天津市部分区2025-2026学年高一下学期7月期末练习数学试题

2025～2026学年度第二学期期末练习 高一数学参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C B D B C A D 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分． 11．0.3 12． 13． 14．； 15．； 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当时， 所以， 2分 所以． 4分 （Ⅱ） 因为复数是纯虚数，所以， 6分 解得， 7分 所以，． 8分 （Ⅲ）因为复数在复平面内对应的点位于第二象限 所以， 10分 即， 11分 所以，实数m的取值范围是． 12分 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）设“首轮中甲答对”，“首轮中乙答对”，则 由已知可得，，． “两人都答对”，由事件的独立性定义，得． 所以在首轮活动中，甲、乙两人都答对的概率． 4分 （Ⅱ）设“首轮中甲答对”，“首轮中乙答对”，则 “首轮中甲没有答对”，“首轮中乙没有答对”．由于两人答对与否相互独立，所以与相互独立，与，与，与都相互独立． 由已知可得，，，，． 6分 “首轮中恰好有一人答对”，且与互斥， 根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得 7分 所以甲、乙两人中恰好有一人答对的概率为． 8分 （Ⅲ）设，分别表示甲在两轮中答对1个，2个的事件；设，分别表示 乙在两轮中答对1个，2个的事件．根据独立性假定，得 ，， ，． 10分 设“在两轮活动中，甲、乙两人答对3个问题”，则 ． 所以甲、乙两人中恰好有一人答对的概率为． 12分 18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）已知，由正弦定理得，， 3分 又因为，， 所以由余弦定理可得 ， 6分 即， 7分 解得． 8分 （Ⅱ）由于，所以是锐角， 所以， 10分 由（Ⅰ）可得， 则． 12分 19.（本小题满分12分） （I）由频率分布直方图得 年龄低于30岁的频率为， 1分 年龄低于35岁的频率为， 2分 假设中位数为t，则t在中， ，解得， 即中位数为． 3分 （Ⅱ）年龄在的频率为， 4分 所以年龄在人数为人， 5分 （Ⅲ）由题意可知，年龄在人数为人； 年龄在人数为人， 6分 分层随机抽样的抽样比为， 所以，年龄在内抽人，记为a，b，c，d． 7分 年龄在内抽人，记为e，f． 8分 从这6人中选2人的样本空间为 共包含30个样本点． 10分 设事件为“至少有1名年龄在”， 包含18个样本点， 11分 所以，， 即2名环保知识宣讲志愿者中至少有1名年龄在内的概率为 12分 20．（本小题满分12分） （I）连接，在斜三棱柱中，与交于点， 所以O为的中点，又D是的中点，所以， 1分 又平面，平面，所以平面； 3分 （Ⅱ）∵四边形是矩形，． 又，， 4分 平面， 5分 又平面 ， 6分 ∴平面平面， 7分 （Ⅲ）连结， ，， 为正三角形， ． 8分 由（Ⅱ）可知平面， 平面平面， ， 平面， 9分 是在平面上的投影， 是直线与平面所成的角 10分 在正中，，所以， 在中，， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 12分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末练习 高一数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共10小题，每小题4分，共40分． 参考公式： ·如果事件，互斥，那么． ·如果事件，相互独立，那么． ·柱体的体积公式；锥体的体积公式． ·一组数据，，，的平均数为，它的方差为． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．是虚数单位，复数 A． B． C． D． 2．已知，，且，则实数 A． B． C． D． 3．一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有2个白球，3个黑球，从袋中任取2个球，则与事件“所取的2个球都是白球”互斥而不对立的事件是 A．所取的2个球颜色相同 B．所取的2个球颜色不相同 C．所取的2个球至多有一个是红球 D．所取的2个球至少有一个是红球 4．已知一组数据为6，7，11，11，13，15，19，23，则这组数据的众数与第60百分位数之和为 A．20 B．22 C．24 D．25 5．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则 A． B． C． D． 6．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则 A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 7．如图，以直角梯形的下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体．若，，，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 8．已知，，且，则向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 9．柜子里有双不同的鞋，分别用，，，，，表示只鞋．如果从中有放回地随机取只，则取出的鞋不成双的概率为 A． B． C． D． 10．如图，在正方体中，为棱的中点，为线段上的动点，则下列说法中正确的个数是 ①； ②平面截正方体所得的截面图形是菱形； ③平面； ④三棱锥的体积为定值． A．个 B．个 C．个 D．个 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共10小题，共80分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分． 11．已知，，且，互斥，则________． 12．一组数据为27，28，30，32，33，则这组数据的方差为________． 13．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线，则实数________． 14．如图，在三棱锥中，，，，是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为________；若点在底面上的投影是，则点到平面的距离为________． 15．在平行四边形中，，，，，，记，，用，表示________；若是线段上的一个动点，则的最小值为________． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知是虚数单位，复数，． （Ⅰ）当时，求； （Ⅱ）若是纯虚数，求的值； （Ⅲ）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 17．（本小题满分12分） 为庆祝中国共产党成立105周年，某中学举办“薪火相传·筑梦前行”有奖问答活动，每轮活动由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮回答正确的概率是，乙每轮回答正确的概率是．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （Ⅰ）求在首轮活动中，甲、乙两人都答对的概率； （Ⅱ）求在首轮活动中，甲、乙两人中恰有一人答对的概率； （Ⅲ）求在两轮活动中，甲、乙两人答对3个问题的概率． 18．（本小题满分12分） 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积． 19．（本小题满分12分） “绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心．为增强居民的环境保护意识，特向全区征召100名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，并将这100人按年龄分成5组：，，，，，整理得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）估计这组数据的中位数； （Ⅱ）求这100名志愿者中，年龄在内的人数； （Ⅲ）若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加某社区宣传活动，再从参加该活动且年龄在内的志愿者中依次选取2名做环保知识宣讲，写出此试验的样本空间，并求这2名志愿者中至少有1名年龄在内的概率． 20．（本小题满分12分） 如图，在斜三棱柱中，与交于点，四边形是矩形，，是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $