2.3　第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式-新授课高中数学高一上学期必修一人教A版课件

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系及解法，通过课前问题观察具体不等式抽象出概念，结合思维导图构建“函数-方程-不等式”知识支架，衔接前后知识点。 其亮点在于融合数学抽象、直观想象、数学运算核心素养，通过典例解析图像法与代数法，含参数问题分类讨论培养逻辑推理，提供思维导图和定向训练。学生能深化理解，教师可高效教学。

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 素养目标 思维导图 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程(数学抽象). 2.通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的关系(直观想象). 3.会解一元二次不等式(数学运算). 课前自主学习 问题:观察下列不等式, ①x2>0.②-x2-2x≤0.③x2-5x+6>0. (1)以上给出的三个不等式,它们含有几个未知数?未知数的最高次数是多少? 提示:它们只含有一个未知数,未知数的最高次数都是2. (2)三个不等式的一般形式如何表示? 提示:形如ax2+bx+c>0(或≤0);其中a,b,c为常数,且a≠0. (3)一元二次不等式ax2+bx+c>0中,a,b,c都不能为零对吗? 提示:不对.一元二次不等式ax2+bx+c>0中,a≠0,b,c可以为0. (4)x2-+1>0是一元二次不等式吗? 提示:不是,不等式x2-+1>0中的是分式. 【核心概念】 1.一元二次不等式 只含有______未知数,并且未知数的_____________的不等式,其一般形式是 ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a,b,c为常数,a≠0). 2.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为 这个一元二次不等式的解集. 一个 最高次数是2 3.二次函数与一元二次方程、不等式 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x1<x2) 有两相等实根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ______________ R ax2+bx+c<0(a>0) 的解集 ___________ ⌀ __ {x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2} ⌀ 课堂合作探究 探究点一　一元二次不等式的解法 【典例1】解下列不等式: (1)x2-x-6>0. (2)25x2-10x+1>0. (3)-2x2+x+1<0. 【思维导引】 【解析】(1)方程x2-x-6=0的两根为x1=-2,x2=3,结合二次函数y=x2-x-6的图象(图略)知x2-x-6>0的解集为{x|x>3或x<-2}. (2)方程25x2-10x+1=0有两相等实根,x1=x2=. 结合二次函数y=25x2-10x+1的图象(图略)知25x2-10x+1>0的解集为. (3)方法一:方程-2x2+x+1=0的解为x1=-,x2=1,函数y=-2x2+x+1的图象是开口向下的抛物线,与x轴的交点为(-,0)和(1,0),如图, 观察图象知不等式的解集为. 方法二:在不等式两边同乘-1,可得2x2-x-1>0,方程2x2-x-1=0的解为x1=-,x2=1;画出函数y=2x2-x-1的图象如图所示. 观察图象,可得原不等式的解集为{x|x<-或x>1}. 【类题通法】一元二次不等式的两种解法 (1)图象法:一般地,当a>0时,解形如ax2+bx+c>0(或≥0)或ax2+bx+c<0(或≤0)的一元二次不等式,可分为三步: ①求解:确定对应方程ax2+bx+c=0的解; ②画图:画出对应函数y=ax2+bx+c的图象; ③写解集:由图象得出不等式的解集. 对于a<0的一元二次不等式,可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解;也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式,再求解. (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解,当p<q时, 若(x-p)(x-q)>0,则x>q或x<p; 若(x-p)(x-q)<0,则p<x<q. 有口诀如下“大于取两边,小于取中间”. 【定向训练】 解下列不等式: (1)4x2-20x<-25; (2)x(1-x)≥x(2x-3)+1. 【解析】(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀. (2)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化为3x2-4x+1≤0. 因为方程3x2-4x+1=0的两个根是,1,函数y=3x2-4x+1的图象开口向上, 所以不等式的解集是{x|≤x≤1}. 探究点二　三个“二次”关系的应用 【典例2】(2025·广州高一检测)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x<2或x>3}. (1)用字母a表示出b,c; (2)求关于x的不等式bx2+ax+c>0的解集. 【思维导引】(1)先由一元二次不等式与一元二次函数的关系确定a>0,再结合根与系数的关系即可求解; (2)把(1)的结论代入bx2+ax+c>0,由a>0,消去a,解一元二次不等式即可. 【解析】(1)由不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x<2或x>3},可知a>0且对应的方程ax2+bx+c=0的两根为2和3. 由根与系数的关系得-=5,=6,所以b=-5a,c=6a. (2)由(1)可得:bx2+ax+c>0可转化为-5ax2+ax+6a>0, 因为a>0,所以-5x2+x+6>0,整理得5x2-x-6=(5x-6)(x+1)<0,解得-1<x<,所以不等式bx2+ax+c>0的解集为{x|-1<x<}. 【类题通法】二次函数与一元二次方程、不等式的关系 (1)对应关系:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标. (2)位置关系:二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方部分的x的取值,是由不等式ax2+bx+c>0的x的值构成的;图象在x轴下方部分的x的取值,是由不等式ax2+bx+c<0的x的值构成的,三者之间相互依存、相互转化. 【定向训练】 1.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)(x-)<0的解集为(　　) A.{x|x<a或x>} B.{x|x>a} C.{x|x>a或x<} D.{x|x<} 【解析】选A.因为a<-1,所以a(x-a)(x-)<0⇒(x-a)·(x-)>0.又a<-1,所以>a,所以x>或x<a, 所以所求不等式的解集为{x|x<a或x>}. 2.若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4},求不等式bx2+2ax-c-3b≥0的解集. 【解析】因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4},所以a<0,且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可得, 即 所以不等式bx2+2ax-c-3b≥0可化为-ax2+2ax+15a≥0,即x2-2x-15≥0,解得x≤-3或x≥5, 故所求不等式的解集为{x|x≤-3或x≥5}. 探究点三　含参数的一元二次不等式的解法 【典例3】(规范解答) (13分)解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0. 【思维导引】因为二次项系数a的值不定,所以需要分类讨论. 【解析】(1)当a=0时,原不等式为一次不等式,即-2x+4>0,所以x<2,不等式的解集为{x|x<2}.……………………………………………………………………………………2分 (2)当a<0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判别式Δ=4(a-1)2>0,其两根为x1=2,x2=,且<2,所以不等式的解集为. …………………………………………………………3分 (3)当a>0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的根为x1=2,x2=. ①若<2,即a>1时,不等式的解集为{x|x<或x>2}. ……………………………………………5分 ②若>2,即0<a<1时,不等式的解集为. …………………………………9分 ③若=2,即a=1时,不等式的解集为{x|x≠2}. …………………………………………………11分 综上所述,当a=0时,解集为{x|x<2};当a<0时,解集为;当a>1时,解集为{x|x<或x>2};当0<a<1时,不等式的解集为{x|x<2或x>};当a=1时,不等式的解集为{x|x≠2}. …13分 【类题通法】 1.含参数的一元二次不等式常见的分类标准 (1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准. (2)以判别式与零的大小关系作为分类标准. (3)若判别式大于零,但两根的大小不能确定,则再以两根的大小关系作为分类标准. 2.含参数的一元二次不等式的解题步骤 (1)化正:将二次项系数转化为正数. (2)求根:判断相应方程是否有根. (3)写解集:根据根的情况写出相应的解集,若方程有两个相异根,为了正确写出解集还要确定两根的大小. 【定向训练】 已知函数f(x)=mx2-(2m+1)x+2(m∈R).若m>0,解关于x的不等式f(x)<0. 【解析】由f(x)<0可得mx2-(2m+1)x+2<0,即(x-2)(mx-1)<0(m>0),所以m(x-2)(x-]<0, 当>2,即0<m<时,2<x<,所以解集为{x|2<x<}; 当m=时,x∈⌀,所以解集为⌀; 当0<<2,即m>时,<x<2,所以解集为{x|<x<2}. 综上,当0<m<时,解集为{x|2<x<}; 当m=时,解集为⌀;当m>时,解集为{x|<x<2}. 课堂练习 1.不等式x2+x-12<0的解集是　　　　.  【解析】由x2+x-12=0,解得x1=3,x2=-4.所以不等式x2+x-12<0的解集是{x|-4<x<3}. 答案:{x|-4<x<3} 2.不等式(x+2)≤0的解集为　　　　.  【解析】或x2-9=0, 即或x=±3,即x≤-3或x=3. 答案:{x|x≤-3或x=3} 3.使式子有意义的实数x的取值范围是　　　　　.  【解析】由题意知,-x2-x>0,即x2+x<0, 所以-1<x<0. 答案:{x|-1<x<0} 4.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-<x<},则2x2+bx+a<0的解集为　　　　　.  【解析】由题意知,-,是方程ax2+bx+2=0的两实根,由根与系数的关系得 解得 所以2x2+bx+a<0可化为2x2-2x-12<0. 即x2-x-6<0.所以(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3.所以2x2+bx+a<0的解集为{x|-2<x<3}. 答案:{x|-2<x<3} 5.设集合A={x|-1<x<a},B={x|x2+x-6<0},全集U=R. (1)若a=4,求A∩B,(∁RB)∩A; (2)若A∩B=A,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=4时,A={x|-1<x<4},B={x|-3<x<2}, 所以A∩B={x|-1<x<2},(∁RB)∩A={x|2≤x<4}. (2)A∩B=A⇔A⊆B. 当A是空集时,即a≤-1,符合题意; 当A不是空集时,若A⊆B,则-1<a≤2, 综上a的取值范围是{a|a≤2}. 谢 谢 $