精品解析：湖北省荆州市2024-2025学年高二下学期7月质量检测（期末）数学试题

荆州市2024－2025学年高二年级质量检测 数学试卷 2025.7.1 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则在的所有子集中，恰有2个元素的集合个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集求出，再根据题意求解即可. 【详解】因为，所以， 在的所有子集中，恰有2个元素的集合为，，. 故选：A. 2. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，若出现的点数为3的倍数得10分，否则得1分，则得分的均值（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可能取值为：，分别求出概率，再根据数学期望公式计算即可. 【详解】根据题意，可能取值为：，骰子的点数为1,2,3,4,5,6, 其中3的倍数为3和6，共2个，所以， 其中不是3的倍数为1,2,4,5，所以， . 故选：B. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 10 C. D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出的系数. 【详解】在的展开式中，项为， 所以的系数为. 故选：A 4. 6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（ ） A. 240 B. 480 C. 960 D. 1920 【答案】B 【解析】 【分析】不相邻问题用“插空法”即可求得结果. 【详解】先对除甲、乙之外的四个人全排种排法，再将甲、乙插空：,根据分步计数原理得：种排法， 故选：B 5. 函数在处取得极大值，则的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意先求出，再对函数进行求导求其单调增区间. 【详解】因为， ， 因为在处取得极大值， 所以，解得， 故，定义域为， ， 当时，，单调递增 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故的单调增区间为. 故选：B. 6. 现有4道四选一的单选题，学生张君对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好随机猜一个答案．张君从这4道题中随机选择2道题作答，则2道题都答对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用全概率公式计算求解即可. 【详解】. 故选：A. 7. 由组成允许有重复数字的自然数，将所得的自然数按照从小到大的顺序排成一列，构成无穷数列，若，则（ ） A. 64 B. 65 C. 72 D. 73 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】将1位数、2位数补成3位数，比如将6看成006，将24看成024， 由乘法原理知，由1个、2个、3个数字组成的数有个， 数列中的四位数按照从小到大的顺序排列：， 所以2026是第项. 故选：C 8. 过点可以作3条直线与函数的图象相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点，利用求导写出切线方程，将代入并将其转化成，设，判断其在上的单调性，得到函数的极值与图象趋势，作出图象，由与有3个交点即可求得参数范围. 【详解】设过点的直线与函数的图象相切于， 对函数求导，，则切线方程为：， 将代入得：，化简：， 设，则， 当或时，，故在和上单调递减； 当时，，故在上单调递增； 故极小值为，极大值为， 因，当时，作出的示意图. 由题意，直线与的图象有3个公共点等价于． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 利用残差图分析模型的刻画效果，若残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明该模型刻画数据的效果较好 B. 可以用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大模型拟合效果越好 C. 已知样本数据的方差为4，则数据的标准差是4 D. 设两个变量的样本相关系数为，则越大其线性相关程度越强 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用线性相关系数、残差图的意义，决定系数、方差的性质等一一检验即可. 【详解】对于A：在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，故A正确； 对于B：决定指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C：样本数据的方差为4，则数据的方差为，故标准差为4，故C正确； 对于D：相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，因此D选项错误； 故选：ABC 10. 甲、乙、丙三名球员进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可推导得到及之间的关系，知A正确,B错误；根据题干得到递推关系可知C正确;再构造等比数列，由此可得，采用作差法可求得D正确. 【详解】对于A：因为从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以， 又接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以，A正确； 对于B：因为第次触球者是甲的概率为， 所以，故当时，， 当时，，可知，故B错误； 对于C：由选项B中等式，可得，C正确； 对于D：因为，即，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以 所以，故； 故； 故选：ACD 11. 设是非零实数，定义“数”，“阶乘”，规定，“组合数”．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用题中定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，，，， ，， ，故A正确； 对于B，由定义知，故，故B错误； 对于C，，， 所以， 因为，即，故C正确； 对于D，由上述，代入D并不成立，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质即可求得结果. 【详解】因为，所以, 故， 故答案为： 13. 今天是星期二，则天后是星期______． 【答案】三 【解析】 【分析】利用二项式定理的整除问题即可求得结果. 【详解】因为, 前10个数除以7都能除尽，最后的那个数1即是余数，故天后是星期三. 故答案为：三 14. 已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用切线不等式和不等式性质可得。结合条件可推得，从而可得点在直线上运动，设与平行的直线与相切于点，利用求导求得切点，结合图形计算出点到直线的距离即可. 【详解】易证，（）(后续提供证明)， 所以，， 由不等式的性质知，当且仅当时取等号， 结合已知可得，此时，即点在直线上运动. 设与平行的直线与相切于点，令得， 故切点为，由图知其到直线的距离，即为的最小值． 下证：，（）. 证明：设，则， 当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故，即得证. 又设，则，当时，， 当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减. 故，即得证. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且． （1）求二项式系数最大的项； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二项展开式通项公式得出，然后由求出，根据二项式系数的性质得出最大项的项数，再求出该项即可； （2）在展开式中令可得，令再结合可得结论. 【小问1详解】 展开式通项为， 令，，所以，， 结合，故． 二项式系数最大的项为第项. 【小问2详解】 在中， 分别令得：， 令，则， 所以. 16. 某商店为调查某种商品销售单价对销售量的影响，统计了5天的销售单价（元／千克）和销售量（千克）之间的一组数据如下表所示： 第天 1 2 3 4 5 销售单价 18 19 20 21 22 销售量 22 18 16 14 10 （1）试根据这5天的销售数据，建立关于的回归直线方程； （2）若该商品进货单价为15元／千克，试确定销售单价，使每天销售该商品的利润最大．（精确到0.1元／千克） 参考公式：经验回归直线方程，其中． 【答案】（1） （2）当销售单价为20.4元／千克时，销售该商品有最大利润 【解析】 【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线方程； （2）由（1）所得回归直线求出利润的表达式，即可利用二次函数的性质求出最大利润时的销售单价. 【小问1详解】 由， 代入公式，． 则，故回归直线方程为． 【小问2详解】 由（1）知，利润， 由二次函数的性质知，当时最大， 所以当销售单价为20.4元／千克时，销售该商品有最大利润． 17. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）填表： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2）， （3）分布列： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论； （2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和； （3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值. 【小问1详解】 根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1 【小问2详解】 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得， 故，． 【小问3详解】 易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为； 且服从超几何分布： 故所求分布列为 0 1 2 3 可得 18. 名选手参加某项“1对1”的趣味游戏比赛，采用如下赛制：第1轮将名选手两两随机配对进行比赛并决出胜负，败者被淘汰，胜者进入第2轮；第2轮将名选手两两随机配对进行比赛并决出胜负，败者被淘汰，胜者进入第3轮；……，以此类推，直到最终决出冠亚军．假设每名选手在任何一场比赛中获胜的概率均为．甲、乙是其中2名选手． （1）当时，求甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率； （2）当时，求甲、乙在第4轮比赛中相遇的概率； （3）求甲、乙2人在比赛中相遇的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)甲、乙在第2轮比赛中相遇就是甲、乙第一轮不在一组且均晋级，第2轮甲乙同一组； (2)据题意甲乙在第4轮相遇，则甲乙需在前3轮不相遇且均晋级，求出概率； (3)根据题得出甲乙在第轮相遇的概率为：，计算即可. 【小问1详解】 当时，共8人，第一轮甲共有7种配对方式， 故甲乙分在一组的概率为， 甲乙在第2轮相遇，则甲、乙第一轮不在一组且均晋级，其概率为， 同理，第2轮甲乙同一组的概率为， 故甲乙在第2轮比赛相遇的概率为． 【小问2详解】 当时共有人，第轮，某特定对象有种配对方式． 甲乙在第4轮相遇，则甲乙需在前3轮不相遇且均晋级． 第1轮甲乙不相遇且均晋级的概率为， 第2轮甲乙不相遇且均晋级的概率为， 第3轮甲乙不相遇且均晋级的概率为， 故甲乙在第4轮比赛中相遇的概率为． 【小问3详解】 共有人，甲、乙在第1轮相遇的概率为， 甲乙在第2轮相遇的概率为， 甲乙在第3轮相遇的概率为， 以此类推，甲乙在第轮相遇的概率为：， 故甲乙相遇的概率为：． 19. 圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度．设函数的定义域为，其导数为的导数为，将称为曲线在处的曲率，曲率越大弯曲程度越大． （1）求在处的曲率； （2）用半圆的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理； （3）设，若存在，使在处的曲率为0，求证：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求得和，结合曲率的定义，即可求解； （2）根据题意，求得和，结合曲率的计算公式，求得，即可得到结论； （3）求得和，根据，得到，，令，得到和，转化为证明（注意），构造函数，利用导数求得函数的单调性，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，可得，则， 所以． 【小问2详解】 解：由半圆，可得，则， 所以曲率， 即曲率是半径的倒数，由反比例函数的性质知，圆的半径越小曲率越大． 【小问3详解】 解：由函数， 可得，则， 由已知得，所以， 所以，， 两式相除，令， 则，，， 所以，同理可得：， 由， 所以即证，只需证（注意）， 设， 可得， 所以在递增，所以，所以成立， 所以成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州市2024－2025学年高二年级质量检测 数学试卷 2025.7.1 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则在的所有子集中，恰有2个元素的集合个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 15 2. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，若出现的点数为3的倍数得10分，否则得1分，则得分的均值（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 10 C. D. 80 4. 6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（ ） A. 240 B. 480 C. 960 D. 1920 5. 函数在处取得极大值，则的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 现有4道四选一的单选题，学生张君对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好随机猜一个答案．张君从这4道题中随机选择2道题作答，则2道题都答对的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 由组成允许有重复数字的自然数，将所得的自然数按照从小到大的顺序排成一列，构成无穷数列，若，则（ ） A. 64 B. 65 C. 72 D. 73 8. 过点可以作3条直线与函数的图象相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 利用残差图分析模型的刻画效果，若残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明该模型刻画数据的效果较好 B. 可以用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大模型拟合效果越好 C. 已知样本数据的方差为4，则数据的标准差是4 D. 设两个变量的样本相关系数为，则越大其线性相关程度越强 10. 甲、乙、丙三名球员进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 设是非零实数，定义“数”，“阶乘”，规定，“组合数”．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则______． 13. 今天是星期二，则天后是星期______． 14. 已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且． （1）求二项式系数最大的项； （2）求的值． 16. 某商店为调查某种商品销售单价对销售量的影响，统计了5天的销售单价（元／千克）和销售量（千克）之间的一组数据如下表所示： 第天 1 2 3 4 5 销售单价 18 19 20 21 22 销售量 22 18 16 14 10 （1）试根据这5天的销售数据，建立关于的回归直线方程； （2）若该商品进货单价为15元／千克，试确定销售单价，使每天销售该商品的利润最大．（精确到0.1元／千克） 参考公式：经验回归直线方程，其中． 17. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 名选手参加某项“1对1”的趣味游戏比赛，采用如下赛制：第1轮将名选手两两随机配对进行比赛并决出胜负，败者被淘汰，胜者进入第2轮；第2轮将名选手两两随机配对进行比赛并决出胜负，败者被淘汰，胜者进入第3轮；……，以此类推，直到最终决出冠亚军．假设每名选手在任何一场比赛中获胜的概率均为．甲、乙是其中2名选手． （1）当时，求甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率； （2）当时，求甲、乙在第4轮比赛中相遇的概率； （3）求甲、乙2人在比赛中相遇的概率． 19. 圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度．设函数的定义域为，其导数为的导数为，将称为曲线在处的曲率，曲率越大弯曲程度越大． （1）求在处的曲率； （2）用半圆的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理； （3）设，若存在，使在处的曲率为0，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $