暑假专项提升平方根和立方根专项练2025-2026学年数学人教版七年级下学期

**基本信息** 聚焦平方根与立方根核心知识，通过基础辨析、综合计算及实际情境题，适配七年级暑假专项提升，含规律探究与推理应用题型。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|6|平方根性质、运算辨析|概念辨析为主，考查定义理解| |填空题|9|平方根与立方根计算、非负性应用|结合相反数、绝对值等综合考点| |解答题|10|方程求解、实际应用、规律探究|含纸片裁剪情境题及数阵规律题，注重推理与应用|

暑假专项提升--平方根和立方根专项练 2025-2026学年初中数学人教版（2024）七年级下学期 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．没有平方根 B．算术平方根是其本身的数是 C．的平方根是 D．的值一定是 2．下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．25 4．下列运算中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 6．若和是两个连续整数，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．4的平方根是________；的算术平方根是________． 8．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 9．如果与互为相反数，那么的平方根是________． 10．若，为实数，且满足，则的值是____________． 11．若n为正整数，且满足，则________． 12．若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 13．已知，，则______． 14．设、为实数，且，则的立方根是______． 15．下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第行（从左往右数）最后一个数是_____．（用含的代数式表示） 三、解答题 16．解方程： (1)； (2) 17．已知正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求y的值； (2)若，求a的值． 18．已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a和正数m的值； (2)求关于x的方程的解． 19．已知实数a、b满足，求： (1)a、b的值； (2)求代数式的值． 20．已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 21．已知的算术平方根是的平方根是是的立方根，求的值． 22．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 23．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 24．小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” (1)求原正方形纸片的边长； (2)你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 25．探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C D A C B 1．D 根据平方根、算术平方根的定义逐个判断选项正误即可得到答案． 解：A．当时，，此时有平方根，故该选项错误，不符合题意， B．算术平方根是其本身的数是和，故该选项错误，不符合题意， C．，没有平方根，故该选项错误，不符合题意， D．∵有意义， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故该选项正确，符合题意． 2．C 本题考查平方根与立方根的基本性质，根据定义计算各选项即可判断正误． 解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 3．D 根据一个正数的两个平方根是和，可得，从而得到，即可求解． 解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得：， ∴这个正数是． 4．A 解：①先化简带分数：，，①错误； ②算术平方根的结果为非负数，，②错误； ③根据立方根的性质，负数的立方根是负数，，③正确； ④，负数没有算术平方根，原式运算不成立，④错误； 综上，正确的运算只有1个． 5．C 本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 6．B 本题考查了无理数的估算，代数式求值，利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可，掌握夹逼法是解题的关键． 解：∵， ∴， 又∵和是两个连续整数，且， ∴，， ∴， 故选：． 7． 2 解：计算的平方根，得； 先化简，得，再计算的算术平方根，得． 8． 此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 9． 解：与互为相反数， ， 又，，且，， ∴，， ，， 解得，， ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 10．1 利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入计算即可． 解：∵，，， ∴且， ∴，解得， 则可化为，即，解得， ∴． 11．5 先估算出的取值范围，再结合已知不等式即可确定正整数的值． 解：， ，即， 又，且为正整数， ． 12．5 先根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉绝对值符号化简方程组，求解得到的值，再估算无理数的大小得到整数，最后代入代数式计算即可． 解：由 得 ， 根据绝对值的非负性得，即； 当时，， 代入 得 ， 整理得， 由得 ， 解得 ， 因此，代入 得， 将代入得：， 解得， 将代入得， ∵，∴， ∵ ，为整数， ∴， ∴ ． 13．453.9 根据被开方数扩大10000倍，结果扩大100倍解答即可． 解：∵， ∴． 14．2 先根据算术平方根的定义求出x、y的值，然后根据立方根的定义求解即可． 解：根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根是． 15． 从数阵的每一行可以找到规律是二次根式里面依次加1，观察每行的最后1个数，总结规律即可得答案． 解：第1行的最后一个数为， 第2行的最后一个数为， 第3行的最后一个数为， 第4行的最后一个数为， ……． 第n行的最后一个数为． 16．(1)或 (2) （1）解： 解得：或 （2）解： 解得： 17．(1) (2) 此题主要考查了平方根的性质和应用，解二元一次方程组，要熟练掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，是解答此题的关键． （1）先根据平方根的定义，得，再化简即可； （2）联立，再解二元一次方程组，求出解，再根据平方根的定义即可． （1）实数a的两个平方根分别是x和， ， 即， 当时，； （2）由（1）得 ， 联立得， 解得：， ． 18．(1)， (2)或． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求值，即可求解； （2）将代入即可求解． （1）解：由题意得，， 解得， ； （2）解：当时，， ， ， ∴或． 19．(1)， (2)代数式的值为 （1）解：∵，，且两者和为0， ∴，， 解得：，； （2）解：将，代入代数式： . 20．(1)，， (2) (3) （1）解：的立方根是， ， ； 的算术平方根为3， ， ，且， ； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， 的平方根为； （3）解：， 的立方根为. 21．2 根据算术平方根、平方根、立方根求出a，b，c的值，再求即可． 解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴， ∴， 又∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴． 22． 本题考查了算术平方根、立方根和平方根的定义，求出，的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 解：由题意知：， 解得：，， ∴ ∴，， ∴ ∴的立方根等于． 23．(1) 42，110 (2) 14 (3) 本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． （1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 24．(1)原正方形纸片的边长为． (2)不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片． （1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式建立方程求出长方形的长，再与正方形的边长比较即可得到结论． （1）解：， ∴正方形纸片的边长为； （2）解：设长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴长方形的长大于正方形的边长， ∴不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片． 25．(1)①两；②3或7；③43或47；43 (2)见解析 （1）根据所提供的方法进行计算即可；（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． （1）①因为要确定算术平方根的位数，所以利用平方数的位数规律，通过对比已知的整十数、整百数的平方与1849的大小关系来判断． ②因为一个数的平方的个位数字由原数的个位数字决定，所以根据1849的个位数字，结合平方的个位特征来确定算术平方根的个位数字． ③因为要确定算术平方根的十位数字，所以划去后两位得到的数，对比相邻整数的平方，再结合给定的判断方法缩小范围，最终确定算术平方根． （2）因为求立方根的思路与求算术平方根类似，所以先利用立方数的位数规律确定立方根的位数；再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字；最后划去后三位得到的数，对比相邻整数的立方，结合类似的判断方法缩小范围确定十位数字，进而得到立方根． （1）解：①∵，，且， ∴， ∴是两位数； ②∵1849的个位上的数是9，一个数平方后的数个位上为9的只有3和7， ∴的个位上的数是3或7； ③划去1849后面的两位49得到数18，而，， ∴十位上的数是4， ∴1849的算术平方根可能是43或47； ∵十位上的数是4，若个位上的数是7，需进位，，而， ∴个位上的数是3， ∴． （2）解：，， 103823的立方根是两位数； 103823个位上的数字是3， 103823的立方根个位上的数字是7； 如果划去103823后面的三位“823”得到数103，而，， 由此可确定103823的立方根十位上的数字是4， 那么103823的立方根是47． 学科网（北京）股份有限公司 $