精品解析：天津市西青区2025-2026学年第二学期学业质量期末监测高一数学试卷

2025~2026学年度第二学期_________学校学业质量期末监测 高一数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答题时间100分钟，满分120分． 一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 天津轨道交通地铁号线从南站到天塔站共个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：、、、、、、、、、，则这组数据的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 3. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题正确的为（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 4. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中是等腰直角三角形，且，斜边，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 关于平面向量，，，有下列五种说法： ①；②若，，则；③若，，则；④对任意向量，，，有；⑤若，，则． 其中结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 在直棱柱中，底面为正方形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件 “乙端午节吃咸粽子”，且，，事件A与事件B相互独立，则（ ） A. B. C. D. 8. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，下列各单峰的频率分布直方图中，哪个图的平均数明显小于中位数（ ） A. B. C. D. 9. 若非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 10. 在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下五个结论中：①的最小值为；②当时，；③当时，；④；⑤在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．以上结论中，正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第II卷 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案写在答题纸相应的横线上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分． 11. 已知的三个内角，，的对边分别是，，．且，，．那么角_________． 12. 已知一组数据的方差为，则数据、、……、的方差为______. 13. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______. 14. 甲，乙两人独立地破译一份密码，已知甲，乙两人单独破解密码的概率分别为，．则两人都成功破译的概率为_________；密码被成功破译的概率为_________． 15. 甲，乙两班参加了同一学科考试，甲班50人，平均成绩为72分，方差为81分；乙班40人，平均成绩为90分，方差为54分．那么甲，乙两班全部90名学生的成绩的方差是_________分． 16. 如下图，在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示_________；若，则余弦值的最小值为_________． 三．解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程． 17. 已知的内角，，的对边分别为，，．且，，． （1）求角的大小； （2）求边长的长． 18. 已知向量，． （1）求及； （2）若，求的值； （3）求与的夹角的余弦值． 19. DeepSeek可以被看作是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用DeepSeek的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计该校学生当日使用DeepSeek的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）为便于统计，学校规定：若使用时间不小于2小时的用户称为“DeepSeek资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”．为了进一步了解DeepSeek对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“DeepSeek资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查． （i）求应从“青铜用户”和“铂金用户”中分别抽取的人数； （ii）从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）； （iii）从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率． 20. 已知如图，在三棱锥中，，，点，，分别为棱，，的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成的角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期_________学校学业质量期末监测 高一数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答题时间100分钟，满分120分． 一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用虚部的概念得答案． 【详解】， 复数为虚数单位）的虚部是． 故选：． 2. 天津轨道交通地铁号线从南站到天塔站共个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：、、、、、、、、、，则这组数据的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，故这组数据的第百分位数为. 3. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题正确的为（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，那么 【答案】D 【解析】 【详解】对于A选项，如果，，那么与平行、相交或异面，A错； 对于B选项，如果，，则与平行或相交，B错； 对于C选项，如果，，则与平行或相交，C错； 对于D选项，如果，，由线面垂直的性质可知，D对. 4. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中是等腰直角三角形，且，斜边，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由斜二测画法可知，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 因为是等腰直角三角形，且为斜边，所以， 图中在轴上，所以原图中， 图中在轴上，所以原图中， 原图中，所以的面积为. 5. 关于平面向量，，，有下列五种说法： ①；②若，，则；③若，，则；④对任意向量，，，有；⑤若，，则． 其中结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】实数乘向量结果仍是向量，（零向量），不是实数 0，①错误； 若，，则或 ，②错误； 移项得，仅说明，不能推出，③错误； 与共线，与共线，二者方向不一定相同，④错误； 若，则，，无法推出，⑤错误. 6. 在直棱柱中，底面为正方形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据几何关系可知异面直线与所成角为或其补角，然后利用余弦定理求解出结果. 【详解】连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以异面直线与所成角为或其补角， 又因为且四棱柱为底面是正方形的直四棱柱， 所以， 所以. 7. 端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件 “乙端午节吃咸粽子”，且，，事件A与事件B相互独立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及概率的基本性质计算即得. 【详解】由事件A与事件B相互独立，得， 所以. 故选：B 8. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，下列各单峰的频率分布直方图中，哪个图的平均数明显小于中位数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的形态判断数据的偏态，利用偏态分布中平均数与中位数的大小关系进行判定. 【详解】在频率分布直方图中，数据的分布形态决定了平均数与中位数的相对大小： 对于A、B：直方图大致对称，数据分布均匀，平均数与中位数大致相等，A、B错误； 对于C：若直方图呈现“右偏”分布，即长尾在右侧（大数值方向），极端大值会拉高平均数， 使得平均数大于中位数，C错误； 对于D：若直方图呈现“左偏”分布，即长尾在左侧（小数值方向），极端小值会拉低平均数， 使得平均数小于中位数，D正确. 9. 若非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件分别得到及，代入投影向量计算公式计算可得. 【详解】、分别是、方向的单位向量，它们的和沿角的角平分线方向， 由可得角的平分线与边垂直，所以， 又，可得，又，解得， 向量在向量上的投影向量为. 10. 在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下五个结论中：①的最小值为；②当时，；③当时，；④；⑤在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．以上结论中，正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】做出受力分析图，根据题意对结论逐一判断即可. 【详解】画出受力分析图，如图所示： 平衡状态时，受重力 和两臂拉力 、 作用， 根据平衡条件可得 ，即 . 因为 ，设 ， 可得 ，即 ，其中 . 对于①，当 时， 取得最大值，此时 取得最小值 ，故①正确； 对于②，当 时，， 则 ，故②正确； 对于③，当 时，， 则 ，故③正确； 对于④，由平衡条件可知 ，结论中缺少系数 ，故④错误； 对于⑤，由 可知，当 增大时，其中， 增大， 减小， 分母减小，则 增大，即两臂夹角越大越费力，故⑤错误. 综上所述，正确的结论有①②③，共 个. 第II卷 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案写在答题纸相应的横线上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分． 11. 已知的三个内角，，的对边分别是，，．且，，．那么角_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得，因为, 所以 12. 已知一组数据的方差为，则数据、、……、的方差为______. 【答案】 【解析】 【详解】设原数据、、、的方差为， 根据方差的性质新数据的方差为. 13. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______. 【答案】. 【解析】 【分析】求出球的半径即可. 【详解】解：因为正方体的顶点都在同一球面上， 所以球的直径为正方体的对角线， 所以， 所以， 故球的表面积：. 故答案为：. 14. 甲，乙两人独立地破译一份密码，已知甲，乙两人单独破解密码的概率分别为，．则两人都成功破译的概率为_________；密码被成功破译的概率为_________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【详解】设事件表示甲成功破译，事件表示乙成功破译，则，，且事件，相互独立. 两人都成功破译的概率为. 密码被成功破译即至少一人成功，其概率为 . 15. 甲，乙两班参加了同一学科考试，甲班50人，平均成绩为72分，方差为81分；乙班40人，平均成绩为90分，方差为54分．那么甲，乙两班全部90名学生的成绩的方差是_________分． 【答案】149 【解析】 【分析】先计算两班全体学生的总平均成绩，再利用方差的展开式推导合并方差的计算公式，代入相关数据求解即可. 【详解】设甲班50名学生的成绩为，平均成绩，方差； 乙班40名学生的成绩为，平均成绩，方差. 则全体90名学生的平均成绩为. 由方差的定义，得； 同理得. 所以全体学生的方差      . 16. 如下图，在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示_________；若，则余弦值的最小值为_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【详解】； ， 因为，所以， 所以，当且仅当时取等号. 三．解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程． 17. 已知的内角，，的对边分别为，，．且，，． （1）求角的大小； （2）求边长的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，结合角为钝角，即可求解； （2）由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由 ，得 . 由正弦定理得： ， 解得 . 由  知  为钝角，故  为锐角， 所以 . 【小问2详解】 由余弦定理， 代入得  ， 即  ， 解得  或 （舍去），故 . 18. 已知向量，． （1）求及； （2）若，求的值； （3）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标公式及模的坐标公式，结合平面向量线性运算的坐标表示进行求解即可； （2）由平面向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示列出关于的方程，求解可得； （3）根据平面向量夹角的坐标公式进行求解即可. 【小问1详解】 由向量，，得； ， . 【小问2详解】 ， ， 若，则， 解得. 【小问3详解】 由，， 得， ， 所以. 19. DeepSeek可以被看作是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用DeepSeek的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计该校学生当日使用DeepSeek的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）为便于统计，学校规定：若使用时间不小于2小时的用户称为“DeepSeek资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”．为了进一步了解DeepSeek对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“DeepSeek资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查． （i）求应从“青铜用户”和“铂金用户”中分别抽取的人数； （ii）从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）； （iii）从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率． 【答案】（1），平均值为； （2）（i）应从“青铜用户”中抽取人，从“铂金用户”中抽取人； （ii）（答案不唯一，符号表示恰当即可）； （iii）. 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求参数值，根据频率直方图中平均数的求法求平均数即可. （2）（i）应用分层抽样性质确定不同用户的人数； （ii）由列举法列出样本空间. （iii）根据古典概型概率公式求解. 【小问1详解】 由. 由频率分布直方图估计该校学生当日使用DeepSeek的时间的平均值为： . 【小问2详解】 （i）从“青铜用户”中抽取的人数为人， 从“铂金用户”中抽取的人数为人. （ii）设“青铜用户”的4个人记为，“铂金用户”的2个人记为， 从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，这个试验的样本空间为： .共包含15个样本点. （iii）因为样本空间中共包含15个样本点，且每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 设“抽出的2名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则包含8个样本点， 所以这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率为. 20. 已知如图，在三棱锥中，，，点，，分别为棱，，的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）因为，分别为棱，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）分别为中点，为的中位线 ，且， ， 又F为中点，为的中位线， 又，， 又平面，平面， 又平面，所以平面平面 （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证得结论. （3）由面面垂直的判定定理及性质定理可知平面，则即为所求角，在直角中可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由（2）知平面，又平面，所以平面平面 因为为中点， 又平面平面，所以平面 为直线与平面所成角， 在直角中，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $