），N（t，n）， ∴n＜k，故A错误； ∵抛物线顶点为P（﹣1，k），且经过点A（﹣3，0）， ∴k＝a﹣b+c，1，9a﹣3b+c＝0， ∴b＝2a，c＝﹣3a， ∴k＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，故B错误； ∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， ∴当t＝1时，n＝0，故C错误； ∵抛物线过点N（t，n），对称轴为直线x＝﹣1， ∴点N（t，n）关于对称轴的对称点为（﹣t﹣2，n）， ∴﹣t﹣2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n（a≠0）的一个根，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题． 11．如图，在平面直角坐标系中有A（1，1），B（3，1）两点，如果抛物线y＝ax2（a＞0）与线段AB有公共点，那么a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．0＜a≤1 C．0＜a D．a≤1 【分析】分别把A、B点的坐标代入y＝ax2得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【解答】解：把A（1，1）代入y＝ax2得a＝1； 把B（3，1）代入y＝ax2得a， 所以a的取值范围为a≤1． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 12．（2024秋•南京期末）已知二次函数y1＝a（x﹣m）（x﹣n）与一次函数y2＝kx﹣km．若函数y＝y1+y2的图象与x轴只有一个公共点，则（　　） A．a（m﹣n）＝k B．a（n﹣m）＝k C．k（m﹣n）＝a D．k（n﹣m）＝a 【分析】根据题意，得到二次函数y1和一次函数y2＝kx﹣km与x轴的交点，可得y＝y1+y2＝ax2+（k﹣am﹣an）+amn﹣km，然后结合函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，可得该交点为（m，0），也是函数y＝y1+y2的顶点坐标，再结合对称轴方程求解即可． 【解答】解：∵二次函数y1＝a（x﹣m）（x﹣n）， ∴二次函数与x轴的交点坐标为（m，0），（n，0）， ∵一次函数y2＝kx﹣km＝k（x﹣m），当x＝m时，y2＝0， ∴一次函数y2＝kx﹣km与x轴的交点坐标为（m，0）， ∴y＝y1+y2＝a（x﹣m）（x﹣n）+k（x﹣m）， ＝ax2﹣amx﹣anx+amn+kx﹣km ＝ax2+（k﹣am﹣an）+amn﹣km ∵当x＝m时，y1＝0，y2＝0， ∴当x＝m时，y＝y1+y2＝0， ∵函数y＝y1+y2的图象与x轴只有一个公共点， ∴y＝y1+y2的图象与x轴的交点为（m，0）， ∴m， 化简得：a（n﹣m）＝k． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 13．（2026•雁塔区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（　　） A．2a＝b B．a＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．8a+c＞0 【分析】根据对称轴计算公式可得1，即b＝﹣2a，据此可判断A； 根据题意可得当x＜1时，y随x的增大而减小，据此可判断B； 由题意可知二次函数与x轴的左交点在﹣1和0之间，另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间，则当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，据此可判断CD． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵当x＝0时，y＜0，且当x＝﹣1时，y＞0， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴a＞0，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∴抛物线与x轴的一个交点一定在直线x＝﹣1和y轴之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间， ∴抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相同的实数根， ∴b2﹣4ac＞0，故C选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线开口向上，抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0， ∴4a+2•2a+c＞0，即8a+c＞0，故D选项中原结论正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 14．（2024秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（1+a，y1），B（b，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）上不重合的两点． （1）当a＝1，y1＝y2时，求b的值； （2）若对于2＜b＜3，都有y1＜y2，求a的取值范围． 【分析】（1）利用二次函数的对称性即可求解； （2）根据二次函数的增减性得出关于a的不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）∵点A（1+a，y1），B（b，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）上不重合的两点． ∴当y1＝y2时，则点A（1+a，y1），B（b，y2）关于对称轴对称， ∵抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）对称轴为直线x1， ∴， ∵a＝1， ∴b＝0； （2）∵抛物线对称轴为x＝1， ∴点A（1+a，y1）关于对称轴的对称点为（1﹣a，y1）， ∵对于2＜b＜3，都有y1＜y2， ∴当a＞0时，抛物线开口向上，点A（1+a，y1）在对称轴直线x＝1的右侧，则1+a≤2， 解得a≤1， ∴0＜a≤1， 当a＜0时，抛物线开口向下，点A（1+a，y1）在对称轴直线x＝1的左侧，则1+a≤﹣1， 解得a≤﹣2， 综上，a的取值范围是0＜a≤1或a≤﹣2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 15．（2025秋•海门市期末）已知二次函数y＝2x2+bx﹣1（b为常数）． （1）若抛物线经过点（1，2b），求b的值； （2）求证：无论b取何值，二次函数y＝2x2+bx﹣1图象与x轴必有两个交点； （3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求b的取值范围． 【分析】（1）把点（1，2b）代入抛物线解析式即可得解； （2）计算判别式的值得到Δ＝b2+8，利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论； （3）将平行于x轴的直线y＝m与抛物线联立得出关于x的方程，由其交点的横坐标之和大于1可得出有关b的不等式，即可求解． 【解答】解：（1）把点P（1，2b）代入抛物线y＝2x2+bx﹣1中，得 2+b﹣1＝2b， 解得：b＝1． （2）证明：∵Δ＝b2﹣4×2×（﹣1）＝b2+8， ∵无论b取何值，b2≥0， ∴b2+8＞0， ∴二次函数y＝2x2+b x﹣1图象与x轴必有两个交点． （3）设平行于x轴的直线为y＝m， ∵直线y＝m与该二次函数的图象交于点A，B， ∴， 整理得，2x2+bx﹣1﹣m＝0， 若x1，x2是方程2x2+bx﹣1﹣m＝0的两根，则x1，x2是直线与抛物线交点A，B的横坐标， ∴， 由题意得，，解得，b＜﹣2． ∴b的取值范围是b＜﹣2． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质；要求学生会利用判别式判断抛物线与x轴的交点情况以及灵活运用根与系数的关系解题． 16．（2026•宁波模拟）已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）． （1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为直线x＝1． ①求该二次函数的表达式； ②将二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移7个单位得到新函数y1的图象，当y1＜0时，求x的取值范围． （2）若c＝b2+3，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值． 【分析】（1）①由待定系数法求解即可；②根据抛物线与不等式的关系求解； （2）当c＝b2+3时，y＝x2+bx+b2+3，对称轴为直线，然后分三种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）①∵二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为直线x＝1． 将点（0，4）代入y＝x2+bx+c得：c＝4， ∵二次函数的对称轴为x＝1， ∴， 解得b＝﹣2， 则此二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+4； ②y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3， 则向下平移7个单位得到新函数，即， 令y1＝0，则（x﹣1）2﹣4＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∵抛物线开口向上， ∴当y1＜0时，﹣1＜x＜3； （2）当c＝b2+3时，y＝x2+bx+b2+3，对称轴为直线， 当，即b≥2时， 将x＝b﹣3，y＝21代入解析式得，（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2+3＝21， 解得． ∵b≥2， ∴． 当，即b≤0时， 将x＝b，y＝21代入解析式得，b2+b2+b2+3＝21， 解得． ∵b≤0， ∴． 当0＜b＜2时，将，y＝21代入解析式得， ， 解得． ∵0＜b＜2， ∴此时的b值不合题意，舍去． 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 知识点四 二次函数图象上点的坐标特征 17．（2025•福建）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【解答】解：∵y＝3x2+bx+1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点（0，1）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离， ∴1＜y1＜y2， 故选：A． 【点睛】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 18．（2025•龙岗区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（0，m），B（2，﹣m），C（﹣2，n），D（﹣6，﹣m），其中m，n为常数，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，得出B，D两点关于抛物线的对称轴对称，据此得出a，b之间的关系，再将点A和点C代入二次函数解析式，进一步得出m，n之间的关系，最后用c表示出m和n即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为定B坐标为（2，﹣m），点D坐标为（﹣6，﹣m）， 所以B，D两点关于抛物线的对称轴对称， 所以， 则b＝4a． 将点A坐标代入二次函数解析式得， m＝c． 将点B坐标代入二次函数解析式得， 4a+2b+c＝﹣m， 则4a+8a+c＝﹣c， 所以a． 将点C坐标代入二次函数解析式得， 4a﹣2b+c＝n， 则﹣4a+c＝n， 所以n， 所以． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 19．（2025秋•昌都市期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5（a＜0）的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且m﹣3＜x1＜m﹣1，m+1＜x2＜m+3，下列说法正确的是（　　） A．当m＝1时，y1＞y2 B．当y1＞y2时，m＞5 C．当y1＜y2时，m＞﹣1 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 【分析】得到抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，然后比较点A、点B离直线x＝2的距离的大小，再根据二次函数的性质判断即可． 【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+5（a＜0）， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x2， ∵m﹣3＜x1＜m﹣1，m+1＜x2＜m+3， ∴当m＝1时，﹣2＜x1＜0，2＜x2＜4， ∴点A（x1，y1）到直线x＝2的距离比点B（x2，y2）到直线x＝2的距离要大， ∴y1＜y2．故A错误； 当y1＞y2时，点A（x1，y1）到直线x＝2的距离比点B（x2，y2）到直线x＝2的距离要小， ①m﹣3≥2时，满足题意，此时m≥5； ②时，满足题意，此时m＝3， 故B错误； 当y1＜y2时，点A（x1，y1）到直线x＝2的距离比点B（x2，y2）到直线x＝2的距离要大， ①m﹣3≥2时，不合题意； ②3﹣m≥m+3，满足题意，此时m≤0， 故C错误； 当m＜﹣1时，m+3＜2， ∴A（x1，y1）和B（x2，y2）在对称轴的左侧，y1＜y2，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 知识点五 二次函数的最值 20．（2025•南京模拟）若二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值为6，则y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的最小值为　﹣6　 ． 【分析】根据题意，设二次函数y＝﹣ax2+bx+2的顶点坐标为（m，6），且易知其图象开口向下，通过对称、平移得y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2即可求解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值6， ∴设二次函数y＝﹣ax2+bx+2的顶点坐标为（m，6）， ∴通过关于x轴对称的抛物线为y＝ax2﹣bx﹣2的顶点坐标为（m，﹣6）， ∴再向左平移一个单位得，y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的顶点坐标为（m﹣1，﹣6），且开口向上， ∴此时顶点坐标为（m﹣1，﹣6），最小值为﹣6． 故答案为：﹣6． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 21．（2024秋•南通期末）已知平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1的图象交y轴于点P． （1）若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为　2　 ； （2）在（1）的条件下，若点（m，y1），（m+3，y2）均在该函数的图象上，且y1＜y2，求m的取值范围； （3）当1≤x≤3时，这个二次函数的最小值为3，求t的值． 【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝（x﹣t）2﹣1的图象交y轴于点P，可得P（0，t2﹣1），又将点P向右平移4个单位得到P（4，t2﹣1），故此时P（4，t2﹣1）在二次函数y＝（x﹣t）2﹣1上，从而计算得解； （2）依据题意，由点（m，y），（m+3，y2）在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，从而，，结合y1＜y2，故m2﹣4m+3＜m2+2m，进而计算可以得解； （3）依据题意，分当t＜1、1≤t≤3和t＞3进行分类讨论，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝（x﹣t）2﹣1的图象交y轴于点P， ∴P（0，t2﹣1）． ∴将点P向右平移4个单位得到P（4，t2﹣1）． 又∵此时P（4，t2﹣1）在二次函数y＝（x﹣t）2﹣1上， ∴（4﹣t）2﹣1＝t2﹣1． ∴t＝2． 故答案为：2． （2）∵点（m，y1），（m+3，y2）在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上， ∴，． ∵y1＜y2， ∴m2﹣4m+3＜m2+2m． ∴m． （3）由题意，①当t＜1时，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1在1≤x≤3的范围内y随x的增大而增大， ∴当x＝1时，y的最小值为3． ∴（1﹣t）2﹣1＝3． ∴t＝﹣1或t＝3（舍去）． ②当1≤t≤3时，二次函数的最小值为﹣1，不合题意，舍去． ③当t＞3时，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1在1≤x≤3的范围内y随x的增大而减小， ∴当x＝3时，y的最小值为3． ∴（3﹣t）2﹣1＝3． ∴t＝1（舍去）或t＝5． 综上可知，t的值为﹣1或5． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 知识点六 抛物线与x轴的交点 22．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 【分析】由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可． 【解答】解：由题意可得， ∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴， 解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键． 23．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（　　） A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2 【分析】画出抛物线y＝x2+2x﹣3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案． 【解答】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标， 关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标， 如图： 由图可知，x1＜x3＜x4＜x2， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题． 24．（2023•龙马潭区一模）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，则n的取值范围为（　　） A．﹣11＜n＜﹣2 B．﹣6＜n＜﹣3 C．﹣11＜n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣6 【分析】x＝﹣4比x＝1离对称轴远，故关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，则n在y＝﹣11和顶点之间，进而求解． 【解答】解：由题意得，解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x﹣3， 则抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2）， 函数的大致图象如下： 当x＝﹣4时，y＝﹣x2﹣2x﹣3＝﹣11， ∵x＝﹣4比x＝1离对称轴远，故关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根， 则n在y＝﹣11和顶点之间， 即﹣11＜n≤﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 25．（2024秋•溧阳市期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，交x轴于点A、B两点，若该函数在﹣1≤x≤m的范围内有最小值为﹣4，最大值为12，则m的取值范围是 　3≤m≤7　 ． 【分析】先利用交点式写出抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5，再利用配方法得到y＝x﹣3）2﹣4，则当x＝3时，y有最小值为﹣4，再解方程x2﹣6x+5＝12得x1＝﹣1，x2＝7，即自变量为﹣1或7时，函数值为12，然后利用该函数在﹣1≤x≤m的范围内有最小值为﹣4，最大值为12，从而确定3≤m≤7． 【解答】解：∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0）， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）， 即y＝x2﹣6x+5， ∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴当x＝3时，y有最小值为﹣4， 当y＝12时，x2﹣6x+5＝12， 解得x1＝﹣1，x2＝7， ∵该函数在﹣1≤x≤m的范围内有最小值为﹣4，最大值为12， ∴3≤m≤7． 故答案为：3≤m≤7． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 知识点七 二次函数与不等式（组） 26．（2024秋•建邺区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式bx2+ax+c＜0的解集是 　x＜1　 ． 【分析】先利用对称性得到二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），则设此二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），即y＝ax2+2ax﹣3a，所以二次函数y＝bx2+ax+c可表示为y＝2ax2+ax﹣3a，接着解方程2ax2+ax﹣3a＝0得到二次函数y＝2ax2+ax﹣3a与x轴的交点坐标为（，0），（1，0），然后写出抛物线y＝2ax2+ax﹣3a在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（1，0）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）， 设此二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）， 即y＝ax2+2ax﹣3a， ∵二次函数y＝bx2+ax+c可表示为y＝2ax2+ax﹣3a， 当y＝0时，2ax2+ax﹣3a＝0， 解得x1，x2＝1， ∴二次函数y＝2ax2+ax﹣3a与x轴的交点坐标为（，0），（1，0）， ∵a＞0， ∴抛物线开口向上， ∵当x＜1时，y＝2ax2+ax﹣3a＜0， ∴关于x的不等式bx2+ax+c＜0的解集为x＜1． 故答案为x＜1． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集 知识点八 二次函数综合题 27．（2024秋•房山区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … m 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： （1）二次函数图象的顶点坐标是 　（1，4）　 ，m的值为 　0　 ； （2）求二次函数的表达式； （3）当k≤x≤k+2时，二次函数y＝ax2+bx+c的最小值是1，则k的值为 　﹣1或1　 ． 【分析】（1）由表格数据知，顶点坐标为：（1，4），根据函数的对称性（3，0）和（﹣1，m）关于抛物线的对称轴对称，故m＝0，即可求解； （2）由待定系数法即可求解； （3）当k+2≤1即k≤﹣1时，则当x＝k时，ymin＝﹣k2+2k+3＝1，即可求解；当k≥1或﹣1＜k＜1时，同理可解． 【解答】解：（1）由表格数据知，顶点坐标为：（1，4）， 根据函数的对称性（3，0）和（﹣1，m）关于抛物线的对称轴对称，故m＝0， 故答案为：（1，4），0； （2）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4， 将（0，3）代入上式得：3＝a（0﹣1）2+4，则a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4； （3）抛物线的对称轴为直线x＝1， 当x＝k时，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣k2+2k+3，当x＝k+2时，同理可得：y＝﹣k2﹣2k+3；当x＝1时，y＝4， 当k+2≤1即k≤﹣1时， 则当x＝k时，ymin＝﹣k2+2k+3＝1， 解得：k＝1±（舍去）； 当k≥1时， 同理可得：y＝﹣k2﹣2k+3＝1， 解得：k＝﹣1±（舍去）； 当﹣1＜k＜1时， 当k+2﹣1≥1﹣k即0≤k＜1， 则y＝﹣k2﹣2k+3＝1， 解得：k＝﹣1； 当﹣1＜k＜1时， 同理可得：k＝1（不合题意的值已舍去）， 综上，k＝﹣1或1， 故答案为：﹣1或1． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9 精挑细选含参二次函数最新最好试题集中训练 知识点一 二次函数的性质 1．（2025•灞桥区模拟）已知抛物线y＝a（x﹣h）2﹣7，点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＜|n﹣h|，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定 2．（2024秋•温州期末）已知二次函数y＝﹣3x2+9．当﹣2≤x≤n时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（　　） A． B．0≤n≤2 C． D． 3．（2024秋•阜宁县期末）在二次函数y＝﹣（x﹣m）2+6中，若x＞2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＝2 B．m＞2 C．m≥2 D．m≤2 4．（2023秋•襄州区月考）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣3，则h的值为 　 　 ． 5．（2025秋•西湖区月考）若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为　 　 ． 6．（2019•镇江）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是 　 ． 7．（2024秋•同步）小明在研究抛物线y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1（h为常数）时，得到如下结论： ①无论x取何实数，y的值都小于0；②该抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣1上；③若当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则h＜2；④该抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2h，则y1＞y2，其中正确的是 　 .（填序号） 知识点二 含参一次函数图象与函数图象交点问题 8．（2025•南充）已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x；当x＞2时，y＝2x﹣4．若直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（　　） A．b＜0 B．b C．b≤0 D．b或b＞0 知识点三 二次函数图象与系数的关系 9．（2025秋•海安市月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣bx（a，b为常数且a≠0），当y≤﹣3时，x的取值范围为﹣t+5≤x≤t+1，则a的取值范围（　　） A． B． C． D． 10．（2025秋•恩施市期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（﹣1，k），且经过点A（﹣3，0），N（t，n），其部分图象如图所示．则下列说法正确的是（　　） A． n＞k B．k＝4a B． C．当t＝3时，n＝0 D．﹣t﹣2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n（a≠0）的一个根 11．如图，在平面直角坐标系中有A（1，1），B（3，1）两点，如果抛物线y＝ax2（a＞0）与线段AB有公共点，那么a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．0＜a≤1 C．0＜a D．a≤1 12．（2024秋•南京期末）已知二次函数y1＝a（x﹣m）（x﹣n）与一次函数y2＝kx﹣km．若函数y＝y1+y2的图象与x轴只有一个公共点，则（　　） A．a（m﹣n）＝k B．a（n﹣m）＝k C．k（m﹣n）＝a D．k（n﹣m）＝a 13．（2026•雁塔区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1时，y＞0，下列结论正确的是（　　） A．2a＝b B．a＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．8a+c＞0 14．（2024秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（1+a，y1），B（b，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）上不重合的两点． （1）当a＝1，y1＝y2时，求b的值； （2）若对于2＜b＜3，都有y1＜y2，求a的取值范围． 15．（2025秋•海门市期末）已知二次函数y＝2x2+bx﹣1（b为常数）． （1）若抛物线经过点（1，2b），求b的值； （2）求证：无论b取何值，二次函数y＝2x2+bx﹣1图象与x轴必有两个交点； （3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求b的取值范围． 16．（2026•宁波模拟）已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）． （1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为直线x＝1． ①求该二次函数的表达式； ②将二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移7个单位得到新函数y1的图象，当y1＜0时，求x的取值范围． （2）若c＝b2+3，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值． 知识点四 二次函数图象上点的坐标特征 17．（2025•福建）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 18．（2025•龙岗区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（0，m），B（2，﹣m），C（﹣2，n），D（﹣6，﹣m），其中m，n为常数，那么的值为（　　） A． B． C． D． 19．（2025秋•昌都市期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5（a＜0）的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且m﹣3＜x1＜m﹣1，m+1＜x2＜m+3，下列说法正确的是（　　） A．当m＝1时，y1＞y2 B．当y1＞y2时，m＞5 C．当y1＜y2时，m＞﹣1 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 知识点五 二次函数的最值 20．（2025•南京模拟）若二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值为6，则y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的最小值为　 　 ． 21．（2024秋•南通期末）已知平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1的图象交y轴于点P． （1）若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为　 　 ； （2）在（1）的条件下，若点（m，y1），（m+3，y2）均在该函数的图象上，且y1＜y2，求m的取值范围； （3）当1≤x≤3时，这个二次函数的最小值为3，求t的值． 知识点六 抛物线与x轴的交点 22．（2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 23．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（　　） A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2 24．（2023•龙马潭区一模）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，则n的取值范围为（　　） A．﹣11＜n＜﹣2 B．﹣6＜n＜﹣3 C．﹣11＜n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣6 25．（2024秋•溧阳市期末）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，交x轴于点A、B两点，若该函数在﹣1≤x≤m的范围内有最小值为﹣4，最大值为12，则m的取值范围是 　 　 ． 知识点七 二次函数与不等式（组） 26．（2024秋•建邺区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式bx2+ax+c＜0的解集是 　 　 ． 知识点八 二次函数综合题 27．（2024秋•房山区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … m 3 4 3 0 … 根据以上信息回答下列问题： （1）二次函数图象的顶点坐标是 　 　 ，m的值为 　 ； （2）求二次函数的表达式； （3）当k≤x≤k+2时，二次函数y＝ax2+bx+c的最小值是1，则k的值为 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $