四川乐山市2025-2026学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

秘密★启用前 2025级高一下学期教学质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】AD 10．【答案】ABD 11．【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】或 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 15．【答案】（1）样本空间．2分 ． 3分 ． 5分 ． 6分 ． 8分 （2）解法1：由（1）得 ． 10分 ． 11分 ． 13分 解法2：∵事件的对立事件是“取出的鞋成双”，即． 10分 ． 11分 ． 12分 ． 13分 16．【答案】（1）． 是中点．． ． 5分 ． ． ． 8分 （2）． 10分 ． 11分 ，． 13分 由向量共线定理得，与共线． 14分 又与公共点为， ．．三点共线． 15分 17．【答案】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1可得： ． 3分 解得． 5分 （2）用电量在以上的频率为：． 7分 样本容量为100，则抽取的户数为． 9分 （3）由（2）可知，中位数在第三组内． 11分 设中位数为，则． 13分 解得． 15分 18．【答案】（1）解法1： ． 2分 由正弦定理得． 4分 又在中． 6分 化简得：． 7分 即，． 8分 解法2： ． 2分 由余弦定理得． 4分 化简得． 5分 又． 7分 ，． 8分 （2）解法1： ， 由余弦定理，得：． 10分 配方得． 12分 由基本不等式得，． 14分 化简得． 15分 又在中， ． 16分 周长最大值为6． 17分 解法2： ， 由正弦定理，得，． 10分 已知，所以周长最大值即为最大值 ． 11分 又 ，． 12分 ． 14分 当时，取得最大值4． 16分 周长最大值为6． 17分 19．【答案】（1）证明：连接交于点，连接、，记： 在正方形中，、分别为、的中点，则 又平面，平面 平面． 2分 而在正方形中，易知点是中点，从而． 又点为棱上靠近点的一个三等分点，从而． ，从而 又平面，平面 平面． 3分 又平面，平面， 平面平面． 4分 平面， 平面． 5分 （2）证明：在正方形中， 平面，平面 平面，平面， 平面 又平面 ，即． 6分 四棱锥在点处的离散曲率为， 即． 7分 又平面，平面 平面 又平面，平面平面 ． ，则点必为中点，即为的中位线 在等腰中，． 8分 又，，则． 9分 又平面，平面， 平面． 10分 平面 平面平面． 11分 （3）由题意，四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和为： ． 四棱锥在点、、、处的离散曲率和为，即： 四棱锥在点处的离散曲率为： ， 即：． 12分 不妨令：，从而在中，易知 过点作，连接，显然平面，在中，为直线与平面所成线面角（记：） 当点与点重叠时，直线与平面所成线面角为． 13分 当点与点不重叠时， 不妨设，从而在中， 由余弦定理得：，则． 14分 由，知，即：，则 在中，．15分 令， 当时，，从而，则． 16分 综上所述：直线与平面所成线面角． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 2025级高一下学期教学质量监测 数学 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则 A． B． C． D． 2．已知点，，，下列向量运算结果为的是 A． B． C． D． 3．某班级进行了一次数学测验，满分为150分．设事件A表示“学生成绩及格（分数分）”，事件B表示“学生成绩优秀（分数分）”．若，，则 A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7 4．已知，，则 A． B． C． D． 5．若，则 A． B． C． D． 6．下列命题中，正确的个数是 ①若直线，那么平行于经过的任何平面 ②若平面内有无穷多条直线都与平面平行，则平面与平面平行 ③若平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 ④已知平面，，，且，，，则 A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知所在平面内一点，满足，，则向量在上的投影向量为 A． B． C． D． 8．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，，，，，且满足，，，记样本的方差为，则的最大值是 A．1.25 B．1.5 C．2 D．2.25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则 A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．当时，的最小值为 D．的图象关于点中心对称 10．设是所在平面内一点，则 A．若，则点是的外心 B．若，则点是的重心 C．若，则点是的内心 D．若，则点在的角平分线上 11．如图，正方体的棱长为2，点、、分别是棱，，的中点，则 A．平面 B．平面 C．过，，三点的平面与正方体相交形成的截面周长为 D．能放入由平面分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数的图象过点，则__________． 13．在正三棱台中，，，，则该棱台的体积为__________． 14．夹江竹纸是国家级非物质文化遗产．用其制成的折扇扇面可以抽象成如图所示的扇形，其中，．点在弧上（含端点），连接交弧于点，记，．当取得最小值时，__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 15．（13分） 柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋，从中随机抽取2只． （1）记事件“取出的鞋都是左脚的”，求； （2）记事件“取出的鞋不成双”，求． 16．（15分） 如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． （1）用基底分别表示向量，，； （2）若，用平面向量证明，，三点共线． 17．（15分） 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图． （1）计算直方图中的值． （2）在被调查的用户中，用电量落在以上的户数为多少？ （3）为引导居民节约用电，电力公司拟采用分层定价策略：设定一个月用电量参考值，使小区约半数用户用电量低于该值、半数高于该值，并据此对低于者执行基础电价、高于者执行阶梯加价．请根据频率分布直方图估计该参考值（精确到0.01）． 18．（17分） 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，求周长最大值． 19．（17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，平面，，平面为多面体的所有以为公共点的面．现给出如图所示的四棱锥，其底面为正方形，且平面，点为棱上的一动点． （1）如图1，若点为棱上靠近点的一个三等分点，、分别为、的中点，证明：平面； （2）如图2，若四棱锥在点处的离散曲率为且，过、、三点的平面交棱于点，证明：平面平面； （3）若四棱锥在点、、、处的离散曲率和为，点为棱上一动点，求直线与平面所成角的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $