精品解析：四川省南充市2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2026年春季学期初中学业质量监测 八年级数学试题 （满分150分，时间120分钟） 注意事项： （1）答题前将姓名、考号等填在答题卡指定位置． （2）所有解答内容均需涂、写在答题卡上． （3）选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． （4）填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错 或多涂记0分． 1. 代数式有意义，的值可为（ ） A. B. C. 2 D. 一切实数 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两人各投掷次实心球，落点位置如图，关于两人成绩说法正确的是（ ） A. B. 甲成绩第二四分位数小于8 C. D. 乙成绩第二四分位数大于8 4. 如图，在正方形右侧作等边三角形，连接，，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一支签字笔的单价为2.5元，某同学拿了20元钱去购买了（）支该型号的签字笔．则剩余的钱与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的平分线与的延长线相交于点，交于点．若，，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5 7. 今年端午节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为（分钟），所走的路程为（米），与之间的函数关系如图．下列说法正确的是（ ） A. 小明中途休息用了60分钟 B. 第90分钟时，小明所走路程为2000米 C. 小明休息后爬山的平均速度为每分钟30米 D. 小明在上述过程中所走的路程为3000米 8. 已知，求的值为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，，沿的中位线剪开，拼成一个平行四边形，平行四边形的周长为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 已知一次函数与（）的图象交于点，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应题号的横线上． 11. 已知是整数，则自然数______． 12. 甲、乙两地5月份每天最高气温的箱线图如图所示，则5月气温波动较大的是______．（填“甲地”或“乙地”） 13. 若点和点在同一正比例函数图象上，则______． 14. 一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口出发，如图所示，轮船从港口沿北偏东的方向行30海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距40海里的点处，若、两地相距50海里，则渔船从港口出发的方向为______． 15. 已知直角边长分别为和，为斜边长，我们把关于的形如的函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为6，则的值为______． 16. 如图，直线平行于，点是上一个动点，与距离等于线段长，，那么最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 解答题应写出必要的文字说明或推演步骤． 17. 计算：． 18. 如图，的对角线相交于点，，，，求的长． 19. 为引导学生了解家乡历史文化、风土人情，南充某中学举办了一场“丝绸文化主题”知识竞赛．竞赛结束后，从八年级学生中随机抽取了20名学生的成绩（满分100分）进行了整理，部分信息如下： 组别 成绩/分 分数段人数 组内平均数 A 5 90 B 8 79 C 4 70 D 3 62 其中B组的成绩依次为：75，76，78，78，78，80，83，84． （1）求被抽取到的20名学生的平均成绩． （2）求20名学生成绩的中位数． （3）若该校八年级一共有600名学生，估计成绩不低于75分的学生有多少人？ 20. 如图，四边形是边长为的正方形，是边上一点，连接，，于． （1）用含的式子表示的面积． （2）若，，求的长． 21. 定义：关于的函数与为“孪生函数”（）． （1）如果关于的函数与为“孪生函数”，求，的值． （2）如图，已知过点的“孪生函数”图象与轴围成的的面积是25，求满足条件的孪生函数． 22. 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接，．已知，，，设，． （1）写出与的函数关系式． （2）求的最小值． 23. 根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材1 南充某班级组织“畅游嘉陵江，探寻家乡美”春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，结合本地餐饮特色，现有A、B两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 A：川北特色面食 28元 A套餐满20份及以上打七五折；B套餐无折扣 B：南充特色盖浇饭 18元 素材2 该班级共53位同学，每人都从A、B两种套餐中选择一种，一人订餐一份．经统计，有23人已确定A或B套餐，其余30人两种套餐均可．若已经确定套餐的23人先下单，无优惠，费用合计为524元． （1）任务1：已经确定套餐的23人中，分别有多少人选择A套餐和B套餐？ （2）任务2：设未确定套餐的30名同学中有人选择了A套餐，求该班订餐总费用元与之间的函数关系式，并写出的取值范围． （3）任务3：用于研学的餐费仅有1050元，如何分配30名同学的套餐，才能使得该班更多学生品尝到川北特色面食？ 24. 如图，纸片是矩形，，，是边上一点，连接，将沿折叠，使落在矩形内部，记为点，并展开铺平． （1）如图，，为边的三等分点（点在的左侧），连接并延长，交于．求证：； （2）如图，过点作于，交于点，连接，，． 求证：四边形是菱形； 若，求出的长． 25. 已知一次函数（）的图象经过点． （1）若函数图象经过原点，求，的值． （2）点，在函数图象上，且，求的取值范围． （3）若点是该函数图象上的点，当时，总有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期初中学业质量监测 八年级数学试题 （满分150分，时间120分钟） 注意事项： （1）答题前将姓名、考号等填在答题卡指定位置． （2）所有解答内容均需涂、写在答题卡上． （3）选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． （4）填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错 或多涂记0分． 1. 代数式有意义，的值可为（ ） A. B. C. 2 D. 一切实数 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且， ∴四个选项中，只有B选项符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对选项A ：，故A错误； 对选项B ：，故B错误； 对选项C：和不是同类二次根式，不能合并，，故C错误； 对选项D ：，故D正确. 3. 甲、乙两人各投掷次实心球，落点位置如图，关于两人成绩说法正确的是（ ） A. B. 甲成绩第二四分位数小于8 C. D. 乙成绩第二四分位数大于8 【答案】C 【解析】 【分析】通过观察散点图(落点位置图)来直观判断数据的分布特征，根据方差来衡量数据波动大小、离散程度，比较中位数的大小，进行判断即可． 【详解】解：∵一组数据中，方差越小，数据越稳定、波动越小，方差越大，数据越分散、波动越大， ∴观察图片可知，甲的成绩比乙的成绩更加分散．  甲有少量点落在8内侧（成绩于），但同时有2个点非常靠近（高分）； 乙所有点全部集中在8与中间，无靠近10的高分点，也无低于8的低分点； ​ 甲的高分极值拉高整体平均值，乙数据集中在中段，无高分拉高均值，因此甲的平均成绩不小于乙． ．故A不符合题意，C符合题意． 第二四分位数即中位数，是将一组数据从小到大排列后，处于中间位置的数．对于个数据，中位数是第5个和第6个数据的平均数． 观察甲的落点图，大部分点都在8的上方，说明甲的成绩中，大于8的数占多数．即使有少数点小于8，排序后，中间位置的数(第5、6个)大概率也是大于8的．因此，甲成绩的第二四分位数应该大于8．故选项B不符合题意． 观察乙的落点图，大部分点集中在8附近，且分布比较均匀，有的略小于8，有的略大于8．因此，乙成绩的第二四分位数应该接近8，不太可能明显大于8．故选项D不符合题意． 4. 如图，在正方形右侧作等边三角形，连接，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为顶角度数是150度的等腰三角形，进而求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵在正方形右侧作等边三角形， ∴， ∴，， ∴. 5. 一支签字笔的单价为2.5元，某同学拿了20元钱去购买了（）支该型号的签字笔．则剩余的钱与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“剩余的钱总钱数购买签字笔花去的钱”推导关系式即可. 【详解】解：∵购买支签字笔，单价为元， ∴花去的总费用为元， 又∵带的总钱数为元，剩余钱数为， ∴. 6. 如图，在中，的平分线与的延长线相交于点，交于点．若，，的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，结合角平分线的定义得到，可推出，从而求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，． ． 的平分线与的延长线相交于点， ． ． ． ． 7. 今年端午节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为（分钟），所走的路程为（米），与之间的函数关系如图．下列说法正确的是（ ） A. 小明中途休息用了60分钟 B. 第90分钟时，小明所走路程为2000米 C. 小明休息后爬山的平均速度为每分钟30米 D. 小明在上述过程中所走的路程为3000米 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象获得信息，再逐一分析选项即可． 【详解】解：根据图象可知，到这一段时间，不变， 故小明中途休息用了分钟，A选项错误； 休息后走的路程为米，时间为分钟， 则休息后爬山的平均速度为米每分钟，C选项错误； 从第60分钟到第90分钟，休息后走的路程为米， 小明所走路程为，故B选项错误； 根据图象可知，终点纵坐标为3000，代表全程总路程3000米，故D选项正确． 8. 已知，求的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 两边平方得； 展开得，整理得， ∴ . 9. 在中，，，，沿的中位线剪开，拼成一个平行四边形，平行四边形的周长为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先由勾股定理以及解的直角三角形，得到相对应的边长，再根据中位线的性质求出与的长度，找出剪开后相等的线段，把相等的线段拼在一起，因此有两种拼接方法，分别画出拼接后的图形，然后再求出周长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 由勾股定理可得， ∵为的中位线， ∴，，， 当点与点重合，的斜边与重合时，如图， 则， ∴四边形为矩形， 则，， ∴所拼成的平行四边形的周长为； 当点与点重合，的直角边与重合时，如图， 则，， ∴所拼成的平行四边形的周长为； 综上，周长为或． 10. 已知一次函数与（）的图象交于点，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先联立两个一次函数方程，得到交点A坐标的参数表达式，消去参数b得到交点A所在的直线，根据点A到已知直线距离总为定值，可得交点所在直线与已知直线平行，利用两平行直线一次项系数相等求解a即可. 【详解】解：∵交点A是与的交点，联立两个方程得， 整理得，解得， 将代入，得， 由得，代入得， ∴交点A恒在直线上， ∵点A到直线的距离总是定值， ∴直线与平行， ∴， 解得. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应题号的横线上． 11. 已知是整数，则自然数______． 【答案】1或2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，结合是整数，是自然数，验证即可求出的值． 【详解】解：由题意得 ， 解得； ∵是自然数， ∴，且为整数， ∴的可能取值为. 当时，，不是整数，不符合要求； 当时，，是整数，符合要求； 当时，，是整数，符合要求. 综上所述，a的值为或． 12. 甲、乙两地5月份每天最高气温的箱线图如图所示，则5月气温波动较大的是______．（填“甲地”或“乙地”） 【答案】甲地 【解析】 【详解】解：箱线图中，数据的波动越大，说明数据离散程度越高， 气温的极差（最高温与最低温的差值）越大． 观察图形可得：甲地气温的极差（整体跨度）大于乙地，气温分布更分散， 因此5月气温波动较大的是甲地． 13. 若点和点在同一正比例函数图象上，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】设出正比例函数的一般形式，将两点坐标分别代入解析式，得到和的表达式，计算的值即可. 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 点和点在该正比例函数图象上， 将代入解析式得：， 将代入解析式得：， . 14. 一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口出发，如图所示，轮船从港口沿北偏东的方向行30海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距40海里的点处，若、两地相距50海里，则渔船从港口出发的方向为______． 【答案】南偏东 【解析】 【分析】先根据的长度，利用勾股定理的逆定理判断的形状，确定的度数．结合轮船航行方向是北偏东，确定正北方向与的夹角，再根据的度数计算与正南、正东或正北方向的夹角．根据方向角的定义，确定渔船的航行方向． 【详解】 ∵海里，海里，海里， ∴， ∴是直角三角形，． ∵ 轮船方向为北偏东，， ∴与正南方向的夹角为， 因此渔船从港口出发的方向为南偏东． 15. 已知直角边长分别为和，为斜边长，我们把关于的形如的函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为6，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】把点D的坐标代入中得到， 由勾股定理得，再由三角形面积公式推出，再由建立关于c的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上， ，即， ， 中，为直角边，为斜边， 由勾股定理得， ∵的面积为6， ∴， ， ， ， 整理得， 解得或（舍去）． 16. 如图，直线平行于，点是上一个动点，与距离等于线段长，，那么最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先以为边构造正方形，通过同角的余角相等推导等角，利用证明得到，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半设线段长度，借助两点之间线段最短建立不等式，最后通过分式分母有理化化简，求出比值的最小值． 【详解】解：如图，以为边向点同侧构造正方形，过点作交于点，取中点为，连接、， 则与的距离为线段的长度，, ，， ， 又， 在和中， ， ∴， 设，则，， 在中，， ， ， ， 的最小值为． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 解答题应写出必要的文字说明或推演步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，的对角线相交于点，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，． ， ． ，， ． ． 19. 为引导学生了解家乡历史文化、风土人情，南充某中学举办了一场“丝绸文化主题”知识竞赛．竞赛结束后，从八年级学生中随机抽取了20名学生的成绩（满分100分）进行了整理，部分信息如下： 组别 成绩/分 分数段人数 组内平均数 A 5 90 B 8 79 C 4 70 D 3 62 其中B组的成绩依次为：75，76，78，78，78，80，83，84． （1）求被抽取到的20名学生的平均成绩． （2）求20名学生成绩的中位数． （3）若该校八年级一共有600名学生，估计成绩不低于75分的学生有多少人？ 【答案】（1）77.4分 （2） （3）估计成绩不低于75分的学生约有390人 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数计算即可． （2）根据中位数的概念求解即可． （3）先得到抽取的20名学生中成绩不低于75分的学生人数，再结合八年级的人数求解即可． 【小问1详解】 解：分． ∴抽取的这20名学生的平均成绩为77.4分． 【小问2详解】 解：这20名学生成绩的中位数是第10名，11名的平均数． 由，可知第10名，11名在组，且分别为78，78， ∴这20名学生成绩的中位数是（分）． 【小问3详解】 解：抽取的20名学生中成绩不低于75分的学生有人， 人， 答：估计成绩不低于75分的学生约有390人． 20. 如图，四边形是边长为的正方形，是边上一点，连接，，于． （1）用含的式子表示的面积． （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先求出正方形的面积，再根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形的面积公式求出，再根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵正方形边长为， ， ； 【小问2详解】 解：∵于， ∴， ，， ， ， 在中，由勾股定理得，． 21. 定义：关于的函数与为“孪生函数”（）． （1）如果关于的函数与为“孪生函数”，求，的值． （2）如图，已知过点的“孪生函数”图象与轴围成的的面积是25，求满足条件的孪生函数． 【答案】（1）， （2）过点的孪生函数为与 【解析】 【分析】本题考查新的定义问题，一次函数的性质、绝对值方程的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）根据“孪生函数”的定义列出方程组，解方程组即可； （2）设过点的孪生函数为与，令分别求出两个函数与轴的交点，进而求出长，利用的面积列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：函数与为“孪生函数”， ， 解得：； 【小问2详解】 解：设过点的孪生函数为与， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， ， ， ， ， 或， 或， 过点的孪生函数为与． 22. 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接，．已知，，，设，． （1）写出与的函数关系式． （2）求的最小值． 【答案】（1） （2）的最小值为 【解析】 【分析】（1）结合线段总长表示出直角三角形直角边，利用勾股定理分别表示、，相加化简得到与的函数关系式； （2）构造矩形转化水平、竖直线段长度，拼接出直角三角形，依据“两点之间线段最短”，将的最小值转化为直角三角形斜边长度，再用勾股定理计算最小值． 【小问1详解】 解：，， ， 为直角三角形， ， 同理，， ， 即； 【小问2详解】 解：过点作于，连接， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， 的最小值为． 23. 根据以下素材，探索完成任务： 如何制定订餐方案？ 素材1 南充某班级组织“畅游嘉陵江，探寻家乡美”春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，结合本地餐饮特色，现有A、B两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 A：川北特色面食 28元 A套餐满20份及以上打七五折；B套餐无折扣 B：南充特色盖浇饭 18元 素材2 该班级共53位同学，每人都从A、B两种套餐中选择一种，一人订餐一份．经统计，有23人已确定A或B套餐，其余30人两种套餐均可．若已经确定套餐的23人先下单，无优惠，费用合计为524元． （1）任务1：已经确定套餐的23人中，分别有多少人选择A套餐和B套餐？ （2）任务2：设未确定套餐的30名同学中有人选择了A套餐，求该班订餐总费用元与之间的函数关系式，并写出的取值范围． （3）任务3：用于研学的餐费仅有1050元，如何分配30名同学的套餐，才能使得该班更多学生品尝到川北特色面食？ 【答案】（1）选择套餐的有11人，选择套餐的有12人 （2）当时，；当时， （3）未确定套餐的30名同学套餐分配：A套餐21份，B套餐9份 【解析】 【分析】（1）设这23人中选择A套餐的有人，根据题意，列出一元一次方程进行求解即可； （2）分两种情况，分别求出函数解析式即可； （3）根据用于研学餐费仅有1050元，结合（2）中的两个函数解析式，推出，进行求解即可. 【小问1详解】 解：设这23人中选择A套餐的有人，则选择B套餐的有人． ． ， 套餐的有：人． 答：选择套餐的有11人，选择套餐的有12人； 【小问2详解】 解：∵两种套餐皆可的30人中有人选择A套餐， ∴全班选择A套餐的有人，B套餐的有人． ①当且，即时，套餐不打折． ． ②当且，即时， A套餐打折，单价为（元）， ． 【小问3详解】 解：用于研学的餐费仅有1050元． ①当时，A套餐不打折： （此方案不合要求）． ②当时，，解得（份）． 为使得该班更多学生品尝到川北特色面食，取21． ∴未确定套餐的30名同学套餐分配：A套餐21份，B套餐9份． 24. 如图，纸片是矩形，，，是边上一点，连接，将沿折叠，使落在矩形内部，记为点，并展开铺平． （1）如图，，为边的三等分点（点在的左侧），连接并延长，交于．求证：； （2）如图，过点作于，交于点，连接，，． 求证：四边形是菱形； 若，求出的长． 【答案】（1）解：连接， 由折叠可知，， 、为边的三等分点， ， ， ，， ， ，即， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； （2）证明：由折叠可知，，， 是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； 的长为． 【解析】 【分析】连接，由折叠可知，，又、为边的三等分点，则，再证明四边形是平行四边形，则有，从而有； 由折叠可知，，，又，所以，则有，通过等角对等边得，所以有，再根据菱形的判断方法即可求证； 由时，为中点，得，设，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 解：如图，延长交于点， 四边形是矩形， ，， 于，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，即为中点， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， 设， ∴在中，， ， ， 解得（负值已舍）， 的长为． 25. 已知一次函数（）的图象经过点． （1）若函数图象经过原点，求，的值． （2）点，在函数图象上，且，求的取值范围． （3）若点是该函数图象上的点，当时，总有，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）根据图象过点，得到，根据，得到，进而求出的范围，进而求出的范围即可； （3）根据时，总有，得到且，进行求解即可． 【小问1详解】 解：（1）∵一次函数（）的图象经过点， ． ∵函数图象经过原点， ， ．即，． 【小问2详解】 解：∵一次函数（）的图象经过点， ，即． ∴一次函数解析式为（）． ∵点，在函数图象上，且， ，，， ． ， ． ， ， ． 【小问3详解】 解：由（2）知，一次函数解析式为（）． ∴当时，，当时，， ∵点是该函数图象上的点，当时，总有，且当时，， ∴随着的增大而增大， 且， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $