精品解析：四川广安市2025-2026学年高一下学期期末教学质量评价数学试题

2026年春高一期末教学质量评价 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 某班8名学生的数学测验成绩分别为92，95，96，98，100，105，108，110，则这组数据的第一四分位数是（ ） A. 95 B. 95.5 C. 105 D. 106.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义和计算公式计算即可. 【详解】由于，所以92，95，96，98，100，105，108，110的第一四分位数是 . 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，结合大边对大角知中的最大角为， 令，则，故， 由，则为钝角，即为钝角三角形. 4. 已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设，在方向上的投影向量的坐标为. 5. 已知，，为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】ACD可举出反例；B选项，由线面垂直和线面平行的性质和判定得到B正确. 【详解】A选项，若，，则或，所以A选项错误； B选项，若，则在内存在直线，使得， 又，，故，则，所以B选项正确． C选项，若，，则与可以成任意角，所以C选项错误； D选项，若，，，则或m与n异面，所以D选项错误. 故选：B． 6. 如图，中，点N为边的中点，点M在边上，且，以为一组基底，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 7. 如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用二面角的定义与余弦定理求解. 【详解】取中点，连接，，则，， 二面角的平面角为，， 由， 得，， 在三角形中，由余弦定理知， ，所以. 8. 在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法的平行四边形法则可判断点的轨迹，由余弦定理求解边长，即可由等面积法求解内切圆半径，即可由三角形面积公式求解. 【详解】由， x，， 根据向量加法的平行四边形法则可知：动点的轨迹是以为邻边的平行四边形及其内部，其面积为的面积的2倍. 在中，设内角所对的边分别为， 因为，所以， 因为，所以，所以， 设的内切圆半径为，则，解得， 所以，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义判断选项A；根据复数的乘法运算判断选项B：利用复数的四则运算及模长公式判断选项C和选项D. 【详解】选项A，由，则，所以A错误； 选项B，由，则，所以B正确： 选项C，由，则，所以C正确； 选项D， ，所以D正确. 10. 小张统计了某超市2025年前10个月的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10个月营业额的极差为39万元 B. 从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是九月份 C. 前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D. 这10个月营业额的平均数大于30 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由极差的定义用最大数据减去最小数据判断；B计算相邻月份营业额的变化量分析判断；C分别计算前 5 个月和后 5 个月营业额的方差并比较大小；D求出平均数即可判断. 【详解】A：极差为，正确； B：由图知，二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元， 四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元， 六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元， 八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元， 故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，错误； C：前5个月的平均数为， 方差为， 后5个月的平均数为， 方差为， 因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，正确； D：由10个数据的平均数为，正确. 11. 如图，在正三棱台中，，P，D分别是线段，BC上的点，，是上、下底面的中心，M是底面ABC内一点，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，平面，则点M的轨迹长等于 C. D. 当时，四点、O、D、P构成的图形为直角梯形 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A项，根据线面垂直的性质定理判断即可；对于B项，过作与平行的平面，平面，则故M的轨迹长度为QD，求QD的长即可判断；对于C项，根据锥体和台体的体积计算公式即可判断；对于D项，当P与重合，时，四点、O、D、P构成的图形不是直角梯形，即可判断. 【详解】A项，显然底面ABC，因为平面ABC，所以， 取BC的中点E，连接则， 因为为正三角形，所以，由正棱柱性质可知， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以故A选项正确； B项，，取AB的中点Q，连接DQ，， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 故当M在QD上时，满足平面，故M的轨迹长度为QD，其中， 由余弦定理得，故B选项正确； C项，，， ，， 又棱台的体积为： ， 所以，故C选项正确； D项，四边形为等腰梯形，当P与重合，时，， 但此时与OB平行，故与OD不平行， 此时四点、O、D、P构成的图形不为直角梯形，故D选项错误． 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样．若样本容量为28，则应抽取的女生人数为________． 【答案】12 【解析】 【分析】利用分层抽样即可求解. 【详解】应抽取的女生人数为：. 13. 圆锥底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为________． 【答案】12π 【解析】 【分析】侧面积即为扇形面积，底面周长为扇形弧长，由此可得扇形半径，后可得答案. 【详解】因底面半径为2，则底面周长即扇形弧长为， 又圆心角为，则扇形半径为：. 则扇形面积即圆锥侧面积为：. 14. 在三棱锥中，已知，，平面平面，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，点F在线段上运动（端点除外），当三棱锥的体积为时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为________． 【答案】2π 【解析】 【分析】作出辅助线，得到外接球球心和半径，求出，故为的中点，，当截面与垂直时，截面面积最小，从而求出答案 【详解】取的中点，连接， 因为，， 所以，， 故，所以为三棱锥的外接球球心O， 三棱锥的外接球半径为， 即为平面与平面的夹角， 因为平面平面，所以， 其中，故， 又三棱锥的体积为，所以 故为的中点，， 过点F作球O的截面，当截面与垂直时，截面面积最小， 此时截面半径为，截面面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（i为虚数单位，） （1）若复数z对应的点在第四象限，求m的取值范围； （2）当时，复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复平面的相关定义进行求解； （2）先将代入求出具体的复数值，再将这个复数值代入方程进行求解. 【小问1详解】 由题意得：，即， 故（舍弃）或，综上解得，故m的取值范围是. 【小问2详解】 若，则．因为复数z是关于x的方程的一个根，所以． ， ．. 16. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的众数与平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （3）该校准备对本次竞赛成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则据此频率分布直方图估计受嘉奖的学生分数不低于多少？ 【答案】（1） （2）众数为85分，平均数为76.5分 （3）88分 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1列方程求参数值； （2）由众数的定义及频率直方图求众数、平均数即可； （3）由题意求第83百分位数即可得. 【小问1详解】 由题意得，可得； 【小问2详解】 估计这100名学生这次竞赛成绩的众数为分， 估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为分； 【小问3详解】 ∵，且， ∴第83百分位数在内，记为m，则， ∴估计受嘉奖的学生分数不低于88分. 17. 已知锐角的角所对的边分别是，向量， （1）若，证明：为等腰三角形； （2）若，，的周长为，求角． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，∴， ∴，∴，即， ，∴，∴为等腰三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标运算及三角恒等变换可得； （2）先由向量的数量积可得，再由周长及正弦定理可得，再由正弦定理得，结合三角形为锐角三角形可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，且，， 所以，即， 因为，则， ∵，的周长为 ∴，由正弦定理，，(为的外接圆半径) 则， 故，所以， 由，即，∵为锐角三角形，∴. 验证：由余弦定理， 由，代入计算得， 再结合，解得或，所以三角形的三边为. 所以最大边为，且，因此最大角为锐角，符合锐角三角形. 因此. 18. 如图，已知菱形的边长为，，平面外一点在平面内的射影是与的交点，是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值． 【答案】（1）∵在菱形中，， ∴，且在平面内的射影是点， ∴平面，∵平面， ∴， ∵，平面， ∴平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接由线面垂直的判定定理可得； （2）直接根据等体积法计算点面的距离可得； （3）直接由线面角的定义作出线面角，由线面平行可得到平面的距离为,要使线面角的正弦值最大，需最小，此时，从而可得线面角的正弦的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得：与都是边长为的等边三角形， 所以，，， ∴， 过点作，垂足为，因为，所以为的中点， ∴，∴， 设点到平面的距离为，则由，则 ∴，解得. ∴点到平面的距离为； 【小问3详解】 设直线与平面所成的角为， ∵，平面，平面，∴平面， ∴点到平面的距离，即为点到平面的距离， 过点作平面交平面于点，则. 此时，要使最大，则需使最小，此时， 由题意可知：，∴与全等， ∴，∴， ∴，∴， 即直线与平面所成角的正弦的最大值为. 19. 如图，已知，，，，，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N． （1）求； （2）若点M在线段上（端点除外），且，求的面积； （3）当点M、B位于直线的异侧时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】小问（1）根据题目条件找到与的关系进行求解；小问（2）先求出的长度再运用三角形的面积公式进行求解；小问（3）先设的长度，再建立与的关系，再将与的值代入题目的式子，最后结合基本不等式与三角函数的性质求出结果. 【小问1详解】 由题意得：点A，点B分别为的中点 ，， ， ，即. 【小问2详解】 方法一： 设，则， ， 即， ，解得或（舍去），即 ， 方法二： 由题意得：，且， 在中，， ， 在中，设， 则 或（舍去），即， . 【小问3详解】 当点M，B位于直线的异侧时 设，， ， 当时，，当时，， ， ， 其中，， ， ，当且仅当x＝2时，取等号； ，当时，取等号； 又，故等号能取得 综上可知，的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春高一期末教学质量评价 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 某班8名学生的数学测验成绩分别为92，95，96，98，100，105，108，110，则这组数据的第一四分位数是（ ） A. 95 B. 95.5 C. 105 D. 106.5 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 4. 已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 如图，中，点N为边的中点，点M在边上，且，以为一组基底，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 小张统计了某超市2025年前10个月的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10个月营业额的极差为39万元 B. 从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是九月份 C. 前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D. 这10个月营业额的平均数大于30 11. 如图，在正三棱台中，，P，D分别是线段，BC上的点，，是上、下底面的中心，M是底面ABC内一点，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，平面，则点M的轨迹长等于 C. D. 当时，四点、O、D、P构成的图形为直角梯形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样．若样本容量为28，则应抽取的女生人数为________． 13. 圆锥底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为________． 14. 在三棱锥中，已知，，平面平面，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，点F在线段上运动（端点除外），当三棱锥的体积为时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（i为虚数单位，） （1）若复数z对应的点在第四象限，求m的取值范围； （2）当时，复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的众数与平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （3）该校准备对本次竞赛成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则据此频率分布直方图估计受嘉奖的学生分数不低于多少？ 17. 已知锐角的角所对的边分别是，向量， （1）若，证明：为等腰三角形； （2）若，，的周长为，求角． 18. 如图，已知菱形的边长为，，平面外一点在平面内的射影是与的交点，是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值． 19. 如图，已知，，，，，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N． （1）求； （2）若点M在线段上（端点除外），且，求的面积； （3）当点M、B位于直线的异侧时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $