湖北荆州市2025-2026学年高二下学期7月质量检测数学试题

判州市2025-2026学年度高二年级质量检测 数学参考答案及评分细则 1-8:DCCA BBAD 9.BD 10.BCD 11.ACD 12.1013.2/1314.V5 8.解析：由已知，f)最小值为1，其值即为a,中1的个数，则fp),f(q)中必定一个为1， 另一个为2. 先考虑)=1的情形，由已知，除了最高次项系数为1外，其余系数皆为0，故在所给 集合中满足f)=1的只有2,21，…，2共7个数 再求所给范围中fn)=2的情形，由fn)=2知a中由2个为1，其余皆为0，故可设n=2+2 (6②s>t,s,t∈N),其中最大数为n=2+25=96<101,问题转化为在2,21，…，2的7个系数 中选取2个使其为1，其余皆为0，故共有C=21种，所以使得f)=2的n的个数为21. C×C21147 所以所求概率为C0:5050 1解折：对于A即r广2a0对x∈0框成立，即2定3的，易符 g)max=e2,故2a2e2,A选项正确； 对于B,即f(x=lnx-2ax+3至少有左负右正/左正右负的变号零点各一个， f68)=1-2a= 12若a0.则fs>0,￡的单调增，不可能有两个零点。故>0.f的先增 后减，极大值点为×石x0xo时均有r6个一m,故只需r广（分>0，解得0示号 1 故B选项错误； 对于C,由上述分析知，a0时仅有一个极小值点，无极大值点，当0a<2时有一 e2 个极大值点，当a心2时x)单调递减，无极值点，故C选项正确： 对于D,由)存在最大值知，0a气当x→0时f)→0，当X+时，fw+-0,由前述 分析知，fx)从左至右为“减增减”，极大值即为最大值，极大值点为f(x)较大的零点x,所 以有K2a30,结合x*2x号得%进而有惑 1+1,代入 230得1xg+1=0,易得x可1，从而号选项D正确。 3 Xn 14.解析：设圆与AB相切于点T,另两个切点为P,N,由AF1-BF1=AT-BT, 且AF1=AF2+2a,BF1=BF3+2a,所以AF2-BF2=AT-BT,又AF+BF,=AT+BT=AB 两式相加得AF,=AT,即圆与AB相切于F2,进而FP=FN=2a,正方形 PFM边长及圆的半径均为2a,设I在横轴的投影为H,HF,=x, 则由切割线定理得：F,P2=(2c-2x)2c c2-a2 即x= 在WH中，由每段定理背(2o-己。+（产 化简得：e2-23 e-1=0,所以，e=V5 15.解析：(1)a+1+4+2=2a+1+2a,=2(a,+a+1),又由于4+a=2≠0 所以数列{a+a+1}是首项为2公比为2的等比数列.。.5分 (2）)由(1）知，设bn4+a+1=2”.7分 S2027=a+(a2+a3)十(a4+a5)+(a2026+a2027)9分 =a1+b2tb4++b2026=1+(22+24++22026) =1+21-0y01]1+20842081 1-22 3 3 22028-1 所以S2027 3 ..13分 16.解析：方法一：(1)设AB1∩A1B=E,连接DE 由于四边形AA1B1B是平行四边形，故E为A1B的中点，又由 于D是BC的中点， A ∴.DE∥A1C,又因为DEC平面AB1D,A1Ct平面AB1D,所以 A1C∥平面ABD..6分 (2)因为△ABC是正三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC 又因为正三棱柱ABC-ABC1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC, 交线为BC,故AD⊥平面BB1C1C7分 ∠AB1D即为直线AB1与平面BB1C1C所成角..8分 设AB=2,AA1h 在直角AAB,D中，sin LAB,DAD 3 AB h2+44 解得h-2...10分 从而BA1=CA1=2W2,.A1D⊥BC 故二面角A1-BC-A的平面角为∠A1DA..13分 在直角三角形A,DA中，sn∠ADA=4=22y7 AD7 2W7 故二面角41一BC-A的正弦值为7… ...15分 方法二：(1)如图，以D为原点，DC,DA所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系，由 正棱柱性质知，z轴在平面BC1内，且过B1C1的中点…2分 设AB=2,AA1h,则A(0,V3,0),A1(0,3,h),C(1,0,0),B1(-1,0,h),CA=(←1，V3,h), DA=(0,V3,0),DB=(-1,0,h),所以CA=DA+DB1,从而CA,DA,DB1共面， 又A1Ct平面ABD,所以A1C∥平面ABD. ...6分 (也可证明CA1与平面AB1D的法向量垂直) (2)AB1(1,-√3，h),平面BB1C1C的一个法向量i=(0,1,0),设直线AB1与平面BB1C1C所成角 36 为8,5咖8cos西办3中n石分解得3…10分 所以A1(0,V3,2),C(1,0,0),B(-1,0,0),求得平面A1BC一个法向量-(0，-2，V3)…13分 平面ABC的一个法向量=(0,0,1) 设二面角4，-BC-A的平面角为a则1coa时6o3 V方所以ia 22W7 √77 故二面角A1一BC-A的正弦值为 7 15分 17.解析：(1)第3次投篮才首次命中，即为第1,2次投篮均不中，第3次命中， 1122 故所求概率为3×327 3分 (2)B=C(5)*(白)5-*(k=01,23,4,5) B-C3_6-k.2k=123,45) 卫1C1k 令6，k.2≥15k≤4，则B<R<B<B=P>R 则P取得最大值时k=3或k=4… 9分 3)设5次投篮命中次数为x则X清足X-B6,弓， E(Y)=E(10X)+50P(X=5) e-5x号x--骨器 33 E(0=10E(X0+50Px=5)=10x10 +50×32_9700 243243 15分 18.解析：(1)2a=4V2,解得a=2V2 图为点P2D在脑阳C文+上，冬+解翡D 则桶圆C的方程为+ g+2 13分 (2)设A(x,片)，B(x,y)直线PA方程为y-1=k(x-2) 联立得 x2+4y2=8x+4x-2h+D2=8 y=x-2k+1 整理得(4k2+1)x2-8k(2k-1)x+41-2)2-8=0 8k2-8k-2 -4k2-4k+1 则x+xp= 8k(2k-1) 4k2+1 解得飞 4k2+1 代入直线方程解得y= 4k2+1 8k2+8k-2 同理可得x,= 4k2+1 为=二4+4+1 ..8分 4k2+1 则直线1的斜率飞=少-上=8k_1 x2-x116k2 10分 (3)设∠APB=28则tan28= 2tan日 =2√2 1-tan20 则an8=V2 (负值舍) 注意到直线PA的倾斜角与O互余， 所以直线PA的斜率k=√2…13分 由(2)知=14-8V2 。,x2=14+8√2 9 1HA=V1+:-2=V5.4+82 9 |Pg=+k-2=5.8W5-4且m29=2 3 m4Pin20-112 81 17分 19解折：仙了)=+1e1,当a≤0时.f)s0恒成立， 所以，f(x)在(0，十o)单调递减 4分 (2)方法一：由fx≥0得，Q三xex，令8)-血r+1 ,则 xer gG)-1上++.令)=l-+x+少，则)单调递减 x'e" 又同方0=<0的-2方0，f一实数me兮使很网=0 2 即(+1)n2+1）=1.6分 此时，g(x)在(0，m)单调递增，在(m,+o∞单调递减 所以，g(x)z=g(m）)= 血m+,且gm>g0= mem 7分 1 又因为(m+1)nm+1)=1,所以g(m)= m0m+De在（行m单调递减， NEe1.所以ae后2eoD 1 4 14 所以， g(m）<g(月)= 9分 22 所以整数☑最小值为110分 方法二：当≤0时，x)=e-lnx-11)）=e-1<0,故x)20不恒成立…6分 当=1时，fx)=xe-lnx-1≥0等价于xe≥nr+1, 因为x>0,e>l,∴.xe>x.以下证明x2lnr+1(略) 所以当1时，fx)=xx-lnx-1≥0对x>0恒成立，故所求a的最小整数值为1…10分 (3)由（可知a>0,fk)=6+1e-1-0 即x,(x+1)eo-1=0① 令(w=ax(x+1)e-l,x>0(a>0),又t(0)=-1<0,t(白)=(+1)ea-1>0 所以，∈(0，马 12分 又因为f(x)=x,e1-nx-1=0② xe 联立①②消去a得， -=nX1+1,14分 xo(xo+1)e xexI 又因为hx+1≤x,所以x1e西 11 进而e310≤X+1)。（5+1).16分 aa 1 所以，-<n-+n(+1)=n(a+1)-2n17分 aa 荆州市 2025—2026 学年度高二年级质量检测 数 学 试 卷 2026.7 (本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟) 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若随机变量 X ~ N(1，σ²)，P(X ≥ 2) = 0.1，则 P(0 ≤ X ≤ 1) = ( ) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 2. 等差数列{aₙ}的公差为 2，且 a₃ = 3，则{aₙ}的前 3 项和为 ( ) A. -1 B. 0 C. 3 D. 1 3. 已知事件A与B相互独立，P(A) = 0.6, P(B) = 0.3，则 P(A ∪ B) 等于 ( ) A. 0.18 B. 0.9 C. 0.72 D. 0.82 4. 3⁸ 除以 8 的余数为 ( ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 5. 已知各项均为正数的等比数列{aₙ}是递增数列，设其前n项积为Tₙ，若 T₅ = 1，则集合{n ∈ N* | aₙ > 1} 中的最小元素为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知圆C: (x−2)² + (y−1)² = r² (r > 0) 经过第二象限，但不经过第三象限，则直线x − y + 1 = 0被圆 C 截得的线段长的取值范围是 ( ) A. (，] B. (2，2] C. (2，] D. (4，2] 7. 设n ∈ N*，函数 y = xⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾ 在x = 1处的切线与x轴交于点 (xₙ，0)，则 x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ = ( ) A. B. C. D. 8. 任意正整数 n 都可以唯一表示为 n = a₀×2⁰ + a₁×2¹ + a₂×2² + ⋯ + aₘ×2ᵐ，其中 ai ∈ {0,1} (i = 0,1,2,…,m)，且 aₘ ≠ 0，设 f(n) =.在集合 {x ∈ N* | x ≤ 101} 中任取两个不同的元素，分别记为 p，q，则 f(p) + f(q) = 3 的概率为 ( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的有 ( ) A. 成对样本数据的相关性越强，则样本相关系数 r 越大 B. 在回归分析中，决定系数 R² 越大，则模型的拟合效果越好 C. 在残差图中，残差点分布的带状区域越宽，则模型的拟合效果越好 D. 在独立性检验中，χ² 的值越大，则两个变量有关系的可能性越大 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3 台加工的次品率分别为5%， 4%，3%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3 台车床加工的零件数的比为 4:5:6。现任取一个零件，记事件 Aᵢ = “零件为第i台车床加工” (i=1，2，3)，事件B = “零件为次品”，则 ( ) A. P(A₁) = B. P(B) = C. P(A₁B) = D. P(A₁ | B) = 11. 已知函数f(x) = x ln x − ax² + 2ax，a ∈ R，下列说法正确的有 ( ) A. 若f(x)在 (0, 1/e) 上单调递减，则a 的取值范围是 B. 若f(x)既有极小值也有极大值，则a 的取值范围是 C. f(x)至多存在一个极大值点 D. 若f(x)最大值为，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知变量 x， y 满足线性相关关系，经验回归方程为 ŷ = 0.5x + â，x̄ = 20, ȳ = 14，一对观测数据为 (10, m)，其残差为 1，则 m = ________. 13. 某疾病在人群中的患病率为 1%。现用一种检测方法，已知在患病者中，检测结果呈阳性的概率为90%；在未患病者中，检测结果呈阳性的概率为5%。若某人检测结果为阳性，则他患病的概率为________ （用分数作答）. 14. 已知双曲线(a>0，b>0) 的焦点分别为F₁， F₂，过点F₂且斜率为正数的直线与双曲线的右支交于 A，B 两点，若 ∠AF₁B = 90°，且 ΔABF₁ 的内切圆的圆心I的纵坐标为a，则双曲线的离心率为________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知数列{aₙ}满足 a₁ = a₂ = 1，且 aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + 2aₙ. (1) 求证：数列{aₙ+aₙ+1}为等比数列； (2) 设数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，求 S₂₀₂₇. 16.（本小题满分15分） 已知正三棱柱ABC−A₁B₁C₁ 中，D 为BC 的中点. (1) 求证：A₁C // 平面AB₁D； (2) 若直线AB₁与平面BB₁C₁C 所成角的正弦值为， 求二面角A₁−BC−A 的正弦值. 17.（本小题满分15分） 某高中举办“校园体育节”投篮挑战赛，某班选手小明每次投篮命中的概率均为，且每次投篮是否命中相互独立. (1) 第一关“初露锋芒”要求选手连续投篮3次，求小明第3次投篮才首次命中的概率； (2) 第二关“五连击”要求选手连续投篮5次。设小明恰好命中k次 (k=0,1,2,3,4,5) 的概率为Pₖ，求Pₖ 取得最大值时 k 的值； (3) 学校为第二关设置“积分奖励”激励方案：每命中1球得10分，没有命中得0 分；若5次全部命中（称为“满贯”），则在基础得分之上再额外奖励50分.记小明在第二关中获得的总积分为Y，求Y的数学期望 E(Y). 18.（本小题满分17分） 已知点 P(2,1) 在椭圆C: (a>b>0) 上，且点P到两焦点的距离之和为，直线l与椭圆C交于A，B两点，直线 PA，PB的斜率之和为0. (1) 求椭圆C的方程； (2) 求直线l的斜率； (3) 若点A，B在第四象限且 tan∠APB =，求ΔPAB的面积. 19.（本小题满分 17 分） 已知函数f(x) = axeˣ −ln x −1，其中a ∈ R. (1) 当a ≤ 0时，判断函数f(x)的单调性； (2) 若对∀x ∈ (0，+∞)， f(x)≥ 0恒成立，且a ∈ Z，求a的最小值； (3) 若函数f(x)存在极值点和零点，设其极值点x₀，大于x₀的零点为x₁，求证：x₁ − x₀ < ln(a+1) − 2ln a. 第1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $