精品解析：四川省成都市某中学2024-2025学年高一下学期期末考试模拟数学试题(三）

高一下期期末模拟（三） 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑. 1 已知集合，则集合（   ） A. B. C. D. 2. 下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A. B. C. D. 4. “角为第三象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在定义域上是单调递增函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列命题正确的有（     ） A. 若是第一象限角，则一定是锐角 B. “”是“”的充分不必要条件． C. 若，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 10. 已知，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（　　） A. 命题“”的否定是“” B. 若，则的最小值为3 C. 函数的图象恒过定点 D. 若幂函数是上的奇函数，则或 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.把答案填在答题卡相应横线上. 12. 某同学用二分法求函数的零点近似值时，已将一个零点锁定在区间内，则该同学第二次所取的区间是______． 13 __________． 14. 已知是定义在上的奇函数，且当时，；当时，的解析式为____________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.温馨提示：考生请注意在答题卡规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分. 15. 已知全集，集合，函数的定义域为B． （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 16. 在直角坐标系内，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点. （1）求值：； （2）先化简再求值：. 17. 现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 100 92 84.8 78.32 72.49 67.24 设茶水温度从100°C经过后温度变为°C，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. （1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：，）； 18. 已知函数，其中. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）设，证明：； （3）令，若，使得，求取值范围. 19 已知函数， . （1）证明：为偶函数； （2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围； （3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下期期末模拟（三） 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑. 1. 已知集合，则集合（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 2. 下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和单调性逐项判断即可； 【详解】对于A，正弦函数为奇函数，且在内为增函数，又，故A正确； 对于B，，不是奇函数，故B错误； 对于C，为偶函数，故C错误； 对于D，在区间上是减函数；故D错误； 故选：A. 3. 终边在轴非负半轴上的角的集合是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据终边相同的角的集合，即可解题. 【详解】终边在轴的非负半轴上的角的集合为. 故选：D 4. “角为第三象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数符号以及充分、必要条件等知识可确定正确答案. 【详解】若是第三象限角，则； 若，如，则不是第三象限角. “角为第三象限角”是“”的的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域求法及复合函数的定义域求解即可. 【详解】函数的定义域为，所以，解得， ，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 6. 已知定义在上的函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用分段函数性质和正弦函数计算即可. 【详解】因为，所以利用多次递推， 则， ， ，， 此时符合， 代入得， 故选： 7. 设，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用指数函数､幂函数的单调性，得出结论． 【详解】解：∵， 函数是增函数，，∴，∴，且 又，即， 综上可得，， 故选：C. 8. 若函数在定义域上是单调递增函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数在定义域上是单调递增函数，则有：，解得. 故选D. 点睛：本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段是指数函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于一.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边不大于右边，这样才能满足在身上单调递增. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列命题正确的有（     ） A. 若是第一象限角，则一定是锐角 B. “”是“”的充分不必要条件． C. 若，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据象限角及锐角的概念即可判断出选项A；根据三角函数的求值及充分条件、必要条件、充要条件的概念即可判断出选项B；根据诱导公式即可判断出选项C；根据扇形弧长公式和面积公式即可判断出选项D. 【详解】选项A：第一象限角的范围为，.如是第一象限角，但不是锐角，A错误； 选项B：充分性：若，则，充分性成立； 必要性：若，则或，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件，B正确； 选项C：因为，所以，C正确； 选项D：设扇形的半径为，则，所以， 所以该扇形的面积为，D错误. 故选：BC. 10. 已知，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将式子两边同时平方，可得，即可判断的取值范围，进而确定余弦值和正切值的符号，可判断选项ABC错误，再利用同角三角函数的基本关系可求得选项D中表达式的值，即可做出判断. 【详解】将两边同时平方，可得； 所以，即符号相同， 又因为，所以应在第一象限，所以，故A错误； 当时，，故BC均错误； 由可知， ；即D正确； 故选：ABC 11. 下列说法正确的是（　　） A. 命题“”的否定是“” B. 若，则的最小值为3 C. 函数的图象恒过定点 D. 若幂函数是上的奇函数，则或 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A：根据存在量词命题的否定形式判断即可；选项B：根据基本不等式求解，结合取等条件判断；选项C：根据指数型函数过定点问题求解即可；选项D：根据幂函数的定义结合函数的奇偶性判断即可. 【详解】选项A：命题“”的否定是“”，故A正确； 选项B：若，则， 则，当且仅当即时，等号成立. 因为，所以不能取等号，所以，故B错误； 选项C：令，则，此时，即函数图象恒过定点，故C正确； 选项D：因为函数幂函数，则，解得或. 当时，，该函数是偶函数，不符合题意； 当时，，该函数是奇函数，符合题意， 综上，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.把答案填在答题卡相应横线上. 12. 某同学用二分法求函数的零点近似值时，已将一个零点锁定在区间内，则该同学第二次所取的区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】由二分法计算分析即可判断. 【详解】因为，， 因此第二次所取的区间应为． 故答案为： 13. __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及指数幂的运算法则计算可得. 【详解】 . 故答案为： 14. 已知是定义在上的奇函数，且当时，；当时，的解析式为____________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用奇函数的定义和性质，结合已知区间的解析式，代入化简即可推出未知区间的解析式. 【详解】设，则， 所以， 根据奇函数性质得：， 所以当时，的解析式为：. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.温馨提示：考生请注意在答题卡规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分. 15. 已知全集，集合，函数的定义域为B． （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求集合，再根据集合的交，并，补运算公式，即可求解； （2）分集合和两种情况，比较端点值，列不等式，即可求解. 【小问1详解】 ， 对于函数，有，解得，则. ，则； 【小问2详解】 当时，，得到，符合题意； 当时，或，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 在直角坐标系内，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点. （1）求值：； （2）先化简再求值：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解，代入计算即可； （2）结合弦切互化利用诱导公式化简，代入计算即可. 【小问1详解】 由三角函数的定义可得， 所以； 【小问2详解】 . 17. 现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 100 92 84.8 78.32 72.49 67.24 设茶水温度从100°C经过后温度变为°C，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. （1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：，）； 【答案】（1）选模型②，且 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式； （2）根据（1）求出的模型进行计算. 【小问1详解】 由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则，可得， 所以且； 【小问2详解】 令，则， 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为. 18. 已知函数，其中. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）设，证明：； （3）令，若，使得，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）计算出函数定义域后，验证是否为定值即可得； （2）结合函数定义域，计算大于是否恒成立即可得； （3）由题意可得，结合函数单调性可得，利用换元法与对勾函数性质可得，解出即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，即，即， ， 故关于中心对称； 【小问2详解】 当时，， 则， 故当时，； 【小问3详解】 当时，单调递减，单调递增， 则单调递减，又关于中心对称，故在上单调递减， 则， 当，令，则， 由对勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，，故， 则有恒成立，即，故. 【点睛】本题考查不等式的解法和函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 19. 已知函数， . （1）证明：为偶函数； （2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围； （3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）证明函数奇偶性，用定义证明； （2）根据函数的图象与直线没有公共点，用分离参数法； （3）复合函数问题，用换元法，令，讨论即可. 【详解】解：（1）证明：因为，又 ， 即， 所以为偶函数. （2）原题意等价于方程无解， 即方程无解. 令， 因为， 显然， 于是，即函数的值域是. 因此当时满足题意. 所以a的取值范围是. （3）由题意，. 令，则. 则，. ①当时，， ，解得； ②当时， ，解得（舍去）； ③当时， ，解得（舍去）. 综上，存在，使得最小值为0. 【点睛】方法点睛： （1）对函数奇偶性的证明用定义：或； （2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $